拉丁超立方抽样

1、拉丁超立方抽样从蒙特卡罗误差估计中，我们可以看到，大多数 统计量的估计值的敛散性都与亠有关。特别的，对 y/N于均值的估计量，我们发现：而问题在于厶是否能被改善。值得注意的是蒙特卡 y/N罗方法的一个主要优点就是他的敛散性依赖于独立的 随机参数个数，而接下来我们将要看到的是一种完全 不同的抽样方式：拉丁超立方抽样（LHS）。但首先， 我们要先了解一下分层抽样的相关内容。分层抽样我们考虑一维的单个变量输入问题：y = f（x）, x 是一个随机变量。分层抽样通过如下的步骤来进行：1）定义参与计算机运行的抽样数目M2）将x等概率地分成若干个区域 "bin”，xo<xl<x2&

2、lt;xy<x<xn+l-<xN使得 P（xn<x<xn+1） = l:3）样本一次落入哪一个bin屮取决丁该bin的概率密度函数，样本0使得且概率为P（兀邸 VXV£）S,1N 1此时，均值的估计量可表示为:NW-刃27?=1等等分层抽样的谋岸估计我们只考虑均值y的标准误差，有：这里，同等于第i个bin中y的均值。（再_）等式右边第一项同蒙特卡罗方法的标准误差一样，第 一项为附加项，它使方差变小。所以，较之基于随机 抽样的蒙特卡罗方法，分层抽样降低了误差的方差。多维分层抽样对于有多个随机变量的输入，分层抽样需要 将输入的样本空间等概率地化为N个区域，而

3、这操作 起来是很困难的。（注意：仅仅在每一维上等概划分是 不行的）考虑一个二维的情形：2 bins2 bins假设珀，勺是均匀分布的（即二向同性的），则有：N =2x2 = 4 bins对于一般N”个bins,考虑一个d维输入问题，我们发 现有：N=（Nj举个例子，对于8维输入且每维上有2个bins,N = 2S= 256 bins或者，每维有3个bins,TV =38 =6561 bins显然，抽样数目随着每维bins的数目的增加而迅速增 加。拉丁超立方抽样拉丁超立方抽样是另一种多维分层抽样方法，下 面我们介绍它的工作原理：1）定义参与计算机运行的抽样数目M2）把每一次输入等概率地分成N列，

4、xiO<xil<xi2<xi3-<xin且有 P（X <x<x+1） = -3）对每一列仅抽取一个样本，各列中样本bin的位置 是随机的。N = 4个样本 的2维问题X.k丄 *«*i.，亢U &二耳芒AJ）/相对于单纯的分层抽样，拉丁超立方抽样的最大优势 就在于任何大小的抽样数目都能容易地产生。至于估计均值，通常的做法是：_1 Ny和孚的一般情况下，这种估计的标准误差不能认为是对标准 蒙特卡洛抽样方法的改进。但实际上，拉丁超立方抽 样对均值和方差的估计和蒙特卡罗方法相比，在效果 上至少是一样的，且常常会显著改善。问题:因为拉丁超立方抽样标

5、准误差的理论估计并不 是''贴紧”的，（例如：实际的均值远好于由误差估计 得到的值），边界必然是很悲观的。尽管一般来讲误差估计对于拉丁超立方抽样不是很理想，但有个特别的例子表明拉丁超立方抽样较Z蒙特卡罗方法有潜在的 改进。我们来看看这个例子：假设y是关于输入变量的线性函数y 土小分别利/=1用蒙特卡罗抽样和拉丁超立方抽样方法，再对均值进 行估计，结果都是：y=£/（*）而标准误差分别是：MC：LHS：拉丁超立方抽样的标准误差 1=蒙特卡洛抽样的标准课差N2我们可以看到，拉丁超立方抽样对样本数量的节省非 常显著。因此，对丁输出结果能用一个线性函数很好的逼 近的情况下，我们认为拉丁超立方抽样比蒙特卡洛抽 样更好。