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带权路径长度权威发布_带权路径长度wpl公式(2024年11月精准访谈)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：观点更新日期：2024-11-27

带权路径长度

要证明“结点权值越大、离根越近的二叉树是带权路径最短的二叉树”，我们可以从哈夫曼树（Huffman Tree，也称赫夫曼树）的构造过程和性质出发进行论证。证明过程 1. 哈夫曼树的构造： * 哈夫曼树是一种特殊的二叉树，其构造过程是从给定的叶子节点集合（每个节点有一个权值）开始，逐步合并权值最小的两个节点，形成一个新的父节点，其权值为两个子节点权值之和。 * 这个过程不断重复，直到所有节点都被合并成一个根节点，从而形成一个完整的哈夫曼树。 2. 哈夫曼树的性质： * 在哈夫曼树中，权值越大的节点越靠近根节点，权值越小的节点越远离根节点。 * 哈夫曼树的带权路径长度（WPL）是所有叶子节点的带权路径长度之和，且这个值是所有可能构造的二叉树中最小的。 3. 反证法证明： * 假设存在一个二叉树T，它不是哈夫曼树，但满足“结点权值越大、离根越近”的条件。 * 由于T不是哈夫曼树，根据哈夫曼树的定义，T的带权路径长度（WPL）必然大于某个哈夫曼树的WPL。 * 然而，由于T满足“结点权值越大、离根越近”的条件，我们可以尝试通过调整T的结构（例如，交换某些节点的位置或合并顺序），使其逐渐逼近哈夫曼树的结构。 * 在这个调整过程中，每次调整都会使得T的WPL减小（因为我们是按照哈夫曼树的构造原则进行调整的）。 * 最终，经过足够多的调整步骤后，T将变成一个哈夫曼树，此时其WPL达到最小。 * 这与我们的假设（T的WPL大于某个哈夫曼树的WPL）相矛盾。 4. 结论： * 由于反证法失败，我们得出结论：不存在一个二叉树T，它满足“结点权值越大、离根越近”的条件但WPL不是最小的。 * 因此，我们可以确信，结点权值越大、离根越近的二叉树必然是带权路径最短的二叉树，即哈夫曼树。注意事项 * 在上述证明过程中，我们使用了反证法。反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设某个命题不成立，然后推导出矛盾或不合理的结果，从而证明该命题成立。 * 哈夫曼树的构造过程和性质是证明的关键。通过理解哈夫曼树的构造原则和最优性（即WPL最小），我们可以更容易地理解为什么“结点权值越大、离根越近”的二叉树是带权路径最短的二叉树。综上所述，我们证明了“结点权值越大、离根越近的二叉树是带权路径最短的二叉树”这一命题。

编程奥赛必备知识点哈夫曼编码是一种利用贪心算法构造的编码方式，其主要思想是将一串字符序列转换成一棵树，使得出现频率高的字符对应的编码长度较短，从而便于快速查找。 𐟌𓠥“ˆ夫曼树的构造为了构造哈夫曼树，我们可以每次选择两个频率最小的节点进行合并，这样就能保证频率高的节点对应的编码长度较短。 𐟔 哈夫曼编码的正确性判断通过查看真题，例如CSP-J 2023的一道题：给定一组字符 {a,b,c,d,e,f}，对应的频率分别为 5%,9%,12%,13%,16%,45%。请问以下哪个选项是这组字符的哈夫曼编码？ A. 1111,1110,101,100,110,0 B. 1010,1001,1000,011,010,00 C. 000,001,010,011,10,11 D. 1010,1011,110,111,00,01 虽然哈夫曼编码通常采用“左0右1”的规则，但在这里，我们只需调整左右子树的位置即可。答案是A。 𐟓ˆ 最小带权路径长度之和最小带权路径长度之和是指将哈夫曼树中每个字符的频率乘以对应的编码长度，然后将所有结果相加得到的总和。这个值反映了哈夫曼编码的效率。通过以上知识点，我们可以更好地理解和应用哈夫曼编码，提升编程奥赛中的表现。

哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。其构建过程如下： 1.⠥ˆ始化 - 有 n 个权值分别为 w1, w2, w3,..., wn 的节点。 - 这些节点被看作是 n 棵只有根节点的二叉树，每棵树的权值就是对应节点的权值。 2.⠥ˆ并 - 在这 n 棵树中选择权值最小的两棵树 T1 和 T2。 - 将这两棵树合并为一棵新树，新树的根节点权值为 T1 和 T2 的权值之和。 - 新树的左子树为权值较小的树（假设是 T1），右子树为权值较大的树（假设是 T2）。 3.⠩‡复步骤 2 - 现在将新生成的树放入森林中，森林中树的数量减少了一棵。 - 继续在森林中选择权值最小的两棵树进行合并，直到森林中只剩下一棵树为止。 4.⠦œ€终结果 - 最后得到的这棵树就是哈夫曼树。例如，有权值分别为 7、5、2、4 的四个节点，构建哈夫曼树的过程如下： - 首先选择权值为 2 和 4 的节点合并，得到一棵新树，权值为 6。 - 此时森林中有三棵树，权值分别为 7、5、6。 - 再选择权值为 5 和 6 的树合并，得到权值为 11 的新树。 - 最后选择权值为 7 和 11 的树合并，得到最终的哈夫曼树。

𐟌𓠥“ˆ夫曼树与编码：信奥赛必备知识点 𐟌𓊥œ褿ᥥ娵›初赛中，哈夫曼树和哈夫曼编码是一个重要的知识点，每年都会出现相关题目。虽然题目难度不高，但需要考生细心掌握。以下是哈夫曼树和哈夫曼编码的详细解析。哈夫曼树的基本概念 𐟌𓊥“ˆ夫曼树，也称为最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。路径是指在一棵树中，从一个节点到另一个节点之间的通路。路径长度是指通路中分支的数量。如果规定根节点的层数为1，那么从根节点到第L层节点的路径长度为L-1。节点的权是指将树中节点赋予一个有特定含义的数值。哈夫曼树的构建 𐟛 ️ 哈夫曼树的构建过程是通过每次选择权值最小的两个节点构成一颗子树，并将子树的根节点按照从小到大的顺序重新插入到原本的节点选项中。重复这个过程，最后得到的树就是哈夫曼树。具体步骤如下：选择最小的两个节点，合并它们，计算新生成的树的权值。将新生成的树插入到节点选项中，继续选择最小的两个节点进行合并。重复步骤2，直到只剩下一棵树，这棵树就是哈夫曼树。哈夫曼编码 𐟓œ 哈夫曼编码是根据哈夫曼树的路径来编码的。如果路径经过的节点是往左边走，则在树枝上标记0；如果经过的路径是往右走，则在树枝上标记1。例如： B的编码为:0 D的编码为:00 E的编码为:01 H的编码为:010 1的编码为:011 F的编码为:10 G的编码为:11 例子解析 𐟓Š 假设字母表[a,b,c,d,e]在字符串中的出现频率分别为10%,15%,30%,16%,29%。使用哈夫曼编码对字母进行不定长的二进制编码，字母d的编码长度为多少位？解析：哈夫曼编码基于信源的概率统计模型，基本思路是出现概率大的信源符号编短码，出现概率小的信源符号编长码，从而使平均码长最小。通过构建哈夫曼树，规定左分支为0，右分支为1，从根节点到每个叶节点的路径对应的0和1序列即为该节点的编码。通过以上步骤，可以更好地理解和掌握哈夫曼树和哈夫曼编码的知识点，为信奥赛初赛做好充分准备。

csp认证考试内容 1. 𐟌𓠦Ÿ二叉树有5个叶节点，权值分别为10，12，16，21，30，则其最小带权路径长度（WPL）是（B）。答案：B. 200 解析：画出其哈夫曼树，计算3*(10+12)+2*(30+16+21) = 200。 𐟓š 对 n 个互不相同的符号进行哈夫曼编码。生成的哈夫曼树共有137个节点，则 n 的值是（B）。答案：B. 69 解析：哈夫曼树只有度数为0的节点和度数为2的节点。已知度数为0的节点个数=度数为2的节点个数+1，求度数为0的节点个数（叶子节点），即(137-1)/2+1 = 69。 𐟔— 要连通 n 个节点的有向图，至少需要（C）条边。答案：C. n*(n-1) 解析：连通n个节点的有向图，构成一个环即可。 𐟓Š n 个节点的无向完全图的边数是（D）。答案：D. n*(n-1)/2 解析：注意完全是任意两个节点之间都有一条边。所以是n*(n-1)/2（还要去掉a-b，b-a的重复）。 𐟕’ 某算法的计算时间为递推关系式T(n)=T(n-1)+n，T(0)=1，则该算法时间复杂度是（D）。答案：D. O(n^2) 解析：T(n) = T(n-1)+n = T(n-2)+n+n-1 = T(n-3)+n+n-1+n-2 ≈ T(n-(n-1)+n+n+n+...... ≈ n^2。

哈夫曼树与编码：从理论到实践 1. 𐟌𓠥“ˆ夫曼树的特点哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树，其权值定义为节点到根节点的路径长度与该节点权值的乘积。哈夫曼编码就是利用这种特性来进行字符编码的。 𐟓š 哈夫曼编码例题给定一组字符及其频率：a（10次）、e（15次）、i（12次）、s（3次）、t（4次）、sp（13次）、nl（1次）。求哈夫曼编码以及最短WPL。分析：等长ASC编码：58㗸=464位等长3位编码：58㗳=174位不等长编码：出现频率高的字符用短编码，频率低的用长编码结果： a: 10 e: 15 i: 12 s: 3 t: 4 sp: 13 nl: 1 编码：a→10, e→11, i→101, s→100, t→1000, sp→1001, nl→10000 WPL=14+2㗲+2㗲+2㗲+2㗲+2㗲+2㗲=36 𐟔 哈夫曼树的构造过程从叶子节点开始，选择权值最小的两个节点作为新节点的子节点（权值为1）。将新节点放入比较序列中，重复上述步骤，直到构造出哈夫曼树。例如，对于字符集{a, e, i, s, t, sp, nl}，构造过程如下：首先，将a和e作为新节点的子节点，权值为1。然后，将这个新节点与i、s、t、sp、nl进行比较，选择权值最小的两个节点继续构造。重复上述步骤，直到构造出最终的哈夫曼树。 𐟒ᠥ“ˆ夫曼编码的应用在实际应用中，哈夫曼编码常用于数据压缩、文本编码等领域。通过不等长编码，可以有效减少总编码空间，提高编码效率。例如，对于一段包含58个字符的文本，使用哈夫曼编码可以大大减少编码长度，从而提高存储和传输效率。

哈夫曼树可以采用静态三叉链表存储主要有以下几个原因：一、哈夫曼树的结构特点适合三叉链表存储 1.⠨Š‚点关系明确： - 哈夫曼树是带权路径长度最短的二叉树，其节点具有明确的父子关系。每个非叶节点都有两个子节点（在二叉哈夫曼树中），可以扩展为有三个指针分别指向三个方向，方便表示这种关系。 - 采用三叉链表可以清晰地存储每个节点的父节点指针、左子节点指针和右子节点指针，使得在遍历和操作哈夫曼树时能够快速定位节点的位置以及与其他节点的关系。 2.⠦— 度为1的节点： - 哈夫曼树中不存在度为1的节点，这意味着每个节点要么是叶节点（度为0），要么是有两个子节点的内部节点（度为2）。这种特性使得三叉链表的存储方式更加高效，不会浪费指针空间来存储可能不存在的第三个子节点。二、静态三叉链表的优势 1.⠧麩—𔦕ˆ率： - 静态存储方式在编译时就确定了所需的存储空间大小，避免了动态分配内存带来的开销。对于哈夫曼树这种结构相对固定的树，使用静态三叉链表可以预先分配足够的空间，提高存储效率。 - 同时，静态存储可以减少内存碎片的产生，提高内存的利用率。 2.⠨—ˆ率： - 静态三叉链表可以直接通过数组下标来访问节点，无需进行指针的解引用操作，从而提高了访问速度。在哈夫曼编码等操作中，需要频繁地访问哈夫曼树的节点，静态存储方式可以加快访问速度，提高算法的效率。 3.⠧賥€篼š - 静态存储的方式不会因为动态内存分配失败而导致程序崩溃，提高了程序的稳定性。在处理大规模数据或对稳定性要求较高的场景下，静态三叉链表存储哈夫曼树是一个可靠的选择。

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