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线性方程组前沿信息_线性方程组有解的条件(2024年11月实时热点)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：教程更新日期：2024-11-28

线性方程组

#科学趣事# 线性代数之所以被称为“线性代数”，这一命名蕴含了其学科特性和历史渊源。 “代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直1859年清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，并一直沿用至今。在历史上，“代数”主要指的是解方程，即通过一定的数学运算求解未知数的过程。 “线性”一词则描述了该学科研究的核心特性。在数学中，线性”通常指的是量与量之间按比例、成直线的关系，即满足加法和数乘运算的性质。具体来说，线性关系具有均匀性和可加性，如函数y=2x，若输入值均匀排列，则输出值也均匀排列。在线性代数中，这种线性关系主要体现在向量、矩阵和线性变换等概念上。线性代数出现于17世纪，是法国数学家费马和笛卡儿等人研究工作的成果。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，最初的线性方程组问题大都来源于生活实践，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。在古代，“代数”就是指解方程，所以以“线性代数”命名。线性代数最早确实是因解线性方程组而发明的，它研究的是线性方程组、向量空间与线性映射等对象。然而，到了现代，线性代数的研究内容已经远远超出了单纯解线性方程组的范畴。现代的线性代数研究中心已经从解方程演变成了线性空间以及发生在线性空间之中的线性变换（算子）。具体来说，现代线性代数研究的是向量空间、矩阵、线性变换、行列式、特征值与特征向量等概念。其中，向量是线性代数的基本元素，通过线性组合可以表示其他向量；矩阵可以看作是一组向量的集合，用于表示线性变换；行列式用于描述矩阵的性质，与线性方程组的解有密切关系；特征值与特征向量则揭示了矩阵在某个特定方向上的行为。从某种程度上说， “线性代数”这一名称已经过时。因为现代的线性代数已经不再是单纯研究方程的“代数”，而是研究空间及其变换的“分析”。它准确来说应该改名叫“有限维线性泛函分析”。但出于各种考虑（如品牌价值），国内外并未更改这一命名。综上所述，“线性代数”之所以得名如此，既与其历史渊源有关，也与其研究的核心内容——线性关系、线性方程组以及线性变换等——紧密相连。尽管现代线性代数的研究内容已经远远超出了单纯解方程的范畴，但“线性代数”这一名称仍然被广泛使用并接受。 …… …… …… 【文本源于“文心一言”】#优质作者榜# ————————————————————— 欢迎点击下方专栏，并加入书架。

“2025考研数学考前点拨系列”，今天是系列三十：同解方程组大观。要分别记好齐次与非齐次线性方程组各自同解的理论及具体做法，这部分亦是有较大区分度的。宇哥考研的微博视频

【中国古代重要科技发明创造】《九章算术》之线性方程组解法中国汉代古算书《九章算术》方程章中的“方程”与现在的方程含义不同，它不是指含有未知数的等式，而是指根据一定规则由数字排列而成的呈方形的程式。以《九章算术》方程章第一题为例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。” 如用现在设未知数列方程的方法，列出的线性（一次）方程组为： 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 x+2y+3z=26 中国古代没有设未知数的习惯，而是直接用算筹将数目列在筹算板或者桌面上。这种算式是按某种比率关系建立起来的数字阵，似乎是分离系数法的体现。解这个“方程”用的是“直除法”。所谓直除法，就是整行与整行对减。此处方程的建立及消元变换采用位值制，每个数字不必标出它是什么物品的系数，而是用所在的位置表示。《九章算术》方程的表示，相当于列出其增广矩阵，消元过程相当于矩阵变换。用直除法必然会出现零减去正数的情况。为使运算继续下去，就必须引进负数概念。《九章算术》所载的“正负术”，就是为解决这一问题而提出的。这是世界数学史上最卓越的成就之一：“正负术曰：同名相除（减），异名相益（加）；正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益；正无入正之，负无入负之。”这也是在世界上第一次讲到了正负数的加减法。筹算怎样来表示正负数呢？《晋书》《隋书》“律历志”中有这样的记载：“魏陈留王景元四年（公元263年）刘徽注《九章算术》。”刘徽的《九章算术注》给后人留下了宝贵的数学遗产。刘徽称：“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以邪正为异。”意思是说，同时进行两个运算，若结果得失相反，那就要分别叫作正数和负数，并用红筹代表正数，黑筹代表负数。不然的话，就将算筹斜放和正放来区别。这是世界数学史上第一次突破了正数的范围，也是对负数第一次作出合理解释。除中国外，世界上对负数概念的建立和使用都经历了一个曲折的过程。希腊数学注重几何，而忽视代数，几乎没有建立过负数的概念。印度婆罗摩笈多开始认识负数，采用小点或小圈记在数字上面表示负数。对负数的解释是负债或损失，只是停留在对相反数的表示上，尚未将负数参与运算。欧洲第一个给出负数正确解释的是斐波那契，他在解决一个关于某人的盈利问题时说：“我将证明这问题不可能有解，除非承认这个人可以负债。” 1484年，法国的舒开给出二次方程一个负根。意大利的卡当在1545年区分了正负数，把正数叫作“真数”，负数叫作“假数”，并正式承认了负根，不过，这些思想都没有在欧洲引起足够重视。直到18世纪，有些数学家还认为负数这个比零小的数是不可能的。负数在西方发展得如此缓慢，而中国却对负数有深刻的认识，这不能不说是中国数学思想的先进。最后，需要补充一点的是，刘徽还用齐同原理证明了直除法的正确性，而且还创造了互乘相消法，与现今解线性方程组的方法完全一致。刘徽是中国古代最早的著名数学家。他对《九章算术》齐同术、今有术、割补术的整理阐发，对割圆术、刘祖原理、十进分数的新的数学创造，对《九章算术注》中补第十卷“重差”后，被唐代李淳风在“算经十书”单篇刊出为《海岛算经》，都是中国传统数学的累累硕果。中国数学大师吴文俊院士对刘徽《海岛算经》重差术有专门的研究著述，对《九章算术》法译本十分赞赏。（作者系国家教育咨询委员会委员、中国科技馆原馆长）图1：吴文俊院士与《九章算术》法译本。（作者供图）图2：线性方程组解法首日封（中国集邮有限公司供图）图3：线性方程组解法内插页（中国集邮有限公司供图）图4：刘徽纪念邮票（作者供图）图5：“九章”篆刻章（马国馨院士刻）

矩阵可逆的七种判断方法矩阵可逆的概念可以从多个角度来理解，包括定义、行列式、秩、向量、方程组的解以及特征值等。在考试中，需要根据题目信息选择合适的描述方式。线性代数的知识结构是一个环形，复习时需要多加注意。 𐟓Œ 存在逆矩阵：存在一个n阶矩阵B，使得AB=E或BA=E。 𐟓Œ 行列式不为零：矩阵A的行列式det(A)≠0。 𐟓Œ 秩为n：矩阵A的秩r(A)=n。 𐟓Œ 行向量组线性无关：矩阵A的行向量组或列向量组线性无关。 𐟓Œ 齐次方程组仅有零解：齐次方程组Ax=0仅有零解。 𐟓Œ 非齐次方程组有唯一解：非齐次线性方程组Ax=b（b≠0）总有唯一解。 𐟓Œ 特征值全不为零：矩阵A的特征值全不为零。通过这些描述方式，可以更全面地理解矩阵可逆的概念，并在解题时灵活运用。

“2025考研数学考前点拨系列”，今天是系列三十二：线性方程组的几何意义（仅数一）。这部分考过几次，涉及到秩、相关与无关。要能把图形、几何意义及代数表达式三者对应起来。宇哥考研的微博视频

线性代数复盘：从基础到进阶嘿，期末考试刚结束的小伙伴们，你们辛苦了！今天我们来聊聊线性代数，特别是李正元老师的线代部分，真的是让我爱恨交织啊！𐟘… 向量部分首先，咱们来聊聊向量。对于一个AX=0的线性方程组，如果它只有0解，那为什么可以推出A矩阵的列向量是无关的呢？其实，这背后有一个很重要的概念——线性无关。如果A矩阵的列向量线性无关，那它的行列式就不为0，从而方程组只有0解。反过来，如果A矩阵的列向量线性相关，那它的行列式为0，方程组可能有非0解。再比如，如果一个向量组和基础解系等价，那它是不是也是方程组的基础解系呢？答案是肯定的。因为基础解系就是那些能满足方程组的解，而等价的向量组也能满足同样的条件。线性方程组齐次方程和非齐次方程：齐次方程就是那些系数全为0的方程，而非齐次方程则至少有一个系数不为0。在解答方程组时，我们通常只能对方程组进行行变换，而不能进行列变换。什么时候齐次方程只含有0解？什么时候含有非0解？非齐次方程什么时候有唯一解？什么时候有无穷解？什么时候又无解呢？这些问题其实都有规律可循。比如说，对于一个齐次方程，如果它的系数矩阵的秩小于未知数的个数，那它就有非0解。而对于非齐次方程，如果它的系数矩阵的秩等于未知数的个数，那它就有唯一解。如果你把一个齐次方程变成非齐次方程，解系的秩会怎么变呢？其实，解系的秩会减少1。这是因为非齐次方程多了一个自由变量。为什么行数目小于列数目的方程一定有无穷个解？这是因为方程组的系数矩阵的秩小于未知数的个数。反过来，如果行数目大于列数目的方程存在n阶矩阵不为0，那它可能是有唯一解，也可能是有无穷解。思考一下中学的时候，我们常被灌输一个思想：要解决几个未知数的问题，就需要有几个方程。但真的是这样吗？比如x+y=1和2x+2y=2这两个方程，它们能求出x和y的精确值吗？为什么？如果把这两个方程写成一个非齐次方程组，它是无穷解还是唯一解呢？方程组的解系和原方程有什么关系？由原方程可以求出它的解系，那么我们以它的解系为系数，能求出来原方程吗？这些问题都值得深入思考。特征值部分特征值的求解公式：特征值的求解公式是A-|=0。在求特征值时，你会尝试使用列变换吗？其实，这取决于你的个人习惯和问题的具体要求。特征向量和（A-）X=0的关系：如果A-可逆，那么𐱤𘍦˜Ÿ驘𕧚„特征值了。因为可逆意味着矩阵没有零空间。对于A矩阵的衍生矩阵来说，他们的特征值会有什么变化呢？这个问题其实挺有意思的。比如说，对于A的转置矩阵AT，它的特征值和A是一样的。但对于A的逆矩阵A-1，它的特征值是1除以A的特征值。特征值和矩阵的迹有什么关系呢？特征值相乘又和它有什么关系呢？对于秩为1的矩阵，它的特征值怎么样快速求出来呢？这些问题都需要你花时间去琢磨。两个相似矩阵的特征值之间有什么关系呢？这个问题其实很简单：两个相似矩阵的特征值是一样的。但对于多重的同一个特征值，我们该怎么判断它能否进行相似对角化呢？这又是一个值得思考的问题。复盘小结如果你不翻书的话，上个阶段有哪部分你连不起来呢？不妨列个提纲，看看自己到底哪些地方还需要加强。线性代数其实并不难，只要掌握了基本概念和方法，一切都会变得很简单。加油！𐟒ꀀ

矩阵的秩：理解线性方程组的关键 𐟧銧Ÿ驘𕧚„秩，通常写作 Rank of Matrix，是线性代数中一个非常重要的概念。简单来说，秩就是矩阵中“独立”行的数量，或者说，那些不能被其他行表示的行的数量。对于列也是同样的道理。矩阵秩的直观理解 𐟓Š 举个例子，假设我们有一个 2x3 的矩阵，其中第二行只是第一行的 3 倍。那么，即使这个矩阵有 2 行，它的秩也只有 1，因为第二行完全依赖于第一行。同样，如果第二列只是第一列的两倍，第三列是第一列的三倍或第二列的 1.5 倍，那么这些列的秩也只有 1。另一个例子 𐟌𑊊再比如，如果一个矩阵的第二行不能被第一行表示，那么它的秩至少为 2。但是，如果第三行是第一行和第二行的和，那么即使有 3 行，这个矩阵的秩也只有 2。对于列也是一样的道理：第二列很好，但第三列是第一列和第二列的和，所以这些列的秩还是 2。行和列的秩总是一致的吗？ 𐟤” 令人惊讶的是，行和列的秩总是一致的！这意味着，当我们讨论行的秩时，其实也在讨论列的秩。所以，我们通常只需要计算一次秩，无论是对于行还是列。为什么矩阵的秩很重要？ 𐟔 矩阵的秩告诉我们很多关于矩阵的信息。它能帮助我们判断是否有机会求解线性方程组。当矩阵的秩等于变量的数量时，我们可能有唯一解。例如：如果有 2 个苹果和 3 个香蕉售价 7 美元，3 个苹果和 3 个香蕉售价 9 美元，我们可以算出额外的苹果每根售价 2 美元，香蕉每根售价 1 美元（有 2 个变量，秩也是 2）。但如果我们只知道：2 个苹果和 3 个香蕉售价 7 美元，4 个苹果和 6 个香蕉售价 14 美元，我们无法继续下去，因为第二行数据只是第一行数据的两倍，没有提供新信息（有 2 个变量，秩仅为 1）。总结 𐟓 矩阵的秩是线性代数中的一个核心概念，它帮助我们理解矩阵的结构和性质。通过计算矩阵的秩，我们可以判断是否有机会求解线性方程组，以及方程组的解是否唯一。

北京师范大学教育硕士考研第十天学习计划今天的学习计划安排得满满当当，早上上班途中，11:30到11:50之间，我利用这段时间听了一段333视频课程。老师结合实际案例讲解原理，让我对课程内容有了更深入的理解。下午13:00到14:00，我开始了政治1000题的学习，主要集中在马原部分的真理和价值，以及人类历史发展。虽然多选题准确率不高，但通过反查课本，我对这些概念有了更清晰的认识。晚上20:30至21:45，我转战线性方程组的理论学习。由于计划将习题集中在周六日完成，所以现在先打好理论基础。高代内容需要静下心来，踏实阅读理解，不能急躁。以前想跳过的繁琐叙述，现在终于能跟着每步逻辑，顺利看下去。运动方面，虽然只跳绳了10分钟，但夏日运动后，喘着气，汗水流经脸颊，从下巴滴落的感觉，真是舒畅又通透！这两天的额外体会是，学习时切忌频繁换地点，移动过程真的很费时，而且需要时间适应。不要想着找一个更完美的物理环境，而应该就近顺势打造更好的学习环境。

𐟔 保研计算数学面试必备问题大揭秘！ 070102 计算数学 𐟌 请详细描述在有限元方法中，如何对具有复杂几何形状的结构体进行网格划分，例如在不规则形状的分析中，具体操作步骤是怎样的？ 𐟧𐈨𐈤𝠥﹦•𐥀𜧺🦀礻㦕𐤸�᤻𖦕𐦦‚念的理解，以及它对矩阵求解稳定性的影响，并举一个实际矩阵例子来说明。 𐟔„ 解释迭代法求解线性方程组时，如何判断迭代是否收敛，以高斯-赛德尔迭代法为例，具体说明其收敛条件。 𐟓ˆ 在数值逼近中，详细说明为什么要选择不同的插值基函数，例如在对一条曲线进行逼近时，如何根据具体情况选取合适的基函数。

中文好书推荐：线性代数的几何之美如果你觉得线性代数的公式太晦涩难懂，那么这本书绝对能让你豁然开朗！《线性代数的几何意义》用生动的几何图形来解释线性代数的核心概念，简直是中文版的“几何版线性代数”。特别推荐给正在入门的小伙伴们，尤其是那些在实践中遇到线性代数应用难题的工程师和学生。这本书的主要内容是围绕如何通过几何图形来理解和解释线性代数的核心概念。它的宗旨是通过几何直观来掌握抽象的线性代数概念。书中不仅在理论上讲解了向量、矩阵、线性变换等基础概念，还通过几何图形生动形象地演示了它们的几何意义，让学习过程更加直观、易懂。书中强调了抽象与几何意义结合的重要性，认为通过几何图形解释数学定理和概念有助于加深理解，避免“公式记忆”的学习误区。同时，书中通过二维、三维及更高维的几何图形来诠释线性方程组、线性变换等概念，帮助读者在学习和应用中更好地掌握线性代数的核心要领。总之，这本书真的是一本让你从几何角度重新认识线性代数的神奇之作！如果你还在为线性代数烦恼，不妨试试这本书，说不定会有意想不到的收获哦！𐟓š✨