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积分中值定理推广新上映_积分中值定理推广形式第一定理(2024年12月抢先看)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：导读更新日期：2024-11-28

积分中值定理推广

李擂试卷初体验：计算量大，思维挑战最近在某音上刷到了李擂的视频，看到不少人评价说他的卷子质量不错，今天就决定试试。总的来说，李擂的题目确实有点难度，每道题都有一些巧妙的计算方法，需要一定的思维量。不过，计算量确实有点大，我花了两张A4纸才搞定。相比之下，张八的题目风格完全不同，他的题目往往需要你意想不到的那个点才能做出来。比如20题的第二问，我就没注意到推广积分中值定理的使用条件，结果做错了。接下来几天，我打算复盘一下19到24年的超越了，看看能不能找到更多的解题技巧。希望25年的题目能更简单一点吧！𐟒ꀀ

考研暑假怎么学？过来人分享经验大家好，我是过来人，来聊聊考研暑假怎么学。六月份的时候，学校各种实习、实训和期末考试搞得我头大，感觉状态一下子就垮了。之前几个月状态还不错，但六月份开始有点进入不了状态，心态也有点崩。考研数学跟的是武忠祥老师，数学线代基础刚过了一遍，三大计算也写了（后面积分部分刚学的时候感觉写不动，留了一点尾巴）。1800的高数基础篇基本过了一遍，660的一阶题也过了一遍，整体正确率在70-75%左右。感觉积分中值定理部分学得不太好，当时基础部分武忠祥老师把这部分重点放在了强化，证明题基本跳过，积分应用部分也不太理想。线代跟的是永乐，现在刚学完线代，感觉一整个忘记高数了。英语部分，背的是闪过的单词书，高中低频词过了四五遍了，但还是会经常忘。后面基础词和偶考词还没怎么背。语法买了田静的书，过了一半刚到长难句，真题刚刷了一年的阅读。专业课是工科类，两本专业课书基本还没开始。目标院校是211，希望各位大佬能指点一下接下来怎么做，比较推荐的时间安排是什么样的。希望大家都能顺利度过这个暑假，加油！𐟒ꀀ

罗尔定理的推广与应用 1. 罗尔定理的推广构造辅助函数法 ✔ 新旧函数转换法 ✔ 两次构造辅助函数法 ✔ 罗尔定理的原始方法 ✔ 常数K值法 ✔ 中值问题的分离方法拉格朗日中值定理的几何解释 ✔ 柯西中值定理 ✔ 双中值问题 ✔ 泰勒中值定理的应用 ✔ 多项式拟合法 ✔ 分布积分公式 ✔ 2. 罗尔定理的应用拉格朗日中值定理的几何意义 ✔ 柯西中值定理的应用 ✔ 双中值问题的解决 ✔ 泰勒中值定理的求解方法 ✔ 多项式拟合法的应用 ✔ 分布积分公式的运用 ✔

考研数学二大纲全解析！ 𐟓š 考研数学二大纲详解 𐟔 考试科目：高等数学、线性代数 ⏰ 考试形式：闭卷笔试，共180分钟 𐟓Š 试卷结构：试卷满分150分单选题：10题，每题5分，共50分填空题：6题，每题5分，共30分解答题：6题，共70分 𐟓ˆ 微分学部分占118分，线代部分占32分 𐟓š 高等数学函数、极限、连续导数和微分不定积分与定积分多元函数微积分学常微分方程 𐟓š 线性代数行列式矩阵向量线性方程组矩阵的特征值与特征向量二次型 𐟓ˆ 详细大纲内容：函数的概念及表示法：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。复合函数、反函数、分段函数，以及函数的图形和性质。导数和微分的概念：导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系。导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。不定积分与定积分：原函数的概念，不定积分的性质和基本积分公式。定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，定积分的换元积分法和分部积分法。多元函数微积分学：多元函数的概念，二元函数的几何意义。多元函数的极限与连续性，多元函数的偏导数和全微分，多元复合函数和隐函数的求导法。二重积分的概念、基本性质和计算方法。常微分方程：常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程。线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程。线性代数：行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理。矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质。矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价。分块矩阵及其运算。向量的概念，向量的线性组合与线性表示，向量的线性相关与线性无关。向量的极大线性无关组，向量组的秩。矩阵的特征值与特征向量的概念和性质，相似矩阵的概念及性质。实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的标准形和规范形。二次型及其矩阵的正定性。差分与差分方程的概念，差分方程的通解与特解，一阶常系数线性差分方程。微分方程的简单应用。

2023年中国海洋大学数学分析试卷解析 𐟓 试卷概览这份试卷涵盖了计算考察的多个方面，题目难度适中。以下是各题目的详细解析： 𐟔 第一大题：计算题 1️⃣ 第一型曲面积分的计算：利用公式直接求解，因为第一型曲面积分较少出现在考试中，可能会忘记公式。 2️⃣ 二元函数求极值：找到驻点，计算二阶偏导数即可。 3️⃣ sinx的泰勒展开：直接写出泰勒展开式。 4️⃣ 积分与路径无关：通过凑微分积回去，验证两个偏导数相等。 𐟔 第二大题：判断题 1️⃣ 反证法配合拉格朗日中值：利用反证法和拉格朗日中值定理。 2️⃣ 数项级数的敛散性：使用比式判别法，这是最简单的方法。 3️⃣ 类似但错误的反例：举出反例即可。 𐟔 第三大题：二倍角公式拆开分别考虑 𐟔 第四大题：斯托克斯公式应用难点在于球面和平面截面的圆的半径计算，这是试卷中难度最高的一题。 𐟔 第五大题：导数定义的应用根据在0处可导，凑出两个导数的定义极限式。 𐟔 第六大题：积分不等式实质上是函数极值问题，高中生都能解决。 𐟔 第七大题：高斯公式应用补面后使用高斯公式，注意这题的方向是负的。 𐟔 第八大题：泰勒展开相减通过两个泰勒展开相减，然后使用介值定理即可解决。 𐟓š 总结这份试卷涵盖了数学分析的多个重要知识点，包括曲面积分、函数极值、泰勒展开、积分与路径无关、导数定义、积分不等式、高斯公式等。通过这些题目，可以全面考察学生的数学分析能力。

10月23日真题复盘：细节决定成败 1. 𐟤” 今日做真题时发现了一个问题：明明知识点已经掌握，但在写答案时却缺乏自信，总是想得太复杂。要相信自己的所学，把知识淋漓尽致地运用在试卷上！ 𐟔 对于微分方程的解的概念，题干中的每一个条件都不是多余的。代入条件后，通过合并找关系，题目并不难。 𐟘“ 这道题错了真是让人无语。极大值的充分条件和复合函数求导，根本没求完就稀里糊涂地选了答案。 𐟒ᠧ𚿦€秛𘥅𓦗 关、线性表出、向量组的秩。永乐爷爷讲过这题，但李艳芳老师的讲解让我顿悟，最后还有口诀“多由少表，多必相关；无关被表，个数不多”。 𐟓Š 这道题考察的是分布函数求概率，某一点小于等于-小于，小于是那点的左极限概率。记住拿到分布函数要判断变量类型。 𐟚련🙩“题撞对了，虽然错用了一阶导等于0也算对了，但其实是拐点问题，需要用二阶导为0的条件。 𐟧—˜出错，真是让人遗憾。 𐟓š 这道题在考场上是高数综合难题，但写出来还是有分的。所以不要怕，去拿步骤分。针对这题，基本不等式和积分不等式的题目，强化也是遇到过所以目前能拿下。 𐟔 这道题第一问关于开闭区间问题，严格的积分中值定理是闭区间，题目要求开区间。张宇和武老师说过开区间属于推广，在真题考过后就可以继续当作结论用了！当然这题最佳答案是用辅助函数拉格朗日中值定理求。 𐟤” 这道题一开始掉入陷阱了，“两个不同的解”，想成n-r=2了，后来发现第二问做不下去，才意识到问题！这只能说明解不唯一，A不满秩！ 𐟓– 这道题概率论最重要那几个正态分布凑正态定积分的值记下来呀，不然考场上会慌张算错！模拟的时候时间充裕所以才又推了一遍但是一直担心算错；然后小细节把自变量定义域写上。总的来说，这样的题不难但处处是细节和问题。同志们仍需努力！

考研数学之旅：660到880 在六月中旬到七月初，我完成了660的二刷，七月初到现在，我刚刚结束了数学强化。这段时间里，我一边看网课一边刷880，但880的综合题量实在太大，目前只做到了第三章。下面是我这两月的总结：第一章：极限计算与单调有界性 𐟓š 在第一章里，武忠祥老师的极限计算讲得很细致。去年我只是单纯刷题，没有深入总结。现在根据老师讲的例题和方法进行了简单的总结。个人觉得这章的难点是书p34页的证明数列的单调有界性，这个在880里就能看出来。这章的总结如p2、3。第二章：连续与可导的关系 𐟌𑊊第二章主要讲了连续与可导和可微之间的转换关系，求导法则包括复合求导、参数方程求导、分段函数求导和高阶导数。特别是分段函数在分段点时的求导方法比较复杂。高阶导数求导可以通过代公式、归纳法和泰勒展开。这里需要记住一些常见函数的泰勒展开公式，同时一些选择题的考点也需要认真掌握，如求函数拐点、极值、凹向和渐近线。本章最难的是微分中值定理有关的证明题，包含一道大题。武忠祥和杨超老师的讲课风格有所不同，武忠祥老师是根据题型来讲解，而杨超老师是根据定理来讲解。特别是武忠祥老师讲书p89页，23考研里就有一个这种类型的题，让我收获颇多。前两个罗尔定理和拉格朗日定理、柯西定理更多的是构造函数，找f‘（x）=0的点，而第三类更多的是根据f‘（x）=0点来进行泰勒展开，然后再带入已知的点。而在880上我学到，有时也没有f‘（x）=0的点需要自己假设，如880p17扩展题。第三章：定积分的应用 𐟓 第三章是我写题花费时间最多的。本章有很多定理需要深刻理解才能写对题，如原函数的存在性，定积分的存在性。而变上限积分函数应用里有关F（x）可导性的知识点：f（x）连续则F（x）可导这都能记住，但f（x）在某点是可去间断点时，Fx是可导的且F在该点求导等于f（x）取极限时x趋于该点，我感觉这一块武忠祥讲得很好，通过画图来证明。之后连乘n次项取对数再定积分定义、积分上下限都变—积分中值定理，上下限都不会变—夹逼/积分中值定理。这一章最难的估计就是积分不等式。后面定积分的应用每一年都会考，只要记住武忠祥老师讲的方法，背一些函数图像的表达式，再记一些公式：弧长公式、旋转体侧面积公式。我也进行简单的总结p4、5、6。总结 𐟓 这两月的学习虽然辛苦，但收获颇丰。希望我的总结能对大家有所帮助，祝大家考研顺利！

23考研数学各章节老师推荐指南 𐟌Ÿ23考研数学各章节老师推荐指南𐟌Ÿ 𐟔妞限与函数 𐟒ꥼ 宇：不等式的放缩和夹逼原理处理得非常好。 𐟒ꦭ楿祥：n项和n项积单调有界性的操作，等价无穷小方面有独到之处，计算更加简洁快速。 𐟔奾†中值定理 𐟒ꥼ 宇：各种题目类型方法总结最全。 𐟒ꦱ䥮𖥇䯼š强化九种题型讲得很细，每一种情况用哪种定理都列得非常明白，对于中值定理这种压轴题算是很保下限。 𐟔夸定积分和定积分 𐟒ꥼ 宇：积分计算各种技巧总结在目前看来是最详细的。 𐟒ꦭ楿祥：定积分几何应用。 𐟒ꦝ訶…：比较适合基础薄弱但继续提高的同学观看。 𐟔奾†方程 𐟒ꤸ‰位主流老师授课技巧内容差别不大，听谁都行。 𐟒ꦭ楿祥：综合题题型归纳很全。 𐟔奷†方程和数学三专题（微分的经济类学科应用） 𐟒ꥰ破站上有很多老师有个性化的独到见解，比主流老师讲的更全面。 𐟔奤š元函数微分学 𐟒ꦭ楿祥：他的概念最清晰。 𐟔夺Œ重积分 𐟒ꦭ楿祥：17堂课拓展技巧，值得学习。 𐟔夸‰重积分和线面积分（高数I） 𐟒ꦱ䥮𖥇䯼š这部分讲的比较混乱。 𐟒ꦭ楿祥：17讲有很多解题技巧，但是在概念方面讲解侧重较弱，需要个人自主加强。 𐟒ꥼ 宇：讲的超级全，但是有难度。 𐟔姩𚩗𔨧㦞几何（高数I） 𐟒ꦱ䥮𖥇䯼š由浅入深，适合基础不好的同学。 𐟒ꥼ 宇：讲解全面。 𐟔姺禕𐊰Ÿ’ꦖ𙦵鯼š字母型级数，阶乘型转化为三角等十分有效的方法。 𐟒ꥼ 宇：用张宇老师的课强化进行一轮基础知识，体系感强，总结全面。 ‼️重点：不要随随便便换老师，容易思维体系混乱，推荐各个章节的老师主要是希望大家在自己的薄弱章节针对性的听老师的课程𐟑

数学分析笔记：从基础到进阶 ### 数列极限 𐟚€ 实数系的连续性：确界原理、Dedekind分割原理、Stolz定理、收敛准则（单调有限定理、柯西收敛准则、Bolzano-Weierstrass定理）、闭区间套定理、归结原则。两个重要的极限：连续函数的定义，第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点或振荡间断点）。函数极限的性质 𐟓ˆ 唯一性：函数极限在自变量趋近于某个值时，极限值是唯一的。局部保号性：函数在某点的极限与函数在该点的值符号相同。局部保序性：函数在某点的极限与函数在该点的值大小关系一致。局部有界性：函数在某点的极限与函数在该点的值都存在且有限。两边夹准则：函数被两个极限相同的函数夹在中间，其极限也存在且与这两个函数相同。无穷小量和无穷大量阶的判断：闭区间上的连续函数具有有界性、最值性、零点、介值性、一致连续性。反证法是一种有效的证明方法。区分一致连续和点点连续。一元微分 𐟓 代数学基本定理：一元n次多项式在复数域上有n个解。微积分基本定理：NL公式，可导一定连续，可导等价于可微。复合函数求导（链式法则）：复合函数的导数等于内层函数和外层函数的乘积。隐函数求导：隐函数的导数可以通过隐函数定理求解。一阶微分方程不变性：微分方程的解与自变量的变化无关。微分中值定理及其应用 𐟔 费马引理（Fermat）：极值点的导数为0。罗尔定理（Rolle）：函数在区间两端相等，中间有一点导数为0。拉格朗日定理（Lagrange）：中间导数等于斜率。柯西中值定理（Cauchy）：引入了两个函数，凹凸函数，不等式（三角不等式、均值不等式、Jensen不等式、Young不等式、Holder不等式）。洛必达法则：实际上是柯西中值的推广应用。泰勒展开：Peano余项和Lagrange余项。不定积分 𐟌 换元积分法（第一类和第二类）：通过换元法求解不定积分。分步积分法：分步积分法适用于被积函数包含不同类型项的情况。有理函数积分法：有理函数的积分可以通过部分分式法进行。定积分 𐟓Š 分割、近似、求和、取极限：黎曼可积，Darboux上和等于下和（上和不增，下和不减），必要条件是函数有界。基本性质：线性性、保序性、区间可加性、积分第一中值定理。反常积分、瑕积分、二元无穷限积分：通过求Cauchy主值的方法判断积分收敛的方式（Cauchy判别法、比较判别法、A-D判别法）。 PS: 闭区间上的连续函数一定可积且有界且一致连续，闭区间上的单调函数一定可积。点火公式要记住（sin和cos的n次方在0到2上的积分，考虑n为偶和n为奇，偶的时候从1/2开始要乘2，奇的时候从1开始）。

25超越8 数二噩梦般的体验最后做超越八，最后做超越八，最后做超越八！！！！！远离超越八，放到最后一套做吧，这套这难度和计算量真不是人做的，做完感觉是打击信心的卷子，不知道的还以为这是李艳芳三套卷呢，这计算量纯纯逆天，根本答不完，这套用了三个半小时，选填还好，用了一个半小时，这大题用了两个小时，最后写不下去了。多答这半小时基本都花在线代上面了，结果还错了，哈哈第1题就给我难住了，思考了一会应该是把cos从分子提出来然后括号内用f-1等价于lnf化成ln，这么做还是挺简单的第2题求四阶导，一直求第4题把第一个反常积分分部积分，然后用比较审敛法就可以了。第5题最开始没看明白，最后我把x+2y和y/x给换元成uv硬算的，第6题二重积分的积分中值定理或者可以把Fa求出来，这俩结果都是0 第7题画图，或者fx=ex次幂第8题这道题需要用到很多秩的结论，我觉得需要记的就是P列满秩，则PA与A秩相同第9题跟前面几套的一道很像，先把p行列式乘进去，最后再除以p行列式第10题这题真是太有花样了，其实1和4这俩是等价的，把1中余子式都化成代数余子式，发现这些代数余子式在矩阵A里对应的位置是-1 1 -1 1，正好加起来是0，依然满足题目条件的A有0特征值，4条件跟1一样，移项一下就变成1条件了。 11题没啥说的 12题把(x+1)ex次幂看成一个整体直接分部积分。 13题纯计算，恶心人 15题不会，算的根本算不对，看了答案是用了全微分形式不变，这块我没看 16就是把条件都翻译明白就可以了。 17题恶心题来了，反函数求极限这种题下次直接扣我分就好了，何必浪费我20分钟呢 18题这题是给人算的啊，最后那个积分有点难想，上下同除ex次幂，计算量也不小。 19题计算量也大没啥好说的，一算一个不吱声 20题好眼熟，感觉这个凑微分我做过，不记得是哪套卷子上的了。 21题不难，我最开始还构造错了辅助函数，写了半篇都白写了，这题比前面简单多了。 22题把卷子给他撕喽，不做了，不会。强烈建议大家最后做这套，太恶心了！！！不想学数学了，晚上学物理[生气R][生气R]

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