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幂级数的收敛半径新上映_幂级数的收敛半径计算公式(2024年12月抢先看)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：导读更新日期：2024-11-29

幂级数的收敛半径

24考研数学：级数部分全解析 𐟓š级数的概念与性质：张宇老师首先介绍了级数的定义，即一列数的求和结果。他详细讲解了级数的收敛和发散定义，以及级数的性质，如倒数判别法、比值判别法和根值判别法等。 𐟔„绝对收敛与条件收敛：张宇老师解释了绝对收敛和条件收敛的概念，以及它们之间的关系。他强调了绝对收敛级数总是收敛的性质，并通过实例说明了条件收敛级数可能发散的情况。 𐟓ˆ常见级数的求和方法：等比级数：张宇老师介绍了等比级数的求和公式，并通过实例演示了如何判断等比级数的收敛性和求和结果。幂级数：他讲解了幂级数的概念，并介绍了幂级数的收敛半径和求和方法。 𐟧𖦕›级数的运算：张宇老师解释了收敛级数的四则运算规则，包括加法、减法、乘法和除法运算。通过这些讲解，张宇老师帮助学生深入理解了级数的基本概念和性质，包括收敛和发散的判别方法，绝对收敛和条件收敛的区别，以及常见级数的求和方法。这些知识将为学生在高数考研中解题和理解相关知识提供帮助。

专升本数学必考知识点大揭秘！ 𐟔”专升本可是专科生们实现全日制本科学历的唯一机会啊！尤其是三年制专升本，理科专业的同学们得好好准备高数考试，这可是必考科目！很多人一听到高数就头疼，不过别急，我来给你们整理了一份2022-2024年高数真题的高频考点，帮你们顺利过关！ ♨️♨️这些高频考点包括：无穷小量的比较极限的计算原函数和不定积分的概念高阶导数级数收敛二元函数极值矩阵的秩向量组的线性相关性间断点参数方程求导抽象函数求导广义积分幂级数的收敛半径行列式计算极限的计算，洛必达法则不定积分的计算定积分换元法二阶齐次、非齐次求通解，求方程隐函数求偏导二次积分计算，交换积分次序解矩阵方程非齐次线性方程求通解根的唯一性，罗尔定理之万能公式一阶线性微分方程凹凸区间与拐点定积分求面积和旋转体体积 ♨️♨️对于三年制专升本理科专业，这些知识点可是重中之重：财经类（理）管理类（理）电子信息类（理）计算机类（理）机械工程类（理）化工生物类（理）土木建筑类（理）医护类（理）资源环境类（理）农林类（理）食品类（理）

华南数学考研，380+分秘籍！ 𐟌Ÿ华南师范大学903的考试内容今年依然涵盖了数分下册的最后几章，很多同学可能会忽视这一点，所以正在准备25级考研的同学们一定要重视起来，不要只复习前面的章节哦。 𐟓š数分部分：泰勒公式幂级数的收敛半径隐函数求导重要极限二重积分坐标变换第二型曲面积分特殊函数的定积分计算函数的连续性与可导性函数极限的定义或者洛必达法则 𐟓š高代部分：重根重因式问题线性方程组解的结构交空间的维数问题正定矩阵的性质线性变换基下的矩阵正交矩阵的性质线性相关性矩阵方程利用正交变换将二次型化标准型实对称阵的特征值问题 𐟓ˆ华南学科数学903的难度分析数分高代的题型基本稳定，主要以填空、解答、证明为主。数分部分重视下册的计算，高代部分出题较为灵活。数分方面，常考知识点包括：数列、函数极限、连续函数的性质、求导数、求微分、中值定理、求不定积分、求定积分、多元函数微分学、数项级数判敛、幂级数求和、二重积分、曲面积分等。近年来，华南的真题每年都会考一到两个偏僻考点，如21年的线面距离公式，22年的聚点的定义，23年的傅里叶级数，24年的取整函数。高代方面，常考知识点主要有：多项式的根、有限阶、n阶行列式的计算、矩阵秩的证明、矩阵方程、伴随矩阵、线性方程组、矩阵相似对角化、二次型、线性空间的基与维数、线性变换的值域与核等。近年来，二次型、线性空间的基与维数、线性变换的值域与核、欧式空间的考查频率增大，需要引起足够重视。 𐟒Ჵ级考生复习需要注意什么？填空题：华南数学903的填空题难度和灵活度都高于解答题和证明题，解题时要注意技巧，多用特殊值法、排除法等。虽然今年稍有调整，难度有所下降，但仍不能掉以轻心，应多做相应训练。解答题：理论性要求不高，不需要掌握很深的理论，但要求强大的计算能力。证明题：华南考查的证明题难度不大，主要考察对基本知识点的理解能力和应用能力。没有偏题怪题，数学复习是一个长时间积累的过程，每天坚持学习并做相应的习题演练，保持做题的手感，要踏实熟练地掌握每一个知识点，不要好高骛远，要踏实地完成每一道习题，在不断重复中，提升自己的解题能力。

高数笔记：无穷级数的基本概念与性质 𐟓š 高数课程已经结束，明天我会分享一些整理好的笔记。 𐟓– 第一章：无穷级数 1️⃣ 常数项级数的收敛性：如果常数项级数满足某些条件，它就会收敛。例如，1+2+3+...，这是一个发散的级数。 2️⃣ 级数收敛的性质：如果两个级数都收敛，那么它们的和也收敛。具体问题具体分析，有时候改变级数的排列顺序或者去掉某些项并不会影响其收敛性。 3️⃣ 级数收敛的充分条件：如果级数的通项满足某些条件，那么这个级数就会收敛。例如，0.9+0.99+0.999+...，这是一个收敛的级数。 4️⃣ 幂级数的收敛半径：幂级数的收敛半径可以通过一些公式来计算，例如对于函数f(x)=∑(a_n x^n)，它的收敛半径可以通过解方程来找到。 5️⃣ 函数展开为幂级数：将函数展开为幂级数是一种重要的数学技巧，可以用于求解微分方程、计算积分等。例如，e^x=∑(x^n/n!)。 6️⃣ 傅里叶级数：傅里叶级数是周期函数的展开形式，它可以将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。例如，傅里叶级数可以用来描述音乐信号的频谱。 𐟓 第二章：常数项级数 1️⃣ 常数项级数的定义与性质：常数项级数是所有项都相同的级数。它们的收敛性可以通过一些基本公式来判断。例如，1+1+1+...，这是一个发散的级数。 2️⃣ 特殊类型的常数项级数：有些特殊类型的常数项级数可以通过一些技巧来计算。例如，调和级数（1+1/2+1/3+...），它是一个发散的级数。 3️⃣ 几何级数：几何级数是每一项都是前一项乘以某个常数的级数。它们的收敛性可以通过一些基本公式来判断。例如，2+4+8+...，这是一个发散的级数。 4️⃣ 复数域上的常数项级数：复数域上的常数项级数可以通过一些特殊的方法来计算。例如，复数的模和辐角可以帮助我们理解复数域上的常数项级数的性质。

如何计算收敛半径：一步步教你搞定收敛半径这个概念听起来简单，但实际做起来却有点复杂。简单在于它的求法并不难，复杂在于不同幂级数的处理方式各不相同。下面我会详细讲解几种常见的求收敛半径的方法。阿达马定理 𐟓š 阿达马定理是求收敛半径的一个重要工具。对于形如∑(x-x)ⁿaₙ的函数项级数，收敛半径R可以通过以下公式计算： R = lim sup |aₙ| / |aₙ₊₁| 这里，lim sup表示上极限，|aₙ|表示第n项的绝对值，|aₙ₊₁|表示第n+1项的绝对值。特别地，la开的次数不一定为n，而是要与幂级数中(x-x)ⁿ的次数An一致，其中An表示与n有关的函数（如xⲧ퉯𜉣€‚ 达朗贝尔判别法 𐟓 达朗贝尔判别法也是求收敛半径的一种方法。对于形如∑aₙ(x-x)ⁿ的函数项级数，如果满足以下条件： 0 < lim |aₙ| / |aₙ₊₁| < 1 那么级数收敛，且收敛半径R为1 / lim |aₙ| / |aₙ₊₁|。注意，对于缺项级数（即某些项系数为0的级数），这种方法不适用。缺项幂级数 𐟚犥﹤𚎧𜺩ṥ𙂧𚧦•𐯼Œ求收敛半径的方法有以下几种：变量替换法：将缺项幂级数进行变量替换，使其变为无缺项的幂级数，然后根据无缺项的情况计算收敛半径。比值法：将缺项幂级数看作一个没有缺项的函数项级数，通过比较相邻项的比值来计算收敛半径。柯西-阿达马公式：利用柯西-阿达马公式，即lim |aₙ| / |aₙ₊₁| = 0，来计算收敛半径。总结 𐟓 求收敛半径的方法多种多样，具体要根据不同的幂级数来选择合适的方法。无论是阿达马定理、达朗贝尔判别法还是缺项幂级数的处理方法，都需要我们灵活运用这些公式和技巧。希望这篇文章能帮助你更好地理解和掌握收敛半径的计算方法！

专升本高数备考，顺序别乱！嘿，准备专升本的小伙伴们，千万别小看高数这门课！如果你把顺序搞反了，那可真是稀里糊涂学得一团乱，时间和精力都白白浪费了。来，咱们一起捋一捋高数的备考重点和做题技巧吧！考试重点 𐟓š 函数、极限与连续函数的概念和性质极限的计算无穷小阶的比较函数的连续与间断零点定理（根的相关问题）一元函数微分学函数的求导导数的应用微分中值定理一元函数积分学不定积分、定积分、反常积分的计算变上限积分利用定积分求面积及旋转体体积常微分方程一阶微方程的通解、特解二阶微方程的通解、特解向量代数与空间解析几何向量的概念和性质数量积与向量积空间直线方程空间平面方程多元函数微分学二元函数的求导法则偏导数与全微分多元函数的应用多元函数积分学二重积分的计算方法第一类、二类曲线积分无穷级数常数项级书的敛散性判断幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域函数的展开与幂级数的求和做题技巧 𐟒ኦ𑂤𘍥篥ˆ†一定要＋C，求单调区间一定要考虑端点在不在定义域。带有绝对值的函数无论是求导还是求定积分，一定要去掉绝对值。等价无穷小替换一定不要用于加减，可能会出错。定积分看到上下限互为相反数，很可能用到奇偶函数在对称区间上积分的性质。应用问题求最值，一旦建立了函数关系就可以求导，求的驻点通常就是最值点。求微分时无论是求函数在一点的微分还是求函数的微分不要忘记乘dx。求定积分需要换元时，一定要注意“三换”原则。看到正弦或余弦函数在0到二分之š„定积分，有可能用到点火公式。备考小贴士 𐟓 高数基础知识一定要重点掌握！我是跟董硕专升本学的，课前先预习，课上结合老师讲的例题把基础概念、核心公式都理解透彻，做题才会更简单。某个公式不太理解的话，可以结合1-2道例题的解题步骤去拓展做题思路，做完同类型的题之后，及时总结做题技巧。准备好错题本，把掌握不牢的题总结2道，每天单独做一遍，及时巩固练习，保持好手感。基础差的同学不要钻研高难度的题，重心放在基础题上，把能拿的分数都拿到手就差不多已经够用了。希望这些小建议能帮到你们，祝大家都能顺利上岸！𐟚€

高等数学第十二章总结：无穷级数 𐟓š 等比级数和调和级数 𐟔 收敛级数的基本性质性质12345 𐟔 柯西审敛原理 𐟔 常数项级数的审敛法 𐟦” 正项级数的敛散性 ॱଳ혠比值审敛法 ॱଳ혠极值审敛法 ॱଳ혠比较审敛法 ॱଳ혠积分判别法 ॱଳ혠比较审敛法的极限形式 𐟦” 交错级数及其审敛法 ॱଳ혠莱布尼茨定理 𐟦” 任意项级数与绝对收敛、条件收敛 𐟔 幂级数 ॱଳ혠收敛半径和收敛域 ॱଳ혠幂级数的性质 𐟔 函数展开为幂级数 𐟔 傅里叶级数 ॱଳ혠三角级数的正交性 ॱଳ혠函数展开成傅里叶级数 ॱଳ혠正弦级数和余弦级数 ॱଳ혠一般周期函数的傅里叶级数

23考研数学：如何轻松拿到120分？嘿，考研的小伙伴们！数学是不是让你又爱又恨？别担心，我来给你支几招，帮你轻松搞定考研数学，拿到100分甚至120分！题型分布和分值占比𐟓Š 首先，咱们得搞清楚考研数学的题型分布和分值占比。数学一、数学二、数学三虽然有些不同，但大体上差不多。选择题：10题，每题5分，总共50分。填空题：6题，每题5分，总共30分。解答题：6题，总共70分。数一：高数60%+线代20%+概率论20%。数二：高数80%+线代20%。数三：高数60%+线代20%+概率论20%。必拿分参考𐟓 选填题：要想拿到100分，选填题至少要答对12个。这些题目通常会涉及到导数、积分、秩、行列式等基础运算。高数解答题：这些题目是必拿分的重点。函数极限的计算方程的计算：包括一阶微分方程、变量可分离方程、齐次型方程、一阶线性方程、二阶常系数齐次和非齐次微分方程。偏导数：定义和方法要熟练掌握。级数：优先掌握阿贝尔定理算幂级数的收敛半径及收敛域。求和函数：先导后积和先积后导要心中有数。积分：反常积分的判敛计算、二重积分、线面积分和旋转体体积（数一）。线性代数：基础必拿分包括行列式的相关定理及运算、方阵的幂、方阵的逆、伴随矩阵的基本定义、秩的基本概念和相关性质、二次型。概率论：参数估计是必须拿到的分数。所有理论不用去管证明，记住结论用来解题就行。写在最后的小建议𐟓– 重视基础：100-120分不需要攻克太多难题，把基础题型知识点夯实，后期冲刺才能游刃有余。计算：很多同学老是算错，建议找到出错的原因，是知识点的缺失还是计算出错。错题本上要有体现。精确做题：一道题做1000遍比做1000道题效果好。跳出常规思路，根据知识点来做类型题，对症下药。暑期计划：暑期是关键节点，但大家需要严肃思考一下自己在家独自学习的效率如何。如果条件允许，建议参加一个线上或线下集训营，花销不大但可以拥有答疑渠道和浓厚的学习氛围。开学后更有利于无缝衔接到学校的图书馆或自习室，好的学习状态真的在后期尤为关键。最后，希望23考研的你们一战成硕，成功上岸！⛽️

𐟓š 收敛半径求解秘籍 𐟔 收敛半径是数学中幂级数的一个重要参数，它描述了幂级数收敛的区域范围。要找到它，我们需要遵循几个步骤： 1️⃣ 首先，确定幂级数的系数通项表达式，这是解题的基础。 2️⃣ 接着，利用收敛半径公式来计算R。这通常涉及到比值法或根值法等数学技巧。 3️⃣ 然后，我们要判断x=-R和x=R这两个端点处的敛散性。这需要通过代入x的值并观察级数的收敛情况来完成。 4️⃣ 最后，综合收敛半径R和端点处的敛散性，我们可以得出幂级数的收敛域。 𐟒ᠤ𞋥悯𜌥悦žœ级数在x=-R和x=R处都收敛，那么收敛域就是[-R,R]。如果只有一侧收敛，那么收敛域可能是(-R,R)或[-R,R)。如果两侧都不收敛，那么收敛域就是(-R,R)。 𐟓š 请注意，这些步骤是一般性的指导，具体求解时还需根据幂级数的具体形式进行操作。同时，也需要掌握一些高等数学中的定理和技巧，如阿贝尔定理等。 𐟒꠩€š过不断练习和实践，你可以更熟练地掌握这些技巧，提升你的数学能力！

无穷级数收敛性判别法全解析无穷级数收敛性的判别方法主要包括以下几种：正项级数收敛性判别法比值判别法：如果级数的相邻两项之比大于1，则级数发散；如果小于等于1，则级数收敛。根值判别法：如果级数的相邻两项之根大于1，则级数发散；如果小于等于1，则级数收敛。比较判别法：通过比较级数与已知收敛或发散的级数来判定其收敛性。幂级数收敛域的求法求收敛域/收敛半径/收敛区间：通过分析级数的表达式，利用比值判别法或根值判别法来求得收敛域。求解x的范围：通过求解x的范围，确定收敛域是开区间还是闭区间。双阶公式：利用双阶公式来简化计算。绝对收敛与条件收敛绝对收敛：如果级数的所有项都收敛，则称为绝对收敛。条件收敛：如果级数的某些项收敛而其他项发散，则称为条件收敛。收敛半径结论收敛半径的计算：通过分析级数的表达式，利用比值判别法或根值判别法来求得收敛半径。有界定理：如果级数的所有项都有界，则级数收敛。常见题型及方法构造微分方程：通过构造微分方程来求解级数的和函数。下标平移变换凑公式：通过下标平移变换来凑公式，从而求解级数的和函数。求和函数的方法求导积分凑公式：通过求导和积分来凑公式，从而求解级数的和函数。平移下标求导：通过平移下标来求导，从而得到微分方程。二阶差分方程求和：通过二阶差分方程来求解级数的和函数。通过以上方法，可以有效地判别无穷级数的收敛性，并求得其收敛域和和函数。

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