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拉普拉斯矩阵权威发布_拉普拉斯矩阵公式(2024年12月精准访谈)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：观点更新日期：2024-12-04

拉普拉斯矩阵

硬核图论！394页PDF详解图与算法 𐟓š 这本书是一本关于图论的文章集，介绍了多种基于图的方法和算法。它涵盖了图的矩阵表示的重要理论，如拉普拉斯矩阵和距离矩阵，这些理论可用于解决哈密顿矩阵、最短路径等问题，以及寻找最小生成树和匹配模式。 𐟓– 图论起源于Leonhard Euler对K㶮igsberg问题的七桥分析（Euler, 1741; Newman等人，1953）。为了解决这个问题，Euler将每个地块抽象为一个顶点（图节点），每个桥梁抽象为一个连接（图边）。如今，图被广泛用于表示各种类型的数据，如网络结构、分子模型、物种迁移模式和自然语言语法结构（例如Gross和Yellen, 2009; Foulds, 2012）。 𐟔 图论不仅在数学中有着重要的应用，还在计算机科学、物理、生物等领域有着广泛的影响。这本书详细介绍了图论的基本概念、算法和应用，是图论爱好者的宝贵资源。

图卷积网络（GCN）核心概念解析图卷积网络（GCN）对于初学者来说可能会有些挑战，主要是因为一开始就涉及到了许多傅里叶变换的概念，而关于GCN的核心——拉普拉斯矩阵的描述却显得有些抽象，缺乏直观的数学意义。今天，我将尝试从热传导模型的角度来帮助大家理解GCN的本质。节点影响 𐟌 每个节点的状态会不断受到邻居和远方节点的影响，直到达到某种平衡状态。关系越亲近的节点，对状态的影响越大。GCN的核心在于理解拉普拉斯矩阵在干什么，它反映了节点间的状态差异。热传导与热传播 𐟔劧ƒ� 导模型可以帮助理解GCN。在物理学上，热量从温度高的区域流向温度低的区域，这种热量流动的速度正比于温度差。同样地，在热传导中，节点的状态也会受其邻居节点的影响，最终达到平衡。这种热量的流动可以用拉普拉斯矩阵来表示，它描述了节点与邻居之间的状态关系。拉普拉斯矩阵的作用 𐟧‹‰普拉斯矩阵本质上是一种扩展的二阶导数，用于衡量节点状态随时间的变化。在热传导模型中，拉普拉斯矩阵控制了节点之间的特征流动，影响节点的状态更新。GCN中的特征传播与这种热传导的过程相似，节点状态不断被邻居的状态所更新，直到达到平衡。 GCN的实质 𐟌€ 特征传播GCN的实质就是进行特征的传播和汇聚。可以将特征看作是“热量”或“信息”，通过邻居节点间的传递进行平衡和更新。拉普拉斯矩阵在GCN中的作用就相当于一个控制特征流动的算子，使得节点特征更趋向于与其邻居相似。希望这些解释能帮助你更好地理解图卷积网络（GCN）的核心概念！

一文搞懂所有Embedding方法大家好！今天我们来聊聊机器学习中的Embedding方法，其实它们还有一个更专业的名字——流形学习。简单来说，流形学习就是试图将线性方法（比如PCA）扩展到对数据中的非线性结构更敏感的方法。下面我们就来详细介绍一下各种Embedding方法。 Isomap 𐟌 Isomap是最早的流形学习方法之一，可以看作是多维缩放（MDS）或内核PCA的扩展。它的目标是找到低维嵌入，以保持所有点之间的测地线距离。简单来说，就是把高维空间中的距离关系保留到低维空间中。 Locally Linear Embedding (LLE) 𐟏 LLE的核心思想是寻求数据的低维投影，以保留局部邻域内的距离。可以把它看作是一系列局部主成分分析的组合，然后在全局范围内找到最佳的非线性嵌入。不过，LLE遇到的一个大问题是正则化问题，当邻域数大于输入维数时，定义每个局部邻域的矩阵是不满秩的。 Modified Locally Linear Embedding (MLLE) 𐟔犤𘺤𚆨磥†𓌌E的正则化问题，MLLE在每个邻域中使用多个权重向量，而不是像LLE那样只使用一个权重矩阵。这样就能更好地解决正则化问题，让嵌入效果更稳定。 Hessian Eigenmapping 𐟌€ Hessian Eigenmapping（也叫HLLE）是另一种解决LLE正则化问题的方法。它围绕每个邻域，基于Hessian的二次型旋转，用于恢复局部线性的结构。这样一来，数据在低维空间中的表示就更接近原始数据了。 Spectral Embedding 𐟌 Spectral Embedding是一种计算非线性嵌入的方法，它使用拉普拉斯矩阵的谱分解来找到数据的低维表示。生成的图可以看作是高维空间中低维流形的离散逼近。基于图的loss函数最小化下降可以确保流形上彼此靠近的点在低维空间中靠近，从而保证局部距离。 Local Tangent Space Alignment (LTSA) 𐟛 ️ LTSA与LLE很相似，但又不完全相同。LLE专注于保持邻域距离，而LTSA则寻求其切线空间来表征每个点的局部几何形状，并执行全局优化来对齐这些局部切线空间。这样一来，数据的低维表示就更精确了。 MDS 𐟓Š MDS有两种类型：度量MDS和非度量MDS。度量MDS根据度量输入相似性矩阵，然后将输出两点之间的距离设置为仅可能相似或不相似的数据。而非度量MDS则保持距离的顺序，在嵌入空间中的距离与相似/不相似之间寻求单调关系。 t-SNE 𐟌᯸ t-SNE将数据点的相似性转化为概率，原始空间的相似度由高斯联合概率表示，嵌入空间的相似度由t分布表示。它专注于数据的局部结构，倾向于提取聚类的局部样本组。在一张地图上以多种比例显示结构，减少将点聚集在中心的趋势。希望这篇文章能帮你更好地理解各种Embedding方法！如果你有任何问题或想法，欢迎在评论区留言哦！

𐟓š线代行列式复习笔记总结𐟓 𐟓… Date: [待填写] 𐟔 行列式的基础知识行列式是线性代数中的重要概念，用于描述矩阵的性质。行列式的计算方法多种多样，包括按行或按列展开、拉普拉斯定理等。 𐟓š 行列式的展开按多行（列）展开：选择某一行（列），计算交叉位置的元素乘积。拉普拉斯定理：对阶行到式，取定K行，由此行组成的一切阶式与其代数余子式的乘积和。 𐟔砨ጥˆ—式的简化简化定理：通过特定的行列变换，将行列式转化为易于计算的形式。拉普拉斯定理的特殊运用：当主对角线元素为0时，行列式可以通过特定的计算方法简化。 𐟓 行列式的性质行列式的值与矩阵的转置有关。行列式的值与矩阵的行列变换、行列互换有关。 𐟔 行列式的应用行列式在解线性方程组、矩阵的逆运算中有着广泛的应用。行列式的计算方法和技巧对于解决复杂的数学和工程问题至关重要。 𐟓… 复习计划持续更新线代笔记，涵盖行列式的各种计算方法和应用。欢迎大家讨论和交流，共同进步！

马尔可夫链的三种求解方法详解在马尔可夫链中，转移概率矩阵𐝑ƒ(𐝑ᩤ𘎥𚦧Ÿ驘𕰝‘„的关系是一个经典问题。本文将介绍三种求解方法，帮助你更好地理解这一关系。方法一：直接求解微分方程𐟓– 当状态集𐝑†有限时，可以利用分析方法直接求解向前和向后微分方程。例如，已知触发器的状态转移具有马尔可夫性，可以建立微分方程组并求解。通过向后方程的解，可以确定转移概率矩阵𐝑ƒ(𐝑ᩣ€‚ 方法二：概率构造法𐟎﹤𚎥賂—集状态空间，可以利用概率构造法求解满足向前和向后方程的解。特别是当𐝑„矩阵为保守时，可以通过递推关系逐步求出转移概率矩阵𐝑ƒ(𐝑ᩣ€‚这种方法适用于状态空间较大或无限的情况。方法三：拉普拉斯变换法𐟔„ 拉普拉斯变换法是一种将微分方程转化为代数方程的方法。通过拉普拉斯变换，可以将向前和向后微分方程转化为线性代数方程组，便于用代数方法求解。这种方法在处理复杂微分方程时非常有效。总结𐟓 以上三种方法分别是直接求解微分方程、概率构造法和拉普拉斯变换法。每种方法都有其适用场景和优势，可以根据具体问题选择合适的方法进行求解。希望这些方法能帮助你更好地理解和应用马尔可夫链的相关知识。

𐟓š线性代数笔记大揭秘𐟔 𐟓–探索线性代数的奥秘，从行列式到矩阵运算，一网打尽！𐟒ꊊ𐟔⠩斥…ˆ，我们来聊聊行列式。你知道吗？行列式是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们解决一系列线性方程组的问题。𐟧 𐟒ᠨጥˆ—式的计算并不复杂，只要掌握一些基本的计算规则，就能轻松应对。比如，我们可以利用对角线法则、拉普拉斯展开等技巧来计算行列式。𐟖‹️ 𐟔⠦Ž夸‹来，我们进入矩阵的世界。矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它可以帮助我们更方便地处理线性方程组的问题。𐟤” 𐟒ᠧŸ驘𕧚„运算包括加法、减法、乘法等，这些运算都有严格的数学规则。比如，我们可以利用矩阵的加法法则、乘法法则等来计算矩阵的结果。𐟧𐟔⠦œ€后，我们来看看行列式与矩阵之间的关系。其实，行列式和矩阵是密不可分的。在某些情况下，我们可以利用行列式来求解矩阵的逆、行列式的值等问题。𐟤 𐟒ᠦ€𛧚„来说，线性代数是一个充满挑战和乐趣的学科。只要你掌握了行列式和矩阵的基本概念和运算规则，就能轻松应对各种复杂的问题。加油哦！𐟌Ÿ

2025考研数学三大纲变动解析 𐟓… 2025考研数学大纲更新啦！快来看看有哪些变化吧！ 𐟓š 数学三的考试科目包括：微积分、线性代数和概率论与数理统计。考试形式为闭卷笔试，共180分钟。试卷满分150分，分为单选题、填空题和解答题三个部分。 𐟓– 微积分部分占86分，线代部分占32分，概率部分占32分。具体考试内容如下： 1️⃣ 微分方程与差分方程：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念，掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法，理解线性微分方程解的性质及解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 2️⃣ 二次型：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理。掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形。理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。 3️⃣ 概率论与数理统计：了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律），了解棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布。了解经验分布函数的概念和性质。 4️⃣ 参数估计：了解参数的点估计、估计量与估计值的概念，掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。 𐟓ˆ 概率部分有一些小变动，比如将“掌握用事件独立性进行概率计算”改为“掌握用事件独立性进行概率计算的方法”。大家在复习时要注意这些细节哦！

𐟓š线代期末速成秘籍𐟒ኰŸ”二行列式计算：公式和技巧 𐟔三角形行列式：上三角和下三角的求解方法 𐟔范德蒙行列式：特点与求解公式 𐟔余子式与代数余子式：定义和计算方法 𐟔拆和法与拉普拉斯公式：行列式的计算技巧 𐟔矩阵的乘法与性质：矩阵相乘的规则和性质 𐟔抽象矩阵求逆矩阵：方法与步骤 𐟔数字型矩阵求逆矩阵：具体实例与解析 𐟔矩阵的秩：定义与计算方法 𐟔判别向量组的线性相关性：方法与实例 𐟔齐次方程组的基础解系与通解：求解步骤与解法 𐟔非齐次方程组的求解：特解与通解的求法 𐟔带参数方程组的求解：参数对解的影响掌握这些技巧，线代期末轻松过关！𐟎‰

线性代数思维导图：行列式与矩阵 𐟓š 线性代数第一章：行列式 𐟔 行列式的定义行列式是一个数值，表示矩阵的线性变换的体积。定义方式：符号确定，偶排列为正号，奇排列为负号。 𐟔 行列式的展开式按行列展开的公式：det(A) = sum(aij*det(Aij))，其中Aij是去掉第i行和第j列的子矩阵。展开式可以按照不同的行或列进行。 𐟔 行列式的性质转置行列式：AT = AD = D。互换两行：行列式变号。两行成比例：行列式为0。两行相等：行列式为0。行列式中某一行所有元素都为0，则行列式为0。 𐟔 行列式的计算方法上三角行列式：选择上三角矩阵，利用高斯消元法计算。下三角行列式：选择下三角矩阵，利用高斯消元法计算。利用拉普拉斯展开法，选择不同的行或列进行展开。 𐟔 行列式的应用克拉默法则：用于解线性方程组，当系数矩阵行列式不为0时，方程组有唯一解。逆矩阵计算：利用行列式计算逆矩阵。特征值与特征向量：利用行列式计算特征值与特征向量。 𐟓š 矩阵的思维导图矩阵的概念与性质。矩阵的运算：加法、减法、乘法、转置等。矩阵的逆运算：求逆矩阵的方法。矩阵的特征值与特征向量。