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保号性定理前沿信息_保号(2024年12月实时热点)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：教程更新日期：2024-11-30

保号性定理

数学分析笔记：从基础到进阶 ### 数列极限 𐟚€ 实数系的连续性：确界原理、Dedekind分割原理、Stolz定理、收敛准则（单调有限定理、柯西收敛准则、Bolzano-Weierstrass定理）、闭区间套定理、归结原则。两个重要的极限：连续函数的定义，第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点或振荡间断点）。函数极限的性质 𐟓ˆ 唯一性：函数极限在自变量趋近于某个值时，极限值是唯一的。局部保号性：函数在某点的极限与函数在该点的值符号相同。局部保序性：函数在某点的极限与函数在该点的值大小关系一致。局部有界性：函数在某点的极限与函数在该点的值都存在且有限。两边夹准则：函数被两个极限相同的函数夹在中间，其极限也存在且与这两个函数相同。无穷小量和无穷大量阶的判断：闭区间上的连续函数具有有界性、最值性、零点、介值性、一致连续性。反证法是一种有效的证明方法。区分一致连续和点点连续。一元微分 𐟓 代数学基本定理：一元n次多项式在复数域上有n个解。微积分基本定理：NL公式，可导一定连续，可导等价于可微。复合函数求导（链式法则）：复合函数的导数等于内层函数和外层函数的乘积。隐函数求导：隐函数的导数可以通过隐函数定理求解。一阶微分方程不变性：微分方程的解与自变量的变化无关。微分中值定理及其应用 𐟔 费马引理（Fermat）：极值点的导数为0。罗尔定理（Rolle）：函数在区间两端相等，中间有一点导数为0。拉格朗日定理（Lagrange）：中间导数等于斜率。柯西中值定理（Cauchy）：引入了两个函数，凹凸函数，不等式（三角不等式、均值不等式、Jensen不等式、Young不等式、Holder不等式）。洛必达法则：实际上是柯西中值的推广应用。泰勒展开：Peano余项和Lagrange余项。不定积分 𐟌 换元积分法（第一类和第二类）：通过换元法求解不定积分。分步积分法：分步积分法适用于被积函数包含不同类型项的情况。有理函数积分法：有理函数的积分可以通过部分分式法进行。定积分 𐟓Š 分割、近似、求和、取极限：黎曼可积，Darboux上和等于下和（上和不增，下和不减），必要条件是函数有界。基本性质：线性性、保序性、区间可加性、积分第一中值定理。反常积分、瑕积分、二元无穷限积分：通过求Cauchy主值的方法判断积分收敛的方式（Cauchy判别法、比较判别法、A-D判别法）。 PS: 闭区间上的连续函数一定可积且有界且一致连续，闭区间上的单调函数一定可积。点火公式要记住（sin和cos的n次方在0到2上的积分，考虑n为偶和n为奇，偶的时候从1/2开始要乘2，奇的时候从1开始）。

𐟓š 成人本科高等数学考点全解析 𐟓– 𐟓Œ 成人本科高等数学，是许多成人高考考生必须面对的挑战。为了帮助大家更好地备考，我们整理了《高数一》的考点汇总，供大家参考。 𐟔 第一章：极限和连续极限的三大性质：唯一性、局部保号性和局部有界性。极限的四大运算法则：加减法、乘除法、复合函数和洛必达法则。夹逼准则：如果函数被两个极限相同的函数夹在中间，那么这个函数的极限也存在且相同。无穷小量与无穷大量的比阶：比较两个无穷小量或无穷大量的大小关系。 𐟓Š 第二章：一元函数微分学凹凸性：判断函数是凹函数还是凸函数。拐点：找出函数的拐点，即单调性改变的点。 𐟎쬤𘉧렯𜚤𘀥…ƒ函数积分学原函数与不定积分的概念：原函数的存在定理和不定积分的定义。不定积分的性质：数乘、分项、线性运算和先后次序。 𐟌 第四章：空间解析几何了解空间解析几何的基本概念和性质。 𐟌 第五章：多元函数微积分学多元函数的概念和性质。多元函数的偏导数和全导数。 𐟓ˆ 第六章：无穷级数无穷级数的收敛性和发散性。无穷级数的求和公式。 𐟌€ 第七章：常微分方程常微分方程的基本概念和性质。常微分方程的解法和应用。 𐟓š 通过这些考点的梳理，希望能帮助大家更好地理解和掌握成人本科高等数学，顺利通过考试！

数学分析每日一题：定积分的可积性探讨 𐟓š ### 定积分的可积性理论 𐟓 在西南交通大学的2022年考研题中，我们探讨了定积分的可积性。已知条件是数列an的极限存在，即an→a(n→∞)。由于函数fx有界，我们可以找到一个常数M，使得｜fx｜≤M。接下来，我们定义𘺩‚𛥟Ÿ比较2M和区间长度中的较小值。由于极限存在，我们知道在[a+𜌢]区间内有限个间断点。根据可积函数类定理，我们可以得出在这个区间上函数是可积的。为了证明这一点，我们利用分割法，从△2,△3,...,△n开始，然后在补充区间[a，a+，得到新的分割。通过不等式，我们可以证明函数在该区间上是可积的。反证法的应用 𐟚늊在四川大学的2022年考研题中，我们使用了反证法来证明函数的可积性。已知函数fx在[a，b]上可积，这意味着fx在[a，b]上的连续点处处稠密。我们取一个连续点𜌤𝿥𞗦(≤0。利用分割和极限，我们可以得出fx在[a，b]上的积分≤0，这与已知条件矛盾。因此，利用保号性，我们可以找到一个∈[c，d]⊆[a，b]，使得f()＞0，从而证明函数在[a，b]上是可积的。保号性的运用 𐟔 在河北工业大学的2022年考研题中，我们再次使用了反证法。已知函数fx在[a，b]上有有限个间断点，我们可以取一个连续点x0，并利用保号性得到∃x0∈[c，d]⊆[a，b]，使得f(x)≥f(x0)＞0。通过积分不等式，我们可以得到矛盾，从而证明函数在[a，b]上是可积的。通过这些题目，我们可以看到定积分的可积性理论在实际应用中的重要性，以及如何在不同的情境下运用这一理论来解决问题。

数学分析：第二章数列极限详解 𐟓– 华东师大陈纪修 𐟗𚯸 课本上的定义与定理的思维导图 𐟓Œ 数列极限的定义给定一个数列 $\{ a_n \}$，如果存在一个实数 $a$，使得对于任意小的正数 $\epsilon$，都存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|a_n - a| < \epsilon$，那么我们就说数列 $\{ a_n \}$ 收敛于 $a$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$。 𐟓Œ 数列极限的性质 1️⃣ 唯一性：如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。 2️⃣ 有界性：收敛数列必有界。 3️⃣ 保号性：如果数列收敛且极限不为零，那么原数列不改变符号。 4️⃣ 保不等式性：如果数列收敛且极限大于零，那么原数列的所有项都大于零。 5️⃣ 通有性：任何收敛数列的子数列也收敛。 𐟓Œ 判断数列是否存在极限的方法 1️⃣ 单调有界定理：单调且有界的数列一定收敛。 2️⃣ 致密性原理：任何有界数列都有收敛的子数列。 3️⃣ Cauchy收敛准则：对于任意小的正数 $\epsilon$，存在正整数 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，$|a_m - a_n| < \epsilon$。 𐟓Œ 确界原理如果数列 $\{ a_n \}$ 有上界，那么它有上确界；如果数列有下界，那么它有下确界。 𐟓Œ 致密性原理任何有界数列都有收敛的子数列。 𐟓Œ Cauchy收敛准则对于任意小的正数 $\epsilon$，存在正整数 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，$|a_m - a_n| < \epsilon$。

专升本数学知识点全掌握！𐟓š 𐟓– 专升本数学知识点归纳 𐟔 极限与连续数列函数：包括初等函数、分段函数、复合函数、隐式函数等。极限性质：如无穷小与无穷大、未定型、有界性、保号性等。常用结论：如等价无穷小、泰勒公式等。 𐟧𘸨焦–𙦳•：包括代换法、抓大弃小、处理0/0型和∞/∞型等。 𐟓š 导数与微分基本概念：差商与导数、左右导数、可导与连续的关系。微分与导数：可微可导的条件，以及与0的大小比较。求导准备：基本初等函数的求导公式，以及四则运算、复合法则、反函数求导法则。 𐟔 各类求导方法：包括分段函数、初等导数、隐式函数等。 𐟓ˆ 连续函数性质通性：平均值的存在定理。介值定理：包括达布定理。 𐟒ꠥ䇨€ƒ建议建议大家把电子版本的打印下来，认真背诵。希望大家都能逢考必过！加油！𐟒ꀀ

函数极限知识点全面解析大家好！好久没更新了，这段时间我在慢慢寻找自己的内心，遵从自己的感受。今天带来的是函数极限的知识点，希望能对大家有所帮助。我会坚持慢慢更新，坚持输出有价值的内容！有界性 𐟓 如果函数 f(x) 在某个区间内有界，且在常数 D 附近有定义，那么可以表示为 f(x) = A。保号性 𐟛᯸ 如果函数 f(x) 在某个区间内单调递增或单调递减，且在 D 附近有定义，那么可以表示为 f(x) ≤ A 或 f(x) ≥ A。极限定义 𐟓 如果函数 f(x) 在某个区间内存在极限，那么可以表示为 lim_{x \to D} f(x) = A。夹逼准则 𐟓‰ 如果函数 f(x) 和 g(x) 在某个区间内被同一个函数 h(x) 夹在中间，且 h(x) 在 D 附近有极限，那么 f(x) 和 g(x) 在 D 附近也有相同的极限。洛必达法则 𐟧悦žœ函数 f(x) 和 g(x) 在某个区间内都为 0，且在 D 附近可导，那么可以计算 lim_{x \to D} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)}{g'(x)}。洛必达法则的扩展 𐟌 如果函数 f(x) 和 g(x) 在某个区间内都为 0，且在 D 附近不可导，那么可以尝试其他方法，如利用洛必达法则的变形或等价无穷小替换。无穷小替换 𐟌€ 当 x 趋近于 0 时，可以利用无穷小替换来简化计算，如 sin x、tan x、arcsin x、arctan x 等。中值定理 𐟓 中值定理在解决函数极限问题时非常有用，但需要注意其使用条件，如函数在某区间内连续且可导。区间内连续 𐟌 如果函数 f(x) 在某个区间内连续，那么可以表示为 f(x) 在该区间内每个点都有定义且可导。间断点 𐟚犩—𔦖�𙥈†为可去间断点、跳跃间断点和振荡间断点，需要根据具体情况进行分析。希望这些知识点能帮助大家更好地理解函数极限，如果有任何问题或需要更多解释，欢迎随时留言！

专升本高等数学知识点全解析 𐟎“ 专升本高等数学知识点归纳总结，助你轻松备考！ 𐟓š 第一讲：极限与连续数列与函数类型：初等函数、分段函数、复合函数、隐式函数、参数方程、变限积分函数、级数和函数等。特征：单调性与有界性、奇偶性与周期性。反函数与直接函数：y = f(x) → x = f(y) → y = f(x)。极限性质类型：无穷小与无穷大、未定型。性质：有界性、保号性、归并性。常用结论等价无穷小：当u(x) → 0时，sin u(x) - u(x)、tan u(x) - u(x)、e - 1 - u(x)、ln(1 + u(x)) - u(x)等。泰勒公式：e = 1 + x + x^2/2 + ...，ln(1 + x) = x - x^2/2 + ...，sin x = x - x^3/6 + ...，cos x = 1 - x^2/2 + ...。常规方法抓大弃小、无穷小与有界量积、洛必达法则、等价无穷小替换、泰勒公式处理等。 𐟓š 第二讲：导数及应用（一元）基本概念可导与连续：在x = 0处，连续但不可导；可导但不一定连续。微分与导数：可微可导；比较“0”与“4”的大小。求导准备基本初等函数求导公式。法则：四则运算、复合法则、反函数求导。各类求导方法定积分与不定积分、初等导数公式加法则、隐式函数求导存在定理。 𐟓š 第三讲：导数及应用（多元）基本概念偏导数与全导数：偏导数存在不一定全导数存在。多元函数的极值：拉格朗日乘数法、约束条件下的极值问题。常见应用无穷小比较（等价，阶）：f(x) - kx^n，(x → 0)。渐近线（含斜率）：渐近线方程的求解。连续性：间断点判别、分段函数连续性。 𐟓š 第四讲：积分与微分方程不定积分与定积分：不定积分的求解、定积分的性质与计算。微分方程：一阶微分方程的解法、高阶微分方程的解法。常见应用面积与体积的计算：利用定积分求解面积和体积。物理问题：利用微分方程解决物理问题。 ⛑️

四川统招专升本高等数学考纲详解 𐟓š 四川省教育考试院发布的专升本高等数学考纲，虽然不是最新的，但往年考纲内容相对稳定，具体还需以每年新考纲为准。以下是根据往年考纲整理的详细内容： 𐟓Œ 考试范围考试范围包括《高等数学》和《线性代数》。《高等数学》涵盖函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学与二重积分、无穷级数、常微分方程等内容。《线性代数》则包括行列式、矩阵、向量、线性方程组等。 𐟓Œ 考试内容及要求函数、极限和连续函数：理解函数的概念，求函数（包括分段函数）的定义域、表达式及函数值，建立实际问题的函数关系式。掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。了解函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)之间的关系，会求单调函数的反函数。熟练掌握函数的四则运算与复合运算，复合函数的复合过程。掌握基本初等函数的性质及其图象。极限：了解数列极限的概念，了解数列极限的唯一性、收敛数列的有界性。了解函数极限的概念，理解函数极限存在的充分必要条件，理解函数极限的唯一性、局部保号性。熟练掌握极限的四则运算法则。了解数列极限的两个收敛准则（夹逼准则与单调有界准则）、函数极限的夹逼准则，熟练掌握两个重要极限。了解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，比较无穷小量的阶（高阶、低阶、同阶和等价），会用等价无穷小量求极限。连续：理解函数在一点连续与间断的概念，会判断函数（包括分段函数）的连续性。会求函数的间断点并判断其类型。理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理，会用零点存在定理进行证明。 𐟓Œ 考试形式与试卷结构考试形式：考试采用闭卷、笔试形式，试卷满分150分，考试时间120分钟。试卷结构：考试题型可采用判断题、单选题、填空题、计算题、解答题、证明题、应用题等形式。试题按其难度分为容易题、较易题、中等难度题、较难题四种难度，试卷总体难度适中。试卷内容结构为线性代数约占20%，其他内容约占80%。 𐟓š 参考书目同济大学数学系.高等数学(第七版）：高等教育出版社同济大学数学系.工程数学：线性代数（第六版）：高等教育出版社希望这份考纲能帮助到正在准备四川统招专升本高等数学考试的你！𐟓–

张宇五：数学考试后的真实感受这次的数学考试真是让我又爱又恨。平时跟着张宇的视频学，线代和概率的部分总是觉得一分都拿不到，结果这次直接被干到90分！𐟘… T4题计算错误 T7题到现在还没搞明白怎么写，真是让人抓狂。T9题其实可以当大题来处理，但我随便选了答案，真是有点对不起这道题。 T10题几何分布的期望和方差完全忘了，真是失策。填空题部分 14题思路很常规，补面高斯-补面二型面积分，但我就是想不起来。 16题忘记期望公式，代入公式计算不出来，真是尴尬。大题部分 18题用夹逼求极限，解法确实有点刁钻，但思路很朴实。夹逼定理平时很容易忽略，这次算是长记性了。 19题判别式＝0就下意识去证明极值不存在了，没考虑到第一问的保号性，真是新的思路没见过，写不来。 21题线代大题还是没写出来，看了答案觉得确实有东西，但我真的没反应过来。先用配方法做可逆线性变换，然后再对B用正交变换。 22题第二问看错了，竟然用矩估计去写了，真是nc了，当时可能心态爆炸了。总结总的来说，这次考试虽然有些意外，但也让我意识到了一些不足。选填部分还是要少丢分，大题部分还是要多思考，多总结。希望下次能有个更好的成绩吧。𐟒ꀀ

高等数学课课练：函数的定义与性质 𐟓š 本节内容涵盖函数的定义及性质，数列的极限等重要概念。 𐟔 知识点1：函数的特性有界性：设函数f(x)的定义域为D，数集X⊆D。如果存在正数K，使得对任意x∈X，有|f(x)|≤K，则称函数f(x)在X上有界。单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D。如果对于区间上任意两点x1和x2，当x1f(x2)），则称函数f(x)在区间I上单调增加（或减少）。奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意x∈D，有f(x)=f(-x)，则称f(x)为偶函数。如果对于任意x∈D，有f(x)=-f(-x)，则称f(x)为奇函数。周期性：设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任意x∈D，有(xⱔ)∈D，且f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期。 𐟓 参考答案判断函数y=ln(x+√x+1)是奇函数还是偶函数？答案：C（既是奇函数又是偶函数）判断函数y=arctanx是否是无界函数？答案：B（是单调增加的奇函数且定义域是(-∞,+∞)）求函数y=ln2+arcsin的定义域？答案：(1)(-3,0)∪(2,3) 求函数y=√16-x的定义域？答案：(0,1)∪(1,4) 𐟔 知识点2：数列极限 E-N语言叙述：liman=a (a>0)，即存在N>0，使得当n>N时，有|an-a|<€‚ 数列极限的性质收敛极限唯一性：如果数列收敛，那么它的极限唯一。收敛数列的有界性：如果数列xn收敛，那么数列{xn}一定有界。收敛数列的保号性：如果数列{xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，有xn>0（或xn<0）。数列极限保不等式性：如果数列{xn}和{yn}分别收敛于a和b，若存在正整数N，当n>N时，有yn≥xn，则极限a≥b；反之，若数列{xn}和{yn}分别收敛于a和b，且a>b，则存在正整数N，当n>N时，有xn>yn。 𐟓 参考答案判断数列(-1)^n是否收敛？答案：发散利用极限存在准则，求证limn存在，并求其极限？答案：limn=1 利用单调有界定理求极限？答案：单调有界数列必有极限利用夹逼准则求解极限？答案：如果数列xn和yn满足某些条件，那么limxn=limyn=a 𐟔 知识点3：利用单调有界定理求极限定理：单调有界数列必有极限。利用夹逼准则求解极限定理：如果数列xn和yn满足某些条件，那么limxn=limyn=a。