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费马引理证明权威发布_费马引理证明罗尔定理(2024年12月精准访谈)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：观点更新日期：2024-12-03

费马引理证明

考研数学必备冷门知识点清单 ### 高等数学 𐟓š 微分的概念和计算：微分是高等数学的基础，掌握微分的计算方法对于后续的学习至关重要。曲率、曲率半径和曲率圆：这些概念在数一和数二中都有涉及，理解它们对于解决曲线相关的问题非常有帮助。洛必达法则的证明：洛必达法则在极限计算中有着广泛的应用，掌握其证明过程可以更好地理解其本质。费马引理的证明：费马引理是数学分析中的重要定理，掌握其证明过程有助于加深对其理解。罗尔定理的证明：罗尔定理在函数论中有重要地位，掌握其证明过程可以更好地应用它解决实际问题。牛顿莱布尼茨公式的证明：这个公式是微分学和积分学之间的桥梁，掌握其证明过程有助于更好地理解微分和积分的本质。极值和拐点的第二充分条件的证明：这些条件在函数极值和拐点的研究中非常重要，掌握其证明过程可以更好地应用它们解决实际问题。定积分的几何应用：定积分在几何中有广泛的应用，掌握曲线的弧长、侧面积、质心（或形心）公式以及变力做功的计算方法对于解决几何问题非常有帮助。函数的平均值：函数的平均值是数学分析中的重要概念，掌握其计算方法有助于更好地理解函数的性质。多元函数极值的必要条件的证明：多元函数极值的必要条件在多元函数的研究中非常重要，掌握其证明过程可以更好地应用它们解决实际问题。二阶混合偏导数连续则一定相等的应用：这个性质在多元函数的研究中非常重要，掌握其应用可以更好地理解多元函数的性质。隐函数存在条件：隐函数存在条件是微分学中的重要定理，掌握其应用可以更好地解决实际问题。曲面的切平面和法线方程，曲线的切线和法平面方程，方向导数和梯度：这些概念在数一中有详细介绍，掌握它们对于解决曲面和曲线相关的问题非常有帮助。无界区域上反常二重积分：这个概念在数三中有详细介绍，掌握它对于解决无界区域上的积分问题非常有帮助。贝努利方程、全微分方程、欧拉方程的求解：这些方程在数一中有详细介绍，掌握它们的求解方法可以更好地应用它们解决实际问题。可降阶的微分方程：可降阶的微分方程在数一和数二中有详细介绍，掌握它们的求解方法可以更好地应用它们解决实际问题。差分方程：差分方程在数三中有详细介绍，掌握它对于解决差分相关的问题非常有帮助。狄利克雷收敛定理，将函数展开为正、余弦级数：这个定理在数一中有详细介绍，掌握它对于将函数展开为级数非常有帮助。向量积、数量积和混合积，点到直线和点到平面距离公式：这些概念在数一中有详细介绍，掌握它们对于解决向量和距离相关的问题非常有帮助。单叶双曲线、双叶双曲面的图形及方程：这些概念在数一中有详细介绍，掌握它们对于理解双曲线和双曲面非常有帮助。双纽线、心脏线的图形和方程；星形线，摆线的方程：这些概念在数一和数二中有详细介绍，掌握它们对于理解特殊曲线非常有帮助。线性代数 𐟧Ÿ𚯼ˆ或规范正交基）、维数、坐标，过渡矩阵、坐标变换公式：这些概念在数一中有详细介绍，掌握它们对于理解线性代数的基本概念非常重要。概率统计 𐟓Š 切比雪夫不等式，大数定律，中心极限定理：这些定理在概率论中有重要地位，掌握它们对于理解概率论的基本概念非常重要。上分位点的定义：上分位点是统计学中的重要概念，掌握其定义有助于更好地理解统计学的相关内容。区间估计，估计量的评选标准：无偏性、有效性和一致性：这些标准在统计学中有重要地位，掌握它们对于进行区间估计和选择估计量非常重要。假设检验：假设检验是统计学中的重要方法，掌握其应用可以更好地解决实际问题。

考研数一模拟卷复盘：张宇八套卷第七套这套模拟卷的计算量确实有点大，花了134分钟才搞定。因为是分开做的，选填用了53分钟，大题用了81分钟。其中，第18题从第一步就开始错了，还有两道题我觉得不严谨，答案也可能有问题。首先是填空题第12题。这道题其实有点争议，关于极值的定义有两种主流观点。我只认同一种，即大于等于或小于等于邻域的值都算是极值。这样的定义对于费马引理这些定理来说，比较严谨。费马引理可以描述为可导极值点必是驻点。然而，同济高数的定义是极值必须严格小于或大于某个邻域的值。这就导致在讲费马引理时，不是直接说可导极值点必驻点，而是说某个点的函数值大于等于或小于等于某一个邻域的值时，若该点处可微则其为驻点。其实前面的条件就是正常的极值点定义。我看过的数学分析教材基本都是第一种定义，只有同济高数是第二种定义。这就出现问题了，因为考研考纲用的是同济高数的定义。目前市面上主流的教辅和我做过的习题，据我所知，张宇和李正元是按第一个定义，李林和李艳芳都是后一种定义，武忠祥的我还没遇到过这种问题，真题更是不会考这种争议题。所以这题我觉得a≥0或者a＞0应该都是对的，甚至如果真的按照考研考纲的话，a＞0是更合适的那个答案（虽然我觉得它很sb）。然后是第21题。这题答案不严谨。其实考研考纲内是没法严谨做出来的。Bⲧš„特征向量一定是B的特征向量吗？Bⲧ›𘤼𜤺ŽCⲯ𜌂一定相似于C吗？这在考研考纲内压根就没这种说法吧。B的特征向量都是Bⲧš„特征向量是对的，但是倒过来要成立就得先证明，答案明显没有给证明。还有第14题。这题我看已经有勘误了，不过不勘误也能做只是和答案不一样。搜了下别人的答案应该是34没错。其他题目的话，第17题和第18题值得做，第19题太简单，第20题和第22题纯计算。

数学114分和140分的差异在哪里？ 𐟌Ÿ 如何系统地学习数学，并将所有知识串联起来？ 114分的学习路径：通过记忆，先掌握所有的条件假设和原理结论。针对每个部分单独刷题，这样对每个章节的解题能力要求会更高，可能会遇到很多难题。反复刷张宇1000题，这本题目册能很好地锻炼解题思维，尤其是难题，多刷几遍对系统思维能力的训练效果很好。模拟卷阶段是综合题目和系统思维能力的集大成者，尽量早点刷模拟卷，多刷模拟卷，提升效果比普通的单独章节的习题册要高效很多。 140分的学习路径：一战时，先过一遍基础课程，然后开始做题。高数课程整体结束后做高数，线代整体课程结束后做线代，概率整体结束后做概率。二战时，使用了李正元复习全书，先看书把书上每章例题自己做一遍之后才开始新的习题册。数学不是一个每章割裂的学科，各章之间有很强的内在联系。 𐟓š 高数方面的学习：极限是高等数学的基础，求极限贯穿于高数始终。中值定理是高数中的重点，由费马引理推出罗尔定理，进而推出拉格朗日定理和柯西定理。积分是数学的重中之重，证明题是很大的难点，综合程度较高，主要考察思路。几何应用注重计算，复习过程中不要一下子做太多题。多元微分有一些概念定理需要专门记忆，剩下主要就是计算。二重积分概念很少，重点还是计算。微分方程一般会和其他部分结合起来考察，比如级数。重点在于掌握求解方法。级数是数三的重点，常数项级数的重点在于收敛发散的判别，幂级数则主要考察收敛域、收敛半径的求法，以及求幂级数的和函数和函数的幂级数展开。 𐟒ᠦ€𛧻“：无论你是追求114分还是140分，关键在于系统地学习和掌握数学知识。通过记忆、刷题和模拟卷的练习，逐步提升自己的解题能力和系统思维能力。

数学分析笔记：从基础到进阶 ### 数列极限 𐟚€ 实数系的连续性：确界原理、Dedekind分割原理、Stolz定理、收敛准则（单调有限定理、柯西收敛准则、Bolzano-Weierstrass定理）、闭区间套定理、归结原则。两个重要的极限：连续函数的定义，第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点或振荡间断点）。函数极限的性质 𐟓ˆ 唯一性：函数极限在自变量趋近于某个值时，极限值是唯一的。局部保号性：函数在某点的极限与函数在该点的值符号相同。局部保序性：函数在某点的极限与函数在该点的值大小关系一致。局部有界性：函数在某点的极限与函数在该点的值都存在且有限。两边夹准则：函数被两个极限相同的函数夹在中间，其极限也存在且与这两个函数相同。无穷小量和无穷大量阶的判断：闭区间上的连续函数具有有界性、最值性、零点、介值性、一致连续性。反证法是一种有效的证明方法。区分一致连续和点点连续。一元微分 𐟓 代数学基本定理：一元n次多项式在复数域上有n个解。微积分基本定理：NL公式，可导一定连续，可导等价于可微。复合函数求导（链式法则）：复合函数的导数等于内层函数和外层函数的乘积。隐函数求导：隐函数的导数可以通过隐函数定理求解。一阶微分方程不变性：微分方程的解与自变量的变化无关。微分中值定理及其应用 𐟔 费马引理（Fermat）：极值点的导数为0。罗尔定理（Rolle）：函数在区间两端相等，中间有一点导数为0。拉格朗日定理（Lagrange）：中间导数等于斜率。柯西中值定理（Cauchy）：引入了两个函数，凹凸函数，不等式（三角不等式、均值不等式、Jensen不等式、Young不等式、Holder不等式）。洛必达法则：实际上是柯西中值的推广应用。泰勒展开：Peano余项和Lagrange余项。不定积分 𐟌 换元积分法（第一类和第二类）：通过换元法求解不定积分。分步积分法：分步积分法适用于被积函数包含不同类型项的情况。有理函数积分法：有理函数的积分可以通过部分分式法进行。定积分 𐟓Š 分割、近似、求和、取极限：黎曼可积，Darboux上和等于下和（上和不增，下和不减），必要条件是函数有界。基本性质：线性性、保序性、区间可加性、积分第一中值定理。反常积分、瑕积分、二元无穷限积分：通过求Cauchy主值的方法判断积分收敛的方式（Cauchy判别法、比较判别法、A-D判别法）。 PS: 闭区间上的连续函数一定可积且有界且一致连续，闭区间上的单调函数一定可积。点火公式要记住（sin和cos的n次方在0到2上的积分，考虑n为偶和n为奇，偶的时候从1/2开始要乘2，奇的时候从1开始）。

本文谈谈几位不轻易或不喜欢公开发表自己研究结果的数学家。费马(Fermat)被称为业余数学家中王子(prince of amateurs), 是十七时纪最伟大的数学家之一，曾在概率论、解析几何、微积分以及数论方面有过突出的贡献，但他却很少公开发表文章，绝大多数工作除通信外，还存在于他的遗稿手札中。例如，他的概率论基础方面的贡献大都包含在1645年一系列通信中，其结果直接或间接地进入伯努利(Jakob Bernoulli)的著作《猜度术》(Ars Conjectandi)中。解析几何方面，他虽然写过《平面与立体轨迹引论(Ad locus planos et solidos isagoge》一文，建立了解析几何系统，将几何与代数联系起来，却没有公开发表，而笛卡尔却于次年发表了高度影响力的《几何》(Geometrie), 虽然数学界还是承认了笛卡尔及费马都是解析几何的创始人，但坐标平面则永远地成了笛卡尔平面。他在微积分的求极大、极小值方面的结果通过与梅森的通信为世人所知，有了我们今天的费马引理(有时称为极值的费马定理)。他的最具影响力的工作集中于数论的研究，如费马大定理，费马小定理等一众结论，但绝大多数没有公开发表。如费马大定理还是他儿子在整理他的遗物时才发现的。高斯从1813年开始尝试建立非欧几何，曾在与多人的通信中提及他的思想与研究，但他从未公开发表该方面的研究结果。牛顿在发表文章方面也不积极，十七世纪六十年代，牛顿就有了微积分的思想(他称之为流数术fluxions)，其结果只是在英国受控的小范围内传播，而莱布尼兹分别于1684及1685年公开了关于微积分的两篇文章，引起了牛顿不满，认为文章沿用了他的思想。于是有了谁首先创立微积分的优先权之争，并引起了英国及欧洲大陆数学界的长时间不和。不轻易或不善于发表自已的研究结果，更多应该是个人性格方面的原因，在与别人的通信中，高斯说他可能永远不会发表非欧几何方面的发现，因为他害怕受到嘲笑，怕波尔第人(Boeotian)的瞎吵吵。也有可能与他的理念“宁可少发，也要发表成熟的成果”有关。有人认为牛顿没有尽快发表相关文章，是因为他不信任别人且讨厌受到批评。而不公开发表文章似乎是费马的习惯，他只是在饶有兴致地、很少证明地产生他的定理，并自豪地说:“我发现了大量极度(exceedingly)美丽的定理”。显然，在他的心中，发现结果比发表文章要重要得多。这也是费马更多为数学界所知而公众所知甚少的原因。有人认为，如果高斯能早点公开自己在非欧几何上的研究结果，一些天才数学家如罗巴切夫斯基及波耶(Bolyai)就可以在其它数学硏究上贡献自己的聪明才智。当然，如果牛顿适时公开自己在微积分方面的研究，也就没有了优先权之争，英国与欧洲大陆数学家之间也就不会中断那么长时间的交流。

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