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向量点乘最新视觉报道_向量点乘的几何意义(2024年12月全程跟踪)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：热点更新日期：2024-11-30

向量点乘

耶鲁专升本高数笔记：叉乘与面积计算向量的叉乘及其应用是专升本高数中的重要内容。𐟓š 叉乘的结果是一个向量，与点乘（结果是一个数）不同。𐟔 叉乘的公式如下： 𐟓 叉乘的定义：设两个向量 A 和 B，它们的叉乘记作 A 㗠B。 𐟓 叉乘的运算：叉乘的结果是一个向量，与两个向量的方向垂直。在计算过程中，要注意叉乘交换位置会变号。𐟔„ 例如，对于向量 A 和 B，A 㗠B 与 B 㗠A 的结果方向相反。叉乘在求解垂直于两个向量的向量时非常有用。𐟓 例如，在计算平行四边形的面积时，可以通过求两个相邻向量的叉乘来得到。𐟓 平行四边形的面积是叉乘模的一半，而三角形的面积则是叉乘模的三分之一。在实际应用中，找两个向量围成的图像是难点。𐟌 例如，题目可能没有明确指出是哪两个向量，因此需要全面考虑所有可能的组合。通过练习和熟悉，可以更好地掌握叉乘的应用。𐟒ꠥ䚥š练习题，可以帮助你更好地理解和应用这一概念。

数学之美：矩阵的奇妙世界数学家牛顿曾经说过：“如果你对女人还有兴趣，说明你对数学之美一无所知。”虽然我最近在博士学习中没有放弃对女人的兴趣，但我越来越觉得数学的美是一种更高级的美。最近我一直和矩阵打交道，这里就简单分享一下矩阵的美丽之处。以下内容只会出现一条公式，请放心阅读。首先，根据矩阵的特征值公式Ax = （没错，这就是唯一的公式），A是矩阵，x是向量，也叫做矩阵A的特征向量，𜈥𘌨…Š字母lambda）叫做A矩阵的特征值。这个表达式的含义是，一个向量乘以某一个特定的系数，等于一个向量乘以一个矩阵。这句话真的太不可思议了，要知道矩阵可是一个方阵，在点乘运算中居然等价于和一个平平无奇的数字相乘，而这背后的原理正是矩阵的魅力所在。说回上面的公式，等式右边是一个向量乘以一个系数，这可以简单理解成把一个向量扩大相应的倍数。比如一个向量是（2，1），在坐标系上画出来就是一个箭头从原点指向（2，1）这个点。当这个向量乘以3，也就是扩大三倍后，在坐标系上就变成了一个箭头指向了（6，3）。这时候再看等式左边，矩阵和向量相乘后居然也是扩大三倍的效果！多么不可思议！以上说明了矩阵乘法的本质其实就是线性变换，通过和矩阵相乘来达到让向量伸缩或者旋转的目的（旋转的例子篇幅有限这里先不介绍，总之肯定是有就对了）。曾经的数学家们偶然间发现了Ax = 这个现象，再经过不断探索，发现了矩阵不止有一个特征值，即通常对于一个n x n的矩阵，本身会有n个不同的特征值，也就有n个对应的特征向量x，用以满足上述公式。于是，最终将矩阵写成特征向量集合乘以对角矩阵，即特征值分布在对角线上的矩阵的形式（如图2），就是矩阵的分解。通过上述分解，如同把矩阵解剖了一样，直达矩阵性质的本质。比如把原始矩阵（如图3左）分解后，不保留全部只保留部分值较大的特征值，再重新把分解的部分相乘，就像拆开机器换个零件再组合成原样，我们发现得到后的矩阵（如图3右）虽然不如原始矩阵清晰，但大部分特征都有所保留。由于篇幅有限，且为了增加易读性，本文牺牲了很多数学上的严谨性，只为大家能感受到数学的美。这种美悠远而绵长，历久而弥新，令人欲罢不能，回味无穷。

曲面积分的计算步骤详解曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。以下是具体的计算步骤：第一类曲面积分 𐟎𛙥›𒩝ⓥ’Œ函数f(x,y,z)，计算第一类曲面积分∫∫f(x,y,z)dS。确定曲面的参数方程或隐式方程。计算曲面在某一点的法向量。将法向量与函数f(x,y,z)相乘，得到积分函数。在曲面上进行积分，得到结果。第二类曲面积分 𐟌 给定曲面S和向量场F(x,y,z)，计算第二类曲面积分∫∫F(x,y,z)ⷤS。确定曲面的参数方程或隐式方程。计算曲面在某一点的法向量。将法向量与向量场F(x,y,z)进行点乘，得到积分函数。在曲面上进行积分，得到结果。两类曲面积分的联系 𐟔— 第一类曲面积分和第二类曲面积分在形式上有些相似，但它们的意义和计算方法有所不同。第一类曲面积分关注的是曲面上的函数值与面积的乘积，而第二类曲面积分关注的是向量场与曲面的法向量的点乘与面积的乘积。通过以上步骤，可以逐步解决不同类型的曲面积分问题。希望这些步骤能帮助你更好地理解和计算曲面积分！

两个很少讲到的重要透视规则我发现有一些很少被提到但是相当重要的透规则，违反它们可能会导致严重的画面畸形，甚至透视错误。首先，都知道什么是三点透视：空间中两两垂直的三组平行线族，分别各自对应一个消失点，现在我们规定只要确定了这三个消失点，就称“确定了一组透视参考系”，那么会存在如下规则：规则一，一组透视参考系的三个消失点所围城的三角形，它的垂心(三条高的交点)必须处在画面中心附近。规则一的推论，一组透视参考系的三个消失点分别为A，B，C，三角形ABC的垂心O必须处在画面中心附近，而且向量点乘AOⷂO=BOⷃO=COⷁO=-k^2，k是一个常数。规则二，如果画面中有两组或以上的透视参考系，那么所有参考系的垂心必须处在同一位置，所有参考系的k必须相等。

DSE数学M2核心公式汇总，收藏必看！ 𐟓š【DSE数学M2】核心公式汇总，整理了两天，赶紧收藏！𐟓š 二项式定理 (Binomial Theorem) 三角学 (Trigonometry) 弧度 (Radian) 圆弧与面积 (Arc length & Area) 三角函数 (Trigonometric Functions) 三角恒等式 (Trigonometric Identities) 倍角公式 (Double Angle Formulas) 数学常数e (The Number e) 对数 (Logarithm) 自然对数函数性质 (Properties of natural logarithms) 换底公式 (Change of base) 极限 (Limits) 特殊极限 (Special Limits) 微分 (Differentiation) 三角函数微分 (Differentiation of Trigonometric Functions) 指数函数和对数函数微分 (Differentiation of Exponential Functions and Logarithmic Functions) 不定积分 (Indefinite integration) 基础不定积分 (Basic Indefinite Integrals) 换元积分法 (Integration by Substitution) 分部积分法 (Integration by Parts) 定积分 (Definite Integration) 基础定积分 (Basic Definite Integrals) 奇偶函数积分 (Definite Integration with Odd and Even functions) 积分计算面积与体积 (Area and Volume by Definite Integration) 行列式 (Determinants) 行列式展开 (Expanding Determinants) 行列式规则 (Rules of Determinants) 矩阵 (Matrix) 线性方程式组 (System of Linear Equations) 向量 (Vector) 基本向量法则 (Basic Vector Rules) 内分点 (Point of Division) 向量的性质 (Some Vector Properties) 二维向量 (Vectors in a 2D Coordinates System) 三维向量 (Vectors in a 3D Coordinates System) 向量的点乘 (Dot Product) 向量的叉乘 (Rules of Cross Product) 叉乘的性质 (Some Properties of Cross Product) 叉乘计算面积 (Area by Cross Product) 向量投影 (Projection of vector)

向量的数量积：从物理到数学 ### 学习目标了解向量数量积的物理背景，以及物体在力的作用下产生位移所做的功。掌握向量数量积的定义及投影向量，能够计算平面向量的数量积。课堂引入物体在力的作用下产生位移所做的功两向量的夹角求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，然后作两个向量的夹角。按照“一做二正三算”的步骤求出夹角。两向量的数量积数量积运算中间是点乘，不能写成叉乘，也不能省略不写。向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可以正、可以负，也可以为零。如果已知两向量的模及夹角，则直接利用公式。运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则需要通过平移使两向量符合以上条件。投影向量向量数量积的性质通过这些内容，学生可以更好地理解向量数量积的概念，掌握计算方法，并能够在实际问题中应用。

多模态推荐系统：真的能提升效果吗？多模态技术在推荐系统中的应用已经不是什么新鲜事了。今天我们来聊聊一篇经典的综述文章《Multimodal Recommender Systems: A Survey》，其中一位作者是来自港城大学的zhaoxiangyu老师。多模态推荐系统的基本模块 𐟛 ️ 多模态推荐系统在模型上可以分为几个主要模块：特征编码 𐟓– 多模态信息主要包括文本信息、图片信息和用户行为信息，分别对应文本模态、视觉模态和协调信息。对于文本模态和图片模态，我们通常会采用BERT和VIT进行编码，获得对应的语义embedding。而对于用户行为信息，经典的ID embedding就足够了。特征融合 𐟤 多模态信息意味着模型有多个输入，那么如何有效地融合这些特征至关重要。目前业界并没有太多突破性的工作，主要停留在三种基本方法上：相加、点乘和拼接。从某种角度看，多模态信息只是增强了物品的表示。很多方法都是基于图和注意力的模型。特征增强 𐟌Ÿ 特征增强是指引入对比学习或解耦表示，进一步优化通过编码器得到的语义embedding。因为这些向量来自预训练编码器的语义空间，和推荐的协调信息空间存在一定的“gap”，因此需要引入一些方法，使得这些向量能够对齐推荐领域。调参的秘密 𐟔 很多尝试过多模态的同学都知道，实际上模态向量加进去可能效果不升反降，而且还可能一直难调优。那么我们在调参的时候，真正影响模型性能的是什么呢？编码器的性能 𐟒𛊧𜖧 器得到的embedding至关重要，参数越多的编码器，得到的表示就更加强大。底层的embedding决定了推荐模型的上限。训练方式 𐟏‹️‍♂️ 训练方式分为两种：端到端（e2e）训练和两阶段（two stage）训练。端到端训练方式效果一般很好，但需要消耗大量算力。两阶段训练方式则是先用预训练的编码器提取embedding，然后在后面的建模中使用固定住的表示。在高校中，我们通常是使用两阶段训练方式（因为没钱而且没多少算力）。即便是对于公司来说，采用端到端方式训练模型，不一定能够取得很好效果，而且多模态的效果可能还不如一些重要的离散特征，那么又何必花那么多算力去训练一个吃力不讨好的模型呢？总结 𐟓 多模态推荐系统在理论上看起来很美，但在实际应用中可能并不如预期的那么有效。编码器的性能和训练方式是影响模型性能的关键因素。对于多模态技术的应用，我们还需要进一步探索和实验，看看是否真的能够提升推荐效果。做多模态的同学是怎么看的呢？欢迎留言讨论！

transform多头注意力详解在自然语言处理（NLP）中，Transformer模型的核心机制之一就是多头注意力（Multi-Head Attention）。简单来说，注意力机制就是给每个词向量赋予不同的权重，从而更好地理解词与词之间的关系。 𐟓– 注意力机制的基本原理在上一篇笔记中，我们介绍了通过点乘计算注意力的简单方法。而多头注意力机制则更加复杂，它使用Q（Query）、K（Key）和V（Value）三个矩阵来计算注意力。 𐟔 多头注意力的工作方式假设Embedding后的维度为768，文本长度为512，那么Q、K、V三个矩阵的形状都是(512, 768)。如果我们使用12头的注意力模块，每个词的Embedding（768维）会通过一个全连接层降到64维（768/12）。这样，Q、K、V三个矩阵就会有12种不同的降维方式，得到12个(512, 64)维的QKV矩阵。 𐟧 计算过程对这12个矩阵分别应用Attention公式：Q点乘K，乘以一个权重后再点乘V，最后通过Softmax。这样，我们得到了12个head矩阵（单头注意力矩阵），但每个head的维度是64，而不是原Embedding的768。 𐟧젧𛓦žœ拼接最后，我们将这12个head矩阵通过concat的方式横向拼接在一起，变回768维，完成了注意力的计算。 𐟒ᠦ€𛧻“ 多头注意力机制类似于民主选举的思想，让每个头都贡献出自己的建议，从而给予Embedding每个维度更好的权重。这是一种更加复杂的注意力计算方式，使得模型能够更好地理解文本中的关系。

河南专升本高数备考指南：必掌握知识点清单 𐟓š 河南专升本高数备考指南：必掌握知识点清单 𐟎쬤𘀧렯𜚥‡𝦕𐣀极限、无穷小与连续函数考点一：求函数的定义域知识点1：求具体表达式函数的定义域知识点2：求抽象函数的定义域考点二：相等函数的判定考点三：求函数的表达式知识点1：已知f(x)和g(x)的表达式，求(x]的表达式知识点2：已知fLg(x]和g(x)的表达式，求f(x)的表达式考点四：函数的奇偶性判定考点五：求反函数极限考点六：7种极限类型的计算知识点1：二型极限的计算知识点2：二型极限的计算知识点3：0-0型极限的计算知识点4：开指函数f(x)型极限的计算考点七：极限反问题的解法知识点1：[型极限的反问题知识点2：[型极限的反问题知识点3：1型极限的反问题考点八：夹逼准则求极限考点九：极限的应用一求渐近线考点十：极限综合题（极限概念、充要条件、四则运算等）考点十一：求极限：无穷小与有界函数乘积的计算考点十二：无穷小量阶的比较连续考点十三：函数的连续性考点十四：函数的间断点及其类型的判断考点十五：利用零点定理证明方程根的存在性知识点1：利用零点定理方程根的存在性知识点2：利用零点定理和单调性结合证明方程根的唯一性拉格朗日中值定理重识点1：验证拉格朗日中值定理条件知识点2：求满足条件的5 知识点3：恒等式的证明知识点4：利用拉格朗日中值定理证明综合考点考点八：求近似值考点九：求导后函数的奇偶性判定向量代数与空间解析几何向量代数考点一：基本概念考点二：向量运算（线性运算、点乘、叉乘）空间解析几何考点三：平面方程与平面间的位置关系考点四：直线方程考点五：判断直线与平面的位置关系考点六：[二次曲面] 多元函数微分学重极限与偏导数计算点二：偏导数计算点三：全微分多元极值与条件极值拉格朗日乘数法考点四：多元极值考点五：条件极值拉格朗日乘数法方向导数和梯度考点六：方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面考点七：空间曲线的切线和法平面空间曲面的切平面和法线

电磁场与电磁波：矢量与坐标系详解 ### 1.1 矢量及其代数运算 𐟓 标量和矢量标量：标量是只有大小没有方向的量，用 A 表示。矢量：矢量不仅有大小，还有方向，用 A 表示。位置矢量位置矢量表示从原点到某点的向量，用 r 表示。场源位置与场点位置的表示场源位置：表示产生场的点，用 r' 表示。场点位置：表示被场影响的点，用 r 表示。矢量的代数运算 𐟓 加法和减法任意两个矢量的加法和减法等于对应分量的加法和减法。标量积（点乘） A ⷠB = |A| |B| cos𜌨ᨧ交𘀤𘪧Ÿ⩇在另一个矢量的投影。矢量积（叉乘） A 㗠B = |A| |B| sin𜌨ᨧ交𘤤𘪧Ÿ⩇的叉乘，结果是一个矢量。 1.2 圆柱坐标系和球坐标系 𐟌 圆柱坐标系圆柱坐标与直角坐标之间的关系： x = r cos y = r sin z = z 球坐标系球坐标系与直角坐标之间的关系： x = r sin cos y = r sin sin z = r cos 总结 𐟓 矢量是物理学中的重要概念，掌握矢量的基本运算和坐标系转换是理解电磁场与电磁波的基础。希望这些内容能帮助你更好地理解电磁场的本质和电磁波的传播规律。

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