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catalan数新上映_catalan公式出栈序列(2024年12月抢先看)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：导读更新日期：2024-12-01

catalan数

𐟌…清晨的意外早醒与数学题目的挑战𐟓š 今天早上，我意外地早醒了，虽然有些困倦，但精神状态不佳。早餐选择了碗杂面，结果吃得太油，肚子也感到不舒服。 𐟓数学方面，我继续攻克李永乐卷4的选填题。今天的表现不太顺利，好几个题目都没有做出来。特别是选择题的前三个，第一题是因为一时没想到合适的例子，第二题是多元函数求偏导的问题，正好在108的时候卡住了，决定明天再练习。 𐟓–专业课方面，我没做几道题，大部分时间都在纠结昨天的取球问题。18题的期望答案写出来了，但19题尝试用条件概率做，结果答案又回到了期望的做法上。此外，我还看了随机游走和折线法，但有些内容没完全消化，需要重做。折线法的最后一个例题让我想起了组合数学中学过的Catalan数，这让我回想起之前很喜欢组合数学这门课。总的来说，今天的学习过程虽然有些曲折，但也有不少收获。希望明天能更好地调整状态，继续努力。

卡特兰数：通项公式的求解卡特兰数（Catalan Number）在组合数学中是一个非常常见的数列，以比利时数学家欧仁ⷦŸ姐†ⷥᧉ𙥅𐧚„名字命名。这个数列在各种计数问题中都有出现。虽然它的递推公式相对简单，但得到通项公式却并不容易。这次我们将介绍一种使用生成函数法求解通项公式的方法，这种方法通常不会让人联想到组合数学中会出现根号，更不会想到这样复杂的运算之后，得到的通项公式会如此简洁。卡特兰数的定义和递推公式 𐟌𓊥ᧉ𙥅𐦕𐥏碌委褺Œ叉树的个数来表示。例如，C3=5，表示包含3个左括号和3个右括号的括号对序列的个数。根据分治的思想，递推公式为： Cn+1=∑Ckⷃn−kCn+1 = \sum C_k \cdot C_{n-k}Cn+1=∑Ck⋅Cn−k 其中，C0=1C_0 = 1C0=1。生成函数法 𐟓‰ 生成函数法是一种求解通项公式的方法。定义生成函数G(x)G(x)G(x)为： G(x)=∑CnxnG(x) = \sum C_n x^nG(x)=∑Cnxn 其中，nnn表示卡特兰数的下标。求解通项公式 𐟧€š过一系列复杂的运算，最终可以得到生成函数的表达式： G(x)=1+xC2(x)G(x) = 1 + x C_2(x)G(x)=1+xC2(x) 其中，C2(x)C_2(x)C2(x)表示另一个生成函数。进一步简化 𐟔„ 继续使用牛顿二项式定理进行简化，最终得到： G(x)=1−4x2(1−4x)2G(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2(1 - 4x)^2}G(x)=2(1−4x)21−4x\ 代入x=0x = 0x=0，可以得到卡特兰数的通项公式： Cn=2n−1n+1C_n = \frac{2^n - 1}{n + 1}Cn=n+12n−1 历史背景 𐟓œ 有趣的是，清朝数学家明安图在其《割圜密率捷法》中最先发明了这种计数方式，早于卡特兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”。通过这种方法，我们可以看到组合数学中的美妙和复杂性，同时也能够欣赏到历史上的数学成就。

北航软件考研重点：卡特兰数的奥秘 𐟎“ 卡特兰数在组合数学中占据着重要地位，它们经常出现在各种计数问题中。卡特兰数的定义如下：对于任意正整数n，卡特兰数的第n项记为Cn，其中C0=1，C1=1，C2=2，C3=5，以此类推。卡特兰数的一个重要性质是它们满足一个递推关系式：Cn=C0Cn-1+C1Cn-2+...+Cn-1C0。 𐟓 推理过程虽然复杂，但公式一定要记住！对于小于4的情况，可以直接通过枚举法得到结果；而对于大于4的情况，建议使用公式法。这样不仅能提高计算效率，还能避免出错。 𐟔 关于“数据信息的组合”，建议分情况讨论。例如，如果题目没有明确说明，可以默认不考虑数据信息的组合。但为了严谨起见，建议根据具体情况进行分析。 𐟓š 在北京航空航天大学的软件考研中，卡特兰数是一个重要的知识点。通过掌握卡特兰数的性质和递推关系式，可以有效提升解题能力。希望这些信息对大家有所帮助！

西班牙Vichy，健康新选择！ 𐟌 探索西班牙的天然宝藏，Vichy Catalan威域天然含气矿泉水，一款拥有超过130年历史的矿泉水，品质卓越，值得信赖！𐟌Ÿ 𐟒砨🙦쾧Ÿ🦳‰水的独特之处在于其天然含气特性，全球范围内都极为稀有。与大多数通过人工添加二氧化碳的气泡水不同，Vichy Catalan的气泡是自然涌动的，这使其更加珍贵和独特。𐟑 𐟌🠩™䤺†其独特的自然特性，Vichy Catalan还富含多种矿物质和微量元素。它不仅能补充运动后流失的水分和电解质，还能在用餐时帮助消化，中和胃酸，对身体健康极为有益。𐟥𓊊𐟏ƒ‍♂️ 无论是运动后还是用餐时，Vichy Catalan都是绝佳的选择。其细腻柔滑的口感，丰富的气泡，将为您带来无与伦比的饮用体验。𐟒– 𐟌ˆ 快来尝试这款来自西班牙的天然矿泉水，让您的身体享受健康与活力的双重馈赠！𐟎‰

𐟌𓥍ᧉ𙥅𐦕𐧚„三大神奇应用𐟎‰ 𐟎ˆ卡特兰数，这个看似深奥的数学概念，其实在我们的日常生活中有着广泛的应用。今天，就让我们一起探索卡特兰数的三大神奇应用吧！𐟚€ 𐟔 首先，卡特兰数与二叉树的构造息息相关。你知道吗？给定n个不同的结点，它们能构成多少种不同形状的二叉树呢？答案就是卡特兰数！通过巧妙地利用栈的数学性质，我们可以轻松计算出这个数字。𐟎‰ 𐟔 其次，卡特兰数还与括号匹配问题有着紧密的联系。想象一下，你有n对括号，它们有多少种可能的匹配序列呢？这同样可以通过卡特兰数来解答！是不是觉得非常神奇呢？✨ 𐟔 最后，卡特兰数在数据结构中也有着广泛的应用。比如，在处理二叉查找树的问题时，卡特兰数就能派上用场。通过巧妙地运用卡特兰数的性质，我们可以更高效地解决这类问题。𐟒ꊊ总之，卡特兰数不仅是一个数学概念，更是一个充满魅力的数学工具。通过掌握它，我们可以更好地理解和应用数据结构中的各种概念和方法。𐟌ˆ

巴塞罗那与马德里：双城记从波尔图飞往巴塞罗那，瑞安航空的票价大约30欧元，飞行时间超过2小时。这次的旅行以巴塞罗那为主，马德里为辅。 𐟏𐣀巴塞罗那】——建筑之城的魅力巴塞罗那的建筑让人难以忘怀。高迪的四大杰作——圣家堂、巴特罗之家、米拉之家和古埃尔公园，各有千秋（见图）。由于门票较为紧张，推荐通过飞猪平台预订，套票划算且方便。套票不要求同一天使用，客服态度也很友好。圣家堂登塔和毕加索博物馆的门票需要提前预订，记得提前安排。弗拉明戈和踢踏舞也值得一看，非常酷炫。 𐟎�马德里】——一人行的悠闲时光马德里适合一人游，尤其是在圣诞节期间，人很多。这里的广场宽敞舒适。个人最喜欢在templo de Debod听路边艺人吹萨克斯，看日落。还去了一家当地颇有名气的电影书店Bar Oche Y Media，里面有很多电影道具，据说很多名人曾光顾。由于是独自旅行，我报了一个一日游的团，4人小团，导游兼司机是中国移民，讲解了很多西班牙的历史。行程包括西班牙旧都托莱多、堂吉诃德小镇、因妻子旅行而走红的风车村以及皇室行宫，团费大约577元/人。此外，我还在Airbnb上报名了一个当地徒步游，英文导游，约十人，讲解马德里历史，体验当地美食，三小时，费用大约360元。报团对一个人旅游非常友好，遇到来自不同地方的团友，充满奇遇和冒险感。 𐟏𐣀马德里皇宫与丽水公园】——必游之地马德里皇宫是欧洲三大皇宫之一，值得一游，但排队时间较长。丽水公园则是一个拍照的好地方。两个城市的球场也是重要景点，但排队人多。 𐟚†【交通】——便捷的出行方式两个城市都可以考虑购买十次卡的交通票，所有交通工具均可使用。巴塞罗那的单程票价为2.2欧元/次，如果购买单次票，火车票需要在专门的机器上购买。马德里的交通票第一次购买时会收取2.5欧元的制卡费，单程5站以内1.5欧元，超过5站价格根据站数增加，去机场需要额外支付3欧元。 𐟍𝯸【美食】——不可错过的美味巴塞罗那推荐PANDACha奶茶店，老板热情好客，奶茶非常好喝。主教堂附近的Restaurant Taverna del Bisbe海鲜饭便宜又好吃。马德里的eggofre奶盖茶和鸡蛋仔也很不错。马德里有一家著名的巧克力和油条店chocolateria san gines，巧克力是喝的，高糖预警。tour导游带我们去了一家当地餐厅Vinotium，品尝了tapas（我喜欢海鲜的），果酒sangria和甜品Catalan cream，味道好极了。旅行结束，回味无穷。

「天文探索计划」「spaceweather天文酷图」「天文酷图」【西班牙瓦伦西亚的新月和昴星团 20241130035119】 Paco Burguera Catalan 于 2024 年 2 月 17 日在西班牙巴伦西亚拍摄【拍摄参数】所用相机：不可用不可用曝光时间：不可用光圈：不可用 ISO：不可用拍摄日期：不可用【详细说明】 2 月 17 日晚上，新月与地照、昴宿星团和带有风向标的 Campanar 教堂。尼康 D750、Sigma 150-600，290 毫米，f：5,6 ISO 800，1 秒来源：Spaceweather 版权：Paco Burguera Catal㡠翻译：baidu* *：此为机器翻译且未人工审核，可能有不通顺的地方。【相关知识】天文学是一门研究天体和天文现象的自然科学。它使用数学、物理和化学来解释它们的起源和演化。天文学的研究对象包括：行星、卫星、恒星、星云、星系和彗星等天体，以及超新星爆炸、伽马射线暴、类星体、耀变体、脉冲星和宇宙微波背景辐射等天文现象。更通俗地说，天文学研究起源于地球大气层之外的一切事物。宇宙学是天文学的一个分支，从整体上研究宇宙。发布时间：2024年11月30日03时51分25秒

#春日数码研究所# #spaceweather天文酷图# #天文酷图# 【西班牙瓦伦西亚的新月和昴星团 20241130035119】 Paco Burguera Catalan 于 2024 年 2 月 17 日在西班牙巴伦西亚拍摄【拍摄参数】所用相机：不可用不可用曝光时间：不可用光圈：不可用 ISO：不可用拍摄日期：不可用【详细说明】 2 月 17 日晚上，新月与地照、昴宿星团和带有风向标的 Campanar 教堂。尼康 D750、Sigma 150-600，290 毫米，f：5,6 ISO 800，1 秒来源：Spaceweather 版权：Paco Burguera Catal㡊翻译：baidu* *：此为机器翻译且未人工审核，可能有不通顺的地方。【相关知识】天文学是一门研究天体和天文现象的自然科学。它使用数学、物理和化学来解释它们的起源和演化。天文学的研究对象包括：行星、卫星、恒星、星云、星系和彗星等天体，以及超新星爆炸、伽马射线暴、类星体、耀变体、脉冲星和宇宙微波背景辐射等天文现象。更通俗地说，天文学研究起源于地球大气层之外的一切事物。宇宙学是天文学的一个分支，从整体上研究宇宙。发布时间：2024年11月30日03时51分25秒#百度初秋打卡挑战赛#

直布罗陀四天三晚游记：放松身心的好去处刚从直布罗陀回来，真是太惬意了！这个地方简直是英国的后花园，特别适合放松身心。下面分享一下我的行程，供大家参考。第一天：抵达与放松𐟏–️ 晚上到达直布罗陀，机场很小，只有一个行李转盘，一天只有一班飞机。过关时只问了一些基础问题，比如呆几天、住哪里，很快就通过了。出了机场，我们步行十几分钟就到了民宿。我们住的是E1 Suite & Spa，强烈推荐！楼内有免费的spa可以使用，每天两个小时。楼下的餐厅可以点单，不到20分钟就送上门了，非常方便。从房间内向外看，直接是岩石和海景，感觉特别像度假。第二天：探索与购物𐟛️ 第二天中午起来后，我们去Catalan Bay看了海边彩色的小房子，特别适合拍照。还在沙滩上玩了一会儿。接着去了Main Street逛逛，但因为周末很多店都没开门。这里的烟酒很便宜，香水也是免税的，我们草草逛了一下，买了几个冰箱贴就结束了。晚上去Morrison（这里最大的超市）买了点海鲜，自己做了泰式的吃法，再喝点小酒，行程不多但非常放松。第三天：缆车与日落𐟌… 第三天中午起床后，我们去了cable car坐缆车（可以现场买票）。上山后俯瞰直布罗陀，山上还有许多猴子可以近距离观看。晚饭吃了西班牙菜，the ocean不是很推荐，但海鲜饭还可以。五月这个时候九点才日落，于是我们八点多去了Europa point，简直太美了！看完日落没有公交车了，只能打车。他们打电话叫车的方式很原始，需要分配司机，所以我们找司机花了点时间，差点错过。第四天：回程✈️ 第四天上午我们坐飞机回伦敦。由于这个地方很小，大多数景点都很近可以步行到达，但为了方便我们买了公交通票Citibus Hopper Bus ticket，一个人六镑多。交通小贴士𐟚Œ 这个地方很小，大多数景点都很近可以步行到达。但我们为了方便买了公交通票Citibus Hopper Bus ticket，一个人六镑多。公交线路实时查询网站是Gib bus tracker。打车电话是+35020070027。希望这些信息对大家有帮助！

格拉斯哥到直布罗陀5天全攻略～下篇接着上篇继续说～这次放了不同的照片，大家有兴趣可以翻翻～最后给大家一些小贴士～ 𐟔𙨡Œ程安排： Day2：早上早起去The Rock啦～当场买了缆车票和自然保护区门票，学生票24.5英镑一个人。缆车上山后，一路走下来再回到Mama Mia餐厅（就在缆车旁边）。这一天需要走很多路，建议穿舒适的鞋子～下坡虽然不累，但鞋不舒服会很磨脚哦～防晒也要做好！我们早上十点多到缆车乘坐点，大概下午一点半左右走下来，吃了点东西后坐2路车去Europa Point。车站就在Mama Mia旁边，欧洲的最南端就在2路车的终点，这里可以远眺非洲大陆。然后坐2路车回到Market Place，走回OV好好休息。 Day3：晚起的一天，在一个免税店买买买，姑娘们逛得差不多一个下午。然后在街上吃了鸡蛋仔（中国人开的）和路边买的smooth奶昔。 Day4：坐10路公交车去Queensway吃午饭，然后坐10路车回来再转4路或8路到Catalan Bay Beach。Google map告诉我只能走到海滩，结果在狂风中走了20分钟才发现有公交。这片海滩边有个儿童小公园，我们6个童心未泯的还荡了半天秋千。 Day5：11:30的飞机，9:30到机场就可以。但安检特别严，随身行李的液体只能装一个透明塑料袋并且要能封住口。这限制了买买买的数额，液体超了又舍不得丢就必须托运。我们英国时间13:30左右落地伦敦盖特维克机场，顺利赶上了15:00飞回格拉斯哥的飞机。同样的海关NonEU没什么人。 𐟔𘥅𖤻–：这次旅行属于论文前的度假，时间比较紧凑。我们基本每天10点之后才出门，下午16点多就躺回游艇晒太阳。后三天风有些大，晚上睡觉能感觉到游艇在摇𐟘‚，后来导致我们在平地上偶尔也会感觉在摇，不过不是大问题。 𐟔𚥅𓤺Ž从直布罗陀去丹吉尔：我们太懒没去成，但确实有邮轮发往丹吉尔。尤其是有申根签的话，到西班牙境内的阿尔赫西拉斯港坐船每天都有很多趟往返船。不过我们的房东建议是能在丹吉尔住一晚最好。我在订海豚的网站上看到他们也提供丹吉尔两日游，时间充裕的小伙伴们可以选择去一趟，毕竟摩洛哥也免签嘛～希望这些信息对大家有帮助！

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