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高中立体几何权威发布_高中立体几何经典例题(2024年12月精准访谈)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：观点更新日期：2024-12-03

高中立体几何

高中立体几何知识点全解析立体几何是高中数学中相对容易的一个板块，只要你对基本知识点非常熟悉，掌握一些解题技巧，就能轻松应对。下面我们来详细讲解一下立体几何的关键知识点。外接球和内切球 𐟎ˆ 外接球补形为长方体：有些几何体补形后为长方体，它们通常有两个特征：①侧棱垂直底面，底面有直角（如墙角模型、鳖模型、阳马模型）；②三棱锥的三组对棱对应相等。补形后，长方体的体对角线即为外接球的直径，公式为(2R)Ⲡ= aⲠ+ bⲠ+ cⲯ𜌥…𖤸풤𘺥䖦Ž姐ƒ半径，a、b、c分别为长方体的长、宽、高。补形为圆柱体：先将几何体补形为圆柱体，然后计算出底面小圆半径，利用圆柱高的一半构建勾股定理。第一步是找到三角形的外接圆半径r（满足h = 2r），第二步利用勾股定理求得外接球半径R = √(rⲠ+ hⲩ。补形为圆锥体：补形为圆锥体的模型要求顶点、球心、底面圆心三点共线。常见特征有：①正棱锥；②顶点在底面的射影是底面外心；③侧棱长相等。圆柱体的截面 𐟓 平行截面：若截面与底面平行，则截面是一个圆面。垂直截面：若截面与底面垂直，则截面是一个矩形。斜截面：若截面与底面斜交，则截面是一个椭圆（或椭圆的一部分）。圆锥体的截面 𐟌 平行截面：若截面与底面平行且不过顶点，则截面是一个圆面。过顶点截面：若截面过圆锥顶点且与底面相交，则截面是一个等腰三角形。动点轨迹：当截面不过顶点且不与底面平行时，截面可能是抛物线、双曲线、椭圆等情况。正方体的截面 𐟎𙳨ጦˆ꩝⯼š若截面与正方体的一条棱平行，则截面是一个矩形。不平行截面：若截面与正方体任何一条棱都不平行，则截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形。常见的形状有等腰三角形、等边三角形、菱形、等腰梯形、正六边形等。注意，截面不包含直角三角形、直角梯形、钝角三角形、正五边形。棱柱的截面：对于n棱柱，其截面形状最多成为n+2边形（其中n≥4）。多面体截面作图技巧 𐟓 相邻平面的点：延长找棱的交点。平行平面：找平行线。连接棱上交点：通过连接棱上的交点来辅助作图。二面角背景的模型 𐟌 双圆拼接模型：几何体中可看作存在一个二面角D-BC-A形态，此时往往需要将两个三角形的外接圆圆心分别找出来，外接球球心位于过小圆圆心的小圆垂线交点处。特别地，若△AABC和△BCD为全等的三角形或者等腰三角形拼接，或者两圆所在平面垂直，可以通过几何关系来求解外接球半径R。三面角余弦定理：已知PA、PB、PC分别是从P点发出的三条射线（不共面），LAPC = 𜌌BPC = 𜌌APB = 𜌤𚌩⨧’sin€sin€sin𛡨𖳤𘀥š„关系。其他结论 𐟌Ÿ 已知平面a，若△ABC所在平面B，AB = B，AC、BC分别与平面a所成角为€𜌥ˆ™平面B与a所成角满足sin+ sin= sin€‚ 通过这些知识点和技巧，你可以更好地掌握立体几何，提高解题能力。加油！𐟒ꀀ

𐟧餺𒥭玩具推荐｜立体几何积木，乐趣无穷！大家好，我是肉肉妈妈，家里有个5岁的小女儿。最近在百度上看到很多关于平面空间思维启蒙的讨论，作为一个被高中立体几何虐过的老母亲，我也决定给女儿买点几何积木，希望能帮她更好地理解立体几何。 𐟎Ž饅𗥐称：monsterguga（小怪兽）桌游几何积木 𐟑𖠦Ž訍年龄：4岁及以上这个玩具的玩法非常多样，可以选择单人玩，也可以和家长一起亲子互动。通过拼搭不同颜色的俄罗斯方块，在图纸上拼出对应的图案。 𐟌ˆ 推荐理由：故事驱动：每个题目都有一个有趣的小故事，让小朋友更有代入感。多种玩法：可以单人玩，也可以亲子一起玩，保持小朋友的兴趣。发散思维：平面拼搭有多种方案，可以挑战小朋友的发散思维能力。立体拼搭：刚开始会有详细的讲解，对刚接触立体的小朋友非常友好。通过搭建立体积木，让小朋友更好地了解立体构成。颜值高：明亮的颜色非常吸引小朋友，第一眼就能让他们爱上。材质安全：木质积木无异味，没有毛刺，可以放心使用。总的来说，这款几何积木不仅能让小朋友在玩乐中学习，还能通过亲子互动增进亲子关系。强烈推荐给大家！

孩子空间思维差？积木桌游来帮忙！你还记得我学生时代学立体几何的时候吗？班上总有那么几个同学，一听到立体几何就头疼，怎么想也想不出物体在空间中的样子。那时候我真庆幸小时候积木玩得多。空间思维对孩子们来说真的太重要了！从小学数立方体，到初中识别三视图，再到高中立体几何，甚至现实生活中的方位感，这一切都离不开空间想象能力。你会发现，缺乏空间想象力的孩子，立体几何特别难教。首先，立体的东西用语言描述很难，其次是孩子脑子里形成不了画面，愈发没有体感。那怎么开发空间思维呢？最简单的方法就是多玩积木！今天就给大家介绍一款特别适合儿童的积木桌游。 𐟎𘸦ˆ名称：前搭后建 𐟑堦𘸦ˆ类型：合作、亲子、积木 𐟑堦𘸦ˆ人数：2-6人，推荐2人 𐟑𖠩€‚合年龄：8岁以上这个游戏其实挺简单的，但需要玩家之间通力合作。两个人相对而坐，桌游盒子放在中间。然后随机抽一张关卡牌插在卡槽内，这张关卡牌展示了积木搭建成后的正反两面主视图。两个人需要在规定时间内把图中的积木复原出来。关卡分为简单和困难两种难度，挑战7关即可获胜。如果是2人以上的话，基本规则不变，只是从合作挑战变为组队竞速。 𐟎‰ 游戏的欢乐之处游戏的原理非常简单，就是把积木前后的主视图投影到平面上。两个人分别看到积木的正反两面，有些积木这面能看到那面却看不到，有些积木两面都能看到但位置却不同。想要复原就需要玩家互相协作把积木摆放到正确位置，或躺或立或遮挡。熟悉玩法之后就是不断强化练习，缩短复原时间。不得不说，最后一关15秒内复原，即使是成年人也并不容易完成。通过摆弄小木块，孩子会逐渐对空间几何有初步概念。虽然他们可能不知道投影等概念，但至少在后续接触相关知识的时候脑海里能浮现出物体的样子，便于快速掌握知识。 𐟒ᠥ𐏨𔴥㫊如果觉得这款游戏太简单，可以挑战3D乌邦果（可以查阅第34篇日记）。当然，市面上同类型的积木类游戏有很多，价格便宜的下级替代也很多，就不多做推荐啦。总之，通过这款游戏，孩子们不仅能锻炼空间思维能力，还能在玩乐中学习到很多知识。快和孩子一起玩起来吧！

高中数学立体几何笔记：公式与模型详解 𐟓’高中数学立体几何笔记（1）立体几何是高中数学中的一大板块，涵盖了外接球模型与公式、正四面体问题、截面问题、墙角问题、展开图问题、等体积法、对棱相等、直角三角形求解、球心和三角形四边形外接圆圆心问题、最大最小值及动点问题等多个方面。外接球模型与公式𐟓 在立体几何中，外接球模型和公式是非常重要的。无论是圆柱形、圆锥形还是长方体，都可以通过建立坐标系来解决二面角问题。正四面体相关问题𐟧銦�››面体的问题也是立体几何中的一大类。解决这类问题时，需要掌握正四面体的性质和公式，以及如何利用这些性质和公式来求解。立体几何易混概念𐟔„ 立体几何中有很多容易混淆的概念，比如线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等。这些概念虽然看似简单，但在解题时却非常重要。常见题型及模型𐟓 立体几何的题型多种多样，常见的有截面问题、墙角问题、展开图问题、等体积法、对棱相等、在直角三角形中求解、利用球心和三角形四边形外接圆圆心解决问题、最大最小值及动点问题等。每种题型都有其特定的解题方法和技巧。基本定理𐟓‘ 立体几何中还有一些基本定理，比如最小角定理和基本构图及找二面角的方法。这些定理可以帮助我们更好地理解和解决立体几何问题。其他重要概念𐟌 此外，还有一些与立体几何相关的其他重要概念，如南北纬和经线圈等。这些概念虽然不是直接用于解题，但在理解立体几何时却非常有帮助。希望这些笔记对大家有所帮助，不用盲目使用，选择适合自己的方法进行学习。

【「数学老师当整理收纳师有何不一样」】你是不是以为整理收纳师就是家政保洁？曾在高中担任数学老师的李慧芳表示，整理只是职业基础能力。稀缺的规划、设计、拆改能力，考验从业者的系统思维。她举例，掌握了初中平面几何知识和高中立体几何知识，她可以快速读懂房屋平面设计图、柜体内部设计图、家装设计图等，并教会团队年轻人更好更快地看懂图纸，提升工作效率。此外，每次一进客户家门，即便房子再大，她也能迅速摸清空间方位和走向，并判断出哪个空间适合放置哪些物品。同时，李慧芳对长、宽、高等尺寸数字极为敏感，每次改造储物空间时，她在图纸上寥寥几笔，写上几个数字，就能计算出如何最大化地利用剩余空间。一次，她对一块3平方米的衣帽间小空间进行拆改，加上收缩挂衣杆，将收纳能力扩展至6-10平方米，下装悬挂量由10条增加为50条。她还自学了CAD设计画图软件，能快速为客户提供衣柜内部平面图，让客户清楚看到空间改造前后的对比。现在，她不仅为年轻人量身打造了线上课程，教他们如何在新房装修阶段提前避坑，应对收纳空间设计难题，还带着年轻同事进小学上收纳课，想让孩子们学到袜子折叠、书包整理、书桌整理等小知识，收获劳动技能。　　她感慨，从高中教育到生活教育，自己又当回了老师。但她并不意外，她总说，人要努力拥抱新知识和新技能，未来总有一天能派上大用场。「学习新知识和新技能未来总有大用场」「内蒙古禁毒超话」中国青年报的微博视频

高中立体几何知识点全面解析 𐟔 立体几何是高中数学中的重要部分，掌握好这部分知识可以为你的数学成绩打下坚实基础。下面是对立体几何知识点的全面归纳和解析，帮助你更好地理解和掌握。平面与直线 𐟓 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。证明点共线：将问题转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后利用公理2证明这些点都在公共直线上。证明共点：先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。证共面：先根据部分条件确定一个平面，再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合。空间直线的位置关系 𐟌 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面。相交直线：共面有且仅有一个公共点。平行直线：共面没有公共点。异面直线：不同在任一平面内，无公共点。平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并直方向相同，那么这两个角相等。两异面直线的距离：公垂线段的长度。空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直。直线与平面的关系 𐟓 直线与平面平行、直线与平面垂直。空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内。直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。直线与平面垂直是指直线与平面任何一条真线垂直，过一点有且只有一条真线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条真线垂直。若PAl，alAO，得alPO（三垂线定理），三垂线定理的逆定理亦成立。平面与平面的关系 𐟓˜ 空间两个平面的位置关系：相交、平行。平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。两个平面垂直判定一：两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么这个平面内的任意一条直线也垂直于这个平面。两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面。总结 𐟓 立体几何知识点繁多且复杂，但通过系统的归纳和练习，你可以逐渐掌握这些知识点。希望这份总结能帮助你在高中数学中取得更好的成绩！

8道高中立体几何线面角经典题详解 1. 𐟓š 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E,F分别为CD,PB的中点，AB=BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值。 𐟔 解析：连接BD交AC于O，连接FO，设BC=2，AB=2√3，PD=2，CF=BC=2，F=90Ⱟ𜌓AEFA=5，DF面ABCD，EF=JGE+-E，AC_3SAC-OF，Sing=2/反，AC-SAFA，ACⷊ 𐟓 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PD=BD=AD，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值。 𐟔 解析：连接AC，PA与平面PBC所成角即为PA与AC的夹角。根据已知条件，可以求出PA与AC的夹角为60Ⱓ€‚ 𐟓˜ 如图，在五面体ABCDFE中，四边形BCFE为等腰梯形，EFLBC，且BE=EF=BC，若ABE为等边三角形，且面ABEl面BCFE，求AC与面ABE所成角。 𐟔 解析：连接AC并延长至H点，使得AH垂直于BE。根据已知条件，可以求出AC与面ABE所成角为60Ⱓ€‚ 𐟓– 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD中点，求直线AC与平面PCD所成角。 𐟔 解析：连接CG并延长至D点，使得DG垂直于PC。根据已知条件，可以求出AC与平面PCD所成角为30Ⱓ€‚ 𐟓 如图，圆的直径为AB=4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点，若PA=2√2,AC=2,求PB与面PAC的夹角。 𐟔 解析：连接BC并延长至P点，使得BP垂直于AC。根据已知条件，可以求出PB与面PAC的夹角为45Ⱓ€‚ 𐟓˜ 如图所示，在AABC中，CA=CB=AB，四边形ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC,G，F分别是EC，BD的中点.求直线EC与平面ABED所成的角的正弦值。 𐟔 解析：连接EC并延长至D点，使得ED垂直于AB。根据已知条件，可以求出EC与平面ABED所成的角的正弦值。 𐟓– 六棱锥P-ABCDEF的底面是边长为1的正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2√3，求直线PD与平面ABC所成的角。 𐟔 解析：连接AD并延长至P点，使得PD垂直于AB。根据已知条件，可以求出PD与平面ABC所成的角。

𐟓˜高中立体几何全知识点速览 𐟓š 高中立体几何，你掌握了吗？来看看这些核心知识点吧！ 𐟔𙠥𙳩⧟娯†全解析： 1️⃣ 平面的基本性质，你了解吗？掌握三个公理及推论，轻松解决共点、共线、共面问题！ 𐟔𘠧麩—𔧛𔧺🥤福�˜： 2️⃣ 空间直线位置关系，你分得清吗？相交、平行、异面，一目了然！ 3️⃣ 平行公理和等角定理，解决直线间角度问题！ 𐟔𙠧›𔧺🤸Ž平面如何互动？ 4️⃣ 直线与平面平行、垂直，判定定理和性质定理一网打尽！ 𐟔𘠥𙳩⥹𓨡Œ与垂直，你掌握了吗？ 5️⃣ 空间两个平面的位置关系，相交、平行，轻松判断！ 6️⃣ 平面平行判定定理和性质定理，让你解题更顺手！ 𐟎‰ 立体几何，你不再是难题！掌握这些知识点，轻松应对考试！

高中数学《立体几何》专题全总结

高中数学立体几何8大模型，轻松掌握！高一的同学们，这学期你们的主要任务就是掌握高中数学立体几何的知识点。立体几何中，球体部分相对来说比较难，为了帮助大家更好地理解，我整理了8个常见的模型，总结如下：模型一：墙角模型 𐟏 这个模型就像家里的墙角，利用直角三角形和球体的关系来解决问题。模型二：垂面模型 𐟧𑊥ž‚面模型利用垂直平面的性质，结合球体和垂线的几何关系来求解。模型三：切瓜模型 𐟍‰ 这个模型有点像切西瓜，通过切割球体来找出隐藏的几何关系。模型四：汉堡模型 𐟍” 汉堡模型利用球体和切割平面的关系，像做汉堡一样层层叠加。模型五：折叠模型 𐟓 折叠模型通过折叠球体来找出隐藏的几何关系，像纸片一样折叠。模型六：对棱相等模型 𐟓 这个模型利用对棱相等的性质，结合球体的几何关系来求解。模型七：三棱锥模型 𐟪“ 三棱锥模型利用三棱锥的几何关系，结合球体的性质来找出答案。模型八：椎体内切球问题 𐟎🙤𘪩—˜通过找出椎体内切球的半径来解决问题。希望这些模型能帮助大家更好地掌握高中数学立体几何的知识点，加油！

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