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初等矩阵的行列式新上映_矩阵秩的公式大全(2024年12月抢先看)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：导读更新日期：2024-12-02

初等矩阵的行列式

线性代数笔记：初等变换与矩阵运算 𐟓… 每日一题：期末复习小贴士 𐟓 笔记整理：初等变换的奥秘 𐟔 对矩阵A进行一次初等变换，相当于用一个初等矩阵左乘A。 𐟔„ 对矩阵A进行多次初等变换，相当于用多个初等矩阵连续左乘A。 𐟓ˆ 矩阵A经过初等变换后，变成矩阵B，即A = B。 𐟓‰ 矩阵A与B经过相同的初等变换，结果相同，即AC = BA。 𐟔„ 矩阵A与B经过相同的初等变换，结果还是B，即EK = A。 𐟔„ 矩阵A与B经过相同的初等变换，结果还是A，即AA = B。 𐟔„ 矩阵A与B经过相同的初等变换，结果还是B，即tKB = Aj(k)。 𐟓Œ 方阵的行列式： 𐟔 方阵A的行列式为0，则A不可逆。 𐟔 方阵A的行列式不为0，则A可逆。 𐟓Œ 矩阵的分解： 𐟔 方阵A可以分解为若干个初等矩阵的乘积。 𐟔 存在方阵B，使得AB = E。 𐟓Œ 齐次线性方程组： 𐟔 齐次线性方程组Ax = 0有解。 𐟔 非齐次线性方程组AX = B有解。 𐟓Œ 可逆矩阵的条件： 𐟔 当且仅当矩阵A的行列式不为0时，A可逆。 𐟔 当且仅当矩阵A的秩为n时，A可逆。

线性代数必考矩阵变换与性质详解 ### 初等矩阵 𐟧ˆ等矩阵是线性代数中的重要概念，主要用于矩阵的初等变换。矩阵等价 𐟔„ 矩阵等价是指两个矩阵可以通过一系列初等变换相互转化。矩阵相似 𐟌€ 矩阵相似是指两个矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值和特征向量。矩阵合同 𐟓œ 矩阵合同是指两个矩阵的秩相等，且其中一个矩阵可以通过初等变换转化为另一个矩阵。伴随矩阵 𐟧銤𜴩š矩阵是矩阵理论中的重要概念，与原矩阵的行列式和逆矩阵密切相关。逆矩阵 𐟔„⁻⹊逆矩阵是线性代数中的基本概念，与矩阵的行列式和线性方程组的解有关。矩阵的秩 𐟚銧Ÿ驘𕧚„秩是矩阵的一个重要性质，反映了矩阵的线性相关性。转置矩阵 𐟓ˆ 转置矩阵是将矩阵的行列互换得到的矩阵，具有一些特殊的性质。对陈矩阵 𐟧™‍♂️ 对陈矩阵是一种特殊的矩阵，满足一定的对称性条件，在线性代数中有重要应用。正交矩阵 𐟔 正交矩阵是一种特殊的实对称矩阵，具有一些独特的性质和应用。正定矩阵 𐟌Ÿ 正定矩阵是一种特殊的实对称矩阵，具有一些重要的性质和应用，如正惯性指数和顺序主式。转置矩阵的性质 𐟓 转置矩阵的性质包括：$(A^T)^T = A$，$A^T$的特征值与A相同，但特征向量不同。如果$A = A^T$，则A为对称矩阵。正交矩阵的性质 𐟔„ 正交矩阵的性质包括：$A^T = \pm A^{-1}$，$AA^T = I$（单位矩阵）。若$A$是对称矩阵，则$A$也为正交矩阵。正定矩阵的性质 𐟒Ž 正定矩阵的性质包括：特征值全大于0，正惯性指数等于秩，顺序主式全大于0。若$A = CTC^T$（C可逆），则$A$为正定矩阵。正定矩阵的平方项数均大于0。

矩阵知识点全解析 ### 矩阵的概念与性质矩阵的定义：矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形数表，通常用大写字母表示，如A、B等。矩阵的转置：将矩阵的行列互换得到的矩阵称为转置矩阵，记作AT或A'。矩阵的数乘：将矩阵的每个元素都乘以一个常数k，得到的矩阵称为数乘矩阵，记作kA。矩阵的乘法：两个矩阵相乘，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。矩阵的幂运算：只有方阵才有幂运算，记作An，表示将矩阵A自乘n次。矩阵的秩秩的定义：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行的最大数目（行秩）或线性无关的列的最大数目（列秩）。秩的性质：秩为满秩的矩阵是可逆的，秩为1的矩阵称为奇异矩阵。初等变换与标准形初等变换：通过行交换、行乘常数、行加减等操作，将矩阵化为标准形。标准形：通过初等变换得到的矩阵，其行或列具有特定的形式。等价矩阵：两个矩阵通过初等变换可以相互转化，称为等价矩阵。逆矩阵与伴随矩阵逆矩阵的定义：如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=E（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。伴随矩阵：由矩阵A的元素构成的行列式组成的矩阵，记作A*。性质与定理性质：矩阵的乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。定理：任意矩阵通过初等变换都可以化为标准形。初等方阵：对单位矩阵进行初等变换得到的矩阵，称为初等方阵。秩的计算秩的计算公式：R(A)=min{m,n}，其中m和n分别为矩阵A的行数和列数。特殊矩阵对角矩阵：主对角线上的元素不为零，其他元素为零的矩阵。单位矩阵：主对角线上的元素全为1，其他元素为零的矩阵。 ### 结论与展望通过以上内容，我们可以看到矩阵在数学和工程中的重要性。无论是线性代数、微分方程还是计算机科学，矩阵都扮演着关键角色。希望这些知识点能帮助你更好地理解和应用矩阵。

396数学备考指南：线性代数篇嘿，大家好！今天我们继续聊聊396数学的备考范围，特别是线性代数部分。虽然线性代数的考察深度不算特别难，但计算量可是相当大的哦！所以，熟练掌握计算方法和掌握选项排除速选技巧是非常重要的！行列式 𐟧ጥˆ—式是线性代数的基础，首先要搞清楚行列式的概念和性质。比如，行列式的定义、行列式的计算方法（按行或按列展开），还有行列式的性质和定理。矩阵 𐟓˜ 矩阵是线性代数的核心部分。你需要掌握矩阵的概念、运算法则，特别是常见矩阵的计算方法。比如，伴随矩阵、可逆矩阵（包括可逆的充要条件和逆矩阵的计算），还有初等变换和初等矩阵。矩阵的秩也是一个重要的概念，要搞清楚它的性质和定理。向量 𐟌 向量是线性代数中的另一个重要概念。你需要掌握向量和向量组的概念，特别是线性表出和线性相关的判断方法。还有，向量的极大线性无关组和向量的秩也是需要重点掌握的。线性方程组 𐟏𗯸 线性方程组是线性代数中计算量最大的一部分。你需要掌握线性方程组解的条件（唯一解、无穷多解），还有齐次线性方程组解的性质。基础解系和通解的计算方法也是需要熟练掌握的。小结 𐟓 总的来说，线性代数虽然考察深度不算特别难，但计算量可是相当大的。所以，大家一定要多练习，熟练掌握各种计算方法和技巧。下一篇我会更新概率论的范围哦～关注我，事半功倍！𐟒ꊊ希望这篇指南对大家有帮助，祝大家备考顺利！

𐟓š 闭关修炼线代九讲时长统计大揭秘 𐟕𐯸 今天终于开始了线性代数的闭关修炼之旅！𐟚€ 𐟓– 第1讲：行列式定义、性质与定理具体型行列式的计算抽象型行列式的计算（未给出）综合题 𐟓– 第2讲：余子式和代数余子式的计算用行列式计算用矩阵计算用特征值计算 𐟓– 第3讲：矩阵运算矩阵方程的求解关于A、A与初等矩阵的计算分块矩阵矩阵方程 𐟓– 第4讲：矩阵的秩定义与公式 𐟓– 第5讲：线性方程组具体型方程组的解法抽象型方程组的解法线性方程组的几何意义（仅数学） 𐟓– 第6讲：向量组定义与定理具体型向量关系抽象型向量关系向量组等价向量空间（仅数学） 𐟓– 第7讲：特征值与特征向量特征值与特征向量的定义用特征值命题用特征向量命题用矩阵方程命题 𐟓– 第8讲：相似理论 A的相似对角化（4~4） A相似于B（A-B）的计算实对称矩阵与正交矩阵的计算 𐟓– 第9讲：二次型二次型及其标准形、规范形配方法计算二次型正交变换法计算二次型实对称矩阵的合同计算正定二次型计算

李林第三套卷子复盘：92分的心路历程第三套卷子的估分是92分，真是让人又惊又喜！𐟎‰ 选择题错了4个，蒙对1个第一题：不能直接用积分中值定理，需要先积分出fx才能计算。第三题：任意点的切线方程有三层含义：函数值相等、导数值相等、二阶导为零。在此基础上求导或用泰勒公式都可以。第五题：求出微分方程后，利用等价无穷小直接计算参数；或者利用无穷小得出原函数在该点等于零，导数等于1，代入求参数。第六题：区域为圆但圆心不在原点时，三种思路：平移坐标轴、利用质心、划线法。第七题：平面关系和方程组解的联系。三个平面有交线说明方程组有无穷多解。第八题：有行列式的值和伴随矩阵，操作矩阵方程得到特征多项式方程。第九题：具有可加性的分布有三个：泊松分布、二项分布和卡方分布。记住泊松分布的分布率很重要。第11题：凑不出来就直接先除可爱因子，不要强求。第14题：欧拉方程记得背。第15题：通过一次初等变换得到另一个矩阵，求逆或求伴随都可以在这个变化式上进行。伴随矩阵的行列式是原行列式的n-1倍，所以结果统一成A星是操作变化的方向。第16题：经验告诉AB互补，a交b是空集。两边同时取交或并，看看能不能得出新关系。通过这次复盘，我对这套卷子的理解和掌握更加深入了。希望下次能取得更好的成绩！𐟒ꀀ

军队文职数学备考攻略：公式与技巧全掌握适用于数一、数二、数三的备考宝典，赶紧收藏起来吧！𐟓š 𐟓– 高等数学函数：基本初等函数包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数。极限：掌握四则运算和等价无穷小替换，如lim(f(x)+g(x))=A+B。连续：了解间断点的分类，如第一类间断点和第二类间断点。 𐟓 线性代数行列式：掌握行列式的基本性质，如行列式某一行（或某一列）的所有元素都可以写成两个元素的和时，行列式可以写成两个行列式的和。矩阵：了解矩阵的常用公式，如AB=BA，A(AB)=B(AA)等。逆矩阵：掌握逆矩阵的基本性质，如若A可逆，则A唯一，且(AB)=BA。 𐟓ˆ 概率统计概率论：了解概率的基本概念和性质，如事件的独立性、条件概率等。数理统计：掌握描述性统计和推论性统计的基本方法，如参数估计和假设检验。 𐟓 备考技巧定积分的性质：了解定积分的定义和性质，如定积分的存在性和可积性。变上限积分计算导函数：掌握变上限积分的计算方法，如(∫f(x)dx)'=f(x)。一阶线性微分方程：了解一阶线性微分方程的通解公式，如y=ec∫p(x)dx。伯努利方程：掌握伯努利方程的解法，通过变量代换化为一阶线性微分方程。可降阶的高阶微分方程：了解"=f(x,y)型和j=f(y,y)型方程的降阶方法。根值审敛法（柯西审敛法）：掌握级数收敛的判断方法，如设u,是正项级数，则limyu,=>1时级数收敛。交错级数的莱布尼兹定理：了解交错级数的收敛条件，如若交错级数(-1)'u,满足一定条件，则级数收敛。 𐟓š 备考建议结合历年真题进行练习，熟悉考试形式和题型。制定详细的备考计划，合理安排时间，逐步掌握各知识点。多做笔记，总结归纳，形成自己的知识体系。

2025考研数学大纲详解，数学一必看！考研数学大纲新鲜出炉啦！大家都看了吗？还没看的同学别急，赶紧来看看吧！线性代数𐟓ˆ 行列式考试内容：行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理。考试要求：了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。矩阵考试内容：矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵，矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价，分块矩阵及其运算。考试要求：理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵及其性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式性质。理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵。理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。了解分块矩阵及其运算。线性方程组𐟧𝐦졧𚿦€禖𙧨‹组考试内容：齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。非齐次线性方程组考试内容：非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。考试要求：理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。矩阵的特征值与特征向量𐟌 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求：理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。二次型𐟔„ 二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理。掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形。理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。大家赶紧根据大纲复习吧，数学一可是重中之重！加油！𐟒ꀀ

𐟌Ÿ十月自考线代攻略：矩阵篇𐟌Ÿ 𐟓š 矩阵这一章，内容丰富且复杂，但别担心，我们来一起整理！ 1️⃣ 矩阵与行列式的区别：矩阵是表格，行列式是数值。记住这一点很重要！ 2️⃣ 特殊矩阵：了解并掌握几种特殊的矩阵类型。 3️⃣ 矩阵运算：数乘运算中，矩阵和行列式的区别要清楚。𐟌ŸAB不等于BA 4️⃣ 矩阵转置：行、列互换，转置的运算规律要牢记。 5️⃣ 逆矩阵：A的逆矩阵乘以A等于单位矩阵En。𐟌Ÿ逆矩阵的性质要理解。 6️⃣ 伴随矩阵：掌握几个关键公式。 7️⃣ 分块矩阵：理解分块矩阵的概念，计算时内外都要做一遍运算。 8️⃣ 初等变换与方阵：贯穿整个线性代数，非常重要，多练习。 9️⃣ 矩阵的秩：非零子式的最高阶，概念要清晰。 𐟔Ÿ 矩阵与线性方程组：这一部分放到后面章节再看。 𐟓 暂时就整理这些内容，接下来要开始新的章节——向量篇！刷题计划等所有内容过完后再制定。加油！

线性代数笔记：Jordan分解与线性变换 𐟓笔记整理：矩阵的基本性质矩阵的转置：A^T = (A^T)^T 矩阵的逆：如果A可逆，则存在B使得AB = BA = I，称A为可逆矩阵矩阵的秩：秩是矩阵行或列的最大线性无关组的元素个数矩阵的行列式：det(A) = 0当且仅当A不可逆矩阵的迹：tr(A) = ∑a_ii，即对角线元素之和矩阵的逆可逆矩阵的条件：A可逆当且仅当A的行列式不为0 求逆矩阵的方法：通过初等行变换将A变为单位矩阵，同时记录变换矩阵B，则B是A的逆矩阵线性方程组齐次线性方程组：Ax = 0有解当且仅当r(A) < n 非齐次线性方程组：Ax = b有解当且仅当r(A) = r(A|b) 线性相关与线性无关线性相关：向量组中存在不全为0的数使得线性组合为0 线性无关：向量组中不存在不全为0的数使得线性组合为0 向量的内积与正交内积：aⷢ = |a||b|cos正交：aⷢ = 0当且仅当a与b正交正交基：由正交向量组成的向量组称为正交基施密特正交化方法：将一组线性无关的向量正交化正定矩阵与特征值正定矩阵：A为正定矩阵当且仅当A的特征值全大于0 特征值与特征向量：Ax = ，𘺁的特征值，x为对应的特征向量相似矩阵与对角化相似矩阵：A~B当且仅当存在可逆矩阵C使得B = CAC^-1 对角化条件：A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量 Jordan分解与若当型矩阵 Jordan分解：任意矩阵A都可以相似于一个Jordan块组成的矩阵J 若当型矩阵：J的每个Jordan块称为若当块，J称为若当型矩阵实对称矩阵的对角化实对称矩阵：A为实对称矩阵当且仅当A的特征值为实数实对称矩阵的对角化：A相似于对角阵，且正交相似于双对角阵二次型与慢性指数二次型：f(x) = xTAx，其中A为实对称矩阵慢性定理：任何实二次型都可以通过线性替换化为标准形，且标准形唯一。慢性指数p称为正惯性指数。正定二次型与正定矩阵正定二次型：f(x) > 0对于所有非零x成立，A为正定矩阵。正定条件：A的特征值全大于0，正惯性指数为n。合同与线性替换合同变换：X = CY，其中C可逆，则称为可通线性替换。合同条件：若AB合同，则存在可逆矩阵C使得B = CAC^-1。

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