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分布律和分布函数新上映_求分布函数例题及答案(2024年11月抢先看)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：导读更新日期：2024-11-27

分布律和分布函数

概率论与数理统计笔记总结 𐟓š 第一章：随机事件及其概率随机事件与运算定义：随机事件是样本空间的一个子集。包含关系：A发生必有B发生。等价关系：A发生当且仅当B发生。互不相容（互斥）：A与B不能同时发生。对立关系：A发生则B不发生，反之亦然。三大运算并：A∪B，至少有一个发生。交：A∩B，同时发生。差：A-B，A发生B不发生。运算规律交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。德摩根定律：A-(B∪C) = A-B ∩ A-C，A-(B∩C) = A-B ∪ A-C。古典概型定义：只有有限个样本点，每个样本点发生的概率相等。例子：一批产品中有M件次品，不放回抽样n件，求次品数。 𐟓˜ 第二章：随机变量及其分布随机变量的定义变量X是定义在样本空间上的单值实值函数。分布函数定义：F(x) = P(X≤x)。性质：单调非减，0≤F(x)≤1，F(-∞) = 0，F(+∞) = 1。离散随机变量定义：只能取有限个或可列无穷多个值。性质：P(X=x) ≥ 0，且所有P(X=x)之和为1。常见分布：超几何分布、二项分布。连续随机变量定义：取值范围是某个实数区间，存在概率密度f(x)。性质：f(x) ≥ 0，且所有f(x)在(-∞,+∞)上的积分为1。常见分布：均匀分布、指数分布、正态分布。 𐟓Š 第三章：随机变量的数字特征期望（均值）定义：E(X)。性质：E(CX) = CE(X)，E(XY) = E(X)E(Y)（若X与Y独立）。方差定义：D(X) = E[(X-E(X))ⲝ。性质：D(CX) = CⲄ(X)，D(Xⱙ) = D(X) + D(Y)（若X与Y独立）。标准差：c() = sqrt{D(X)}。正态分布定义：N(𒩯𜌥𚦥‡𝦕𐦨x)。性质：曲线关于﹧簯𜌥𝓸=—𖥏–得最大值。中心极限定理定理：若X1, X2, ..., Xn相互独立且同分布，则Z = (X1 + X2 + ... + Xn)/n ~ N(𒯮)。 𐟓š 第四章：正态分布的应用正态分布与标准正态分布的关系定理：若X~N(𒩯𜌥ˆ™Y = (X - /~ N(0,1)。正态分布的数字特征期望E() = 𜌦–𙥷) = 𒣀‚ 线性性、可加性、线性组合性等性质。

𐟓Š数理统计全攻略𐟓ˆ 𐟎“ 探索数理统计的奥秘，从基础到进阶，一网打尽！ 𐟔 第一章：随机事件与概率 - 加法原理：两种方法完成某事，则完成方法数为两者之和。 - 乘法原理：两个步骤完成某事，则完成方法数为两者之积。 - 随机试验与随机事件：试验的可能结果称为随机事件。 𐟓ˆ 第二章：随机变量及其分布 - 离散型随机变量：可能取值为有限个或可列个。 - 连续型随机变量：取值范围为连续区间。 - 分布律与分布函数：描述随机变量取值的概率规律。 𐟔젧쬤𘉧렯𜚤𚌧𛴩š机变量及其分布 - 联合分布：描述两个随机变量的取值概率。 - 边缘分布：一个随机变量的分布，忽略另一个的影响。 - 条件分布：在已知一个随机变量的情况下，另一个的分布。 𐟓š 第四章：数理统计的进一步应用 - 抽样与抽样分布：从总体中抽取样本，研究其分布规律。 - 参数估计：用样本数据估计总体参数。 - 假设检验：对总体参数进行统计推断。 𐟚€ 从基础概念到复杂应用，数理统计的旅程就在这里！快来一起探索吧！𐟌Ÿ

概率论与数理统计笔记 𐟓š 21世纪高等院校教材第二章第二节手写笔记 (3) 概率论与数理统计刘舒强金明爱主编科学出版社 𐟔 322离散型随机变量及其概率分布求待定常数设随机变量X，X的分布函数为F(x)，F2(x)。为使F(x)=aF(x)-bF()是某一随机变量的分布函数，在下面给出的各组数中应取(A)。 F(-0)=Fa(-)=0 F(+)=Fx(+o)=0 a-b 𐟓ˆ 设随机变量X的分布函数为 0, r≤0, ar', 04/3. 试确定常数ab的值。 a=言 ((to)=F) a=1b -b=1 IF(t)=F() 1b:=吉 𐟎𑂧滦•㥞‹随机变量的分布律、分布函数和事件概率（实质：古典概型）一批零件中有9件正品和3件次品，从中不放回地抽取零件，求：在取得正品前已取出次品数X的分布律和分布函数；概率P(X>2)，P(0.5

𐟎悧Ž‡论公式与概念速览 𐟓– 第一讲：随机事件及其概率 𐟔 利用四大公式求解事件概率 𐟌𐠤𞋥悯𜚨(A)=0.5，P(AB)=0.8，且AB相互独立，求P(B) 𐟔 求A与B同时发生的概率 𐟔 加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 𐟔 条件公式：P(AB)=P(A|B)P(B) 𐟔 乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A) 𐟔 定义：AB同时发生 𐟔 解：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8 𐟔 P(A)=0.5，P(AB)=0.8，P(B)=? 𐟔 设P(A)=0.5，P(A-B)=0，求P(AB) 𐟔 减法：P(A-B)=P(A)-P(AB) 𐟔 对偶性：P(A)=P(A) 𐟔 P(A-B)=0.3，P(A)=0.5，求P(AB) 𐟔 P(AB)=P(A)-P(AB)=-0.46 𐟓– 第二讲：贝叶斯公式与条件概率 𐟔 步骤一：将问题转化为条件概率形式 𐟔 步骤二：利用贝叶斯公式求解 𐟌𐠤𞋥悯𜚥ˆ䦖�€个人是否为色盲，已知某人为色盲的概率和发现其为色盲的条件概率，求该人为色盲的后验概率 𐟔 解：P(A|B)=P(AB)/P(B)=20% 𐟔 P(A)=21%，P(A|B)=20% 𐟔 P(A|B)=20%，求P(A) 𐟔 P(A|B)=20%，求P(AB) 𐟔 P(AB)=2/8=25% 𐟓– 第三讲：伯努利型与泊松分布 𐟔 定义：伯努利型分布适用于独立重复试验，每次试验只有两种可能结果 𐟌𐠤𞋥悯𜚦Ÿ人射击5次，命中2次，求命中的概率 𐟔 公式：Pa(k)=Cnkpkqn-k，其中p=P(A)，q=1-p 𐟔 解：Pa(2)=C52p2q3=0.8 𐟔 P1=0.3，P2=0.7，求P1+P2+...+Pk=1的概率 𐟔 解：Pa=Cnkpkqn-k=C0kpkqn-k+C1kpkqn-k+...+Cnkpkqn-k=1-p+p+...+p=1 𐟓– 第四讲：离散型与连续型变量的分布 𐟔 定义：离散型变量的分布律为取值及其对应的概率之和 𐟌𐠤𞋥悯𜚨的分布律为2101，求X的分布律 𐟔 解：①X的可能值为0,1,4,9；②ro=x=01ⲯ𜛢‘␯=x=1=1/3；④Po=x=4=1/3；⑤Po=x=9=1/3；⑥综上：Po=x=0+1+4+9=1/3+1/3+1/3+1/3=4/9 𐟔 定义：连续型变量的分布函数为取值区间内的概率之和 𐟌𐠤𞋥悯𜚨在区间(0,2)上服从分布，求Y的分布函数Fy)和密度函数fy) 𐟔 解：①分段点x=0,1,2；②Fy)=Fy-Fy-Fy；③fy)=Fy)-Fy)-Fy)④其他情况同离散型变量分布律求解方法

今天谈一下概率论与统计学中的随机变量的数学期望的科学性，统一性，一致性和存在唯一性问题！关于一个随机变量的数学期望的定义总共有五种定义：没Y是一个随机变量，第一种定义是：㗥…𓤺ŽY的分布函数F（㗯𜉧š„勒贝格斯蒂阶斯积分所定义的Y的数学期望；第二种定义是㗥…𓤺Ž由F（㗯𜉤𚧧”Ÿ的测度的积分所定义的Y的数学期望；以上二种方法定义出来的Y的数学期望的存在性是等价的；原因是第二种方法定义出来的数学期望如果存在，则显然第一种方法定义出来的数学期望也存在，即㗥…𓤺ŽF（㗯𜉤𚧧”Ÿ的测度的积分存在一定可以推出x关于F（x）的勒贝格斯蒂阶斯积分存在，且都唯一，进一步两个积分值一定是相等的！第三种定义是Y关于其定义于概率空间上面的概率测度的积分；显然由测度论中积分测度变换所知：第二种方法定义出来的数学期望的存在性与第三种方法定义出来的数学期望的存在性是完全等价的，这两个积分其实是同一个积分；第四种定义是关于连续型随机变量的数学期望的定义，它是x乘以Y的概率密度函数关于通常的实直线上的勒贝格测度的积分所定义；又显然第四种数学期望的定义和第二种数学期望的定义当Y是连续型随机变量时，由测度论中的积分变换可知它们是同一个定义；第五种数学期望的定义是关于离散型随机变量，由对其概率分布律而建立起来的级数求和所定义，关于这个随机变量的数学期望的存在的定义其实是和第四种方法定义是等价一致的，我们己有专门的论文阐述！综上所述，关于一个随机变量Y的数学期望的五种定义是统一的，一致的，其中任何一个定义定义出来的数学期望如果存在，则其它定义定义出来的数学期望也存在，而且数学期望值是相等的！进一步，一个随机变量的数学期望存在，则一定是唯一的，且这个随机变量的绝对值的数学期望也存在！

𐟓š《概率论与数理统计》精华笔记大放送 𐟎“ 想要掌握《概率论与数理统计》的精髓吗？这里有一份详尽的笔记资料，助你轻松应对考研、期末考试以及复试！ 𐟓– 第一章：概率论的基本概念 𐟔 样本空间与随机事件定义：样本空间S是所有可能结果的总和。事件关系：ACB表示B包含A，即A发生则B必定发生。和事件：AUB表示A或B中至少有一个发生。积事件：AB表示A和B同时发生。差事件：A-B表示A发生但B不发生。互为逆事件：AUBS=S且ANB=中，则A与B互为对立事件。 𐟓ˆ 频率与概率频率：在相同条件下进行n次试验，事件A发生的次数除以n。概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件的概率。概率性质：非负性、规范性。 𐟓Š 独立性定义：设A,B是两事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A,B相互独立。定理一：设A,B是两事件,且P(A)>0,若A,B相互独立，则P(BIA)=P(B)。定理二：若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立。 𐟓‰ 第二章：随机变量及其分布 𐟔 随机变量定义：随机试验的样本空间为S，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X(e)为随机变量。离散型随机变量及其分布律离散随机变量：可能取到的值是有限个或可列无限多个。三种重要离散型随机变量：(0-1)分布、伯努利实验、二项分布。 𐟎‰ 快来领取这份精心整理的《概率论与数理统计》笔记吧！全面复习，助你取得优异成绩！

考研数学必知小技巧，轻松突破140+！ 𐟧ᣀ高数部分】判断函数奇偶性时，先看定义域是否关于原点对称；用定义证明函数单调性时，步骤为取值、作差、判断正负；换元法解题时，别忘了换元前后的等价性； f''(x)=0的点不一定是拐点；微分方程通解中的字母C要写任意常数；计算多元积分时，先看能否用对称性简化；有瑕点的反常积分，从瑕点处断开计算。 𐟒›【线性代数部分】行列式两行/列互换后，记得加上负号；矩阵没有乘法交换律，即AB≠BA；正交变换得到的标准型就是矩阵的特征值；填空题求标准型和规范型时，也要和解答题一样更换字母表示。 𐟒š【概率论部分】计算概率时，𘺧篥ˆ†限的时候，注意不要当成0然后忽略掉；做概率论大题一定要数形结合；切比雪夫不等式的方向不要记反了；求分布概率时，不要漏了某个端点，每个点的取值都要体现在分布函数中。 𐟒œ一些数学名师的授课特点总结： ⭕1. 李永乐线性代数跟紧李永乐老师就好了，人称“永乐大帝”稳的一批，讲课细致全面，消化好他的课和书，线代不愁满分。 ⭕2. 汤家凤汤老师上课十分严谨，讲课速度较慢，适合基础不好的同学，就是有点口音，不过影响不大。 ⭕3. 余丙森基础不好的同学可选，余丙森老师的课讲得十分有条理，注重细节。 ⭕4. 张宇: 不建议基础不好的同学听他的课，基础不错或者对自己有信心的小伙伴可以试一下。而且张宇的题也讲究技巧性。 ⭕5. 王式安王式安老师的课较为适合基础不错的。基础差的同学建议先过一遍书本再听王老师的课。

气体动理论与热学基础笔记整理 ### 气体动理论 𐟌쯸 理想气体状态方程：理想气体状态方程是描述理想气体在平衡态下各状态参量关系的方程。表达式为：其中，p是压强，V是体积，n是物质的量，R是摩尔气体常量，T是热力学温度。这个方程反映了理想气体在平衡态下的基本关系。另一种表达方式是：其中，˜淚•位体积内的分子数，k是玻尔兹曼常数。压强公式：气体压强公式描述了气体分子对容器壁的碰撞强度。表达式为：其中，v_rms是气体分子的方均根速率，m是分子质量。温度的微观本质：温度的微观本质是气体分子的平均平动动能。表达式为：这表明温度越高，分子的平均平动动能越大。自由度：自由度是指确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标数目。单原子分子有3个自由度（如氦、氖分子）。刚性双原子分子有5个自由度。刚性多原子分子有6个自由度。能量均分定理：在温度为T的平衡状态下，气体分子每一自由度上具有的平均动能都相等。表达式为：单原子分子的平均总动能为：3kT/2。刚性双原子分子的平均总动能为：5kT/2。刚性多原子分子的平均总动能为：6kT/2。麦克斯韦速率分布函数：麦克斯韦速率分布函数描述了无外场时处于平衡态的理想气体分子的速率分布规律。平均碰撞频率和平均自由程：平均碰撞频率公式为：其中，d是分子的有效直径，v是平均速率，˜淚•位体积内的分子数。平均自由程公式为：热学基础 𐟔劧ƒ�›学第一定律：热力学第一定律描述了系统从外界吸收的热量、系统内能的变化以及对外界做功之间的关系。表达式为：Q =  + W。热力学过程：等体过程：气体体积不变的过程，该过程中气体不做功，吸收的热量全部用以增加气体的内能。表达式为： = Q = nC_V。其中，C_V是摩尔定容热容。等压过程：气体压强不变的过程。表达式为： = Q = nC_P。其中，C_P是摩尔定压热容。等温过程：气体温度不变的过程。表达式为：Q = W。气体膨胀时从恒温热源吸收的热量全部用于对外做功，反之类似。绝热过程：系统与外界无热量交换的过程。绝热过程方程为：Q = 0， = W = nC_V/€‚其中，˜羚”热容比。热机效率：热机是将热能转化为机械能的装置，其效率定义为对外做功与整个循环过程中吸收的热量之比。表达式为：= W/Q_H。制冷系数：制冷机是将热量从低温物体转移到高温物体的装置，其制冷系数定义为从低温物体吸收的热量与外界对制冷机做的功之比。表达式为：= Q_L/W。

高斯：数学王子的诞生 𐟎Œ‘战难题想象一下，一个19岁的学生被告知要用圆规和一把尺子画出正十七边形。这听起来是不是像是不可能完成的任务？但高斯，这位未来的“数学王子”，接受了挑战。他埋头苦干，却发现无从下手。然而，这种“困难”反而激发了他的斗志，他决定钻研一夜。当第二天清晨的阳光洒进房间时，高斯成功地画出了正十七边形。他感到非常惭愧，认为自己花了一整晚才解出这道题。但他的导师在看到答案后目瞪口呆，问他这是否是他自己完成的。高斯肯定地回答后，导师兴奋地说：“你知道吗？你做出了一道2000多年没有解决的难题，就连牛顿和阿基米德都没有解出来！你竟然一晚上就解出来了，你真是个天才！” 𐟓š 个人简介卡尔ⷥ𜗩›𗥾𗩇Œ希ⷩ똦–ﯼˆJohann Carl Friedrich Gauss），1777年出生于不伦瑞克，毕业于哥廷根大学。他是德国数学家，近代数学的奠基者之一，被誉为“数学王子”。他的主要成就包括独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”、质数分布定理及算术几何平均、《正十七边形尺规作图之理论与方法》，以及出版了《算术研究》和《曲面的一般研究》。 𐟔 高斯函数高斯函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于统计、信号处理等领域。了解高斯函数可以帮助我们更好地理解数学原理和实际应用。

高中数学全知识点思维导图汇总 𐟓š 函数与方程函数基础定义与表示（解析式、图像、列表）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）函数应用实际问题建模函数的零点与方程解复合函数、反函数定义与性质求复合函数、反函数的步骤 𐟓ˆ 数列与极限数列基础定义与分类（等差数列、等比数列）通项公式与求和公式数列的极限极限的概念极限的性质与运算法则极限的求解方法无穷级数级数的定义与分类收敛与发散的判断 𐟒ᠤ𘍧퉥𜏤𘎨˜Ž 不等式基础一元一次/二次不等式解法绝对值不等式解法不等式证明比较法、综合法、分析法反证法均值不等式、柯西不等式等 𐟓 解析几何直线与圆直线方程（点斜式、两点式、截距式、一般式）圆的方程与性质直线与圆的位置关系圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与性质直线与圆锥曲线的交点问题 𐟓 立体几何空间几何体棱柱、棱锥、球的性质与表面积、体积空间位置关系平行与垂直（线面、面面）角的度量（异面直线所成角、二面角）距离（点到点、点到线、点到面） 𐟎悧Ž‡与统计概率基础古典概型、几何概型条件概率、全概率公式、贝叶斯公式随机变量与分布离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度期望与方差统计推断抽样方法参数估计假设检验 𐟓– 微积分初步导数导数的定义与几何意义导数的计算（基本公式、运算法则、复合函数求导）导数的应用（单调性、极值、最值）定积分定积分的概念与性质定积分的计算（换元积分法、分部积分法）定积分的应用（面积、体积、物理应用）

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