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联合概率分布权威发布_联合概率分布公式(2024年12月精准访谈)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：观点更新日期：2024-12-03

联合概率分布

概率论笔记𐟓š续 𐟓– 教材：《概率论与数理统计》刘贵基 𐟔 第1️⃣章随机事件及其概率（续） 1️⃣ 条件概率与乘法公式 2️⃣ 全概率公式与贝叶斯公式 3️⃣ 事件的独立性与伯努利概型 𐟓ˆ 第2️⃣章随机变量及其分布 1️⃣ 随机变量的概念 2️⃣ 随机变量的分布离散型随机变量及其概率分布连续型随机变量及其概率密度函数 𐟓 笔记整理： 𐟔𙠦᤻𖦦‚率：P(A|B) = P(AB) / P(B) 𐟔𙠤𙘦𓕥…쥼：P(AB) = P(A|B)P(B) 𐟔𙠥…覦‚率公式：P(A) = ∑P(Bi)P(A|Bi) 𐟔𙠨𔝥𖦖聾쥼：P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi) / P(A) 𐟔𙠤𚋤𛶧‹짫‹性：P(AB) = P(A)P(B) 𐟔𙠤𜯥Šꥈ馦‚型：二项分布、几何分布、超几何分布 𐟓Š 随机变量及其分布： 𐟔𙠩š机变量：描述随机现象的数学工具 𐟔𙠧滦•㥞‹随机变量：取值有限或可数 𐟔𙠨🞧𛭥ž‹随机变量：取值连续 𐟔𙠦悧Ž‡密度函数：描述连续型随机变量的概率分布 𐟓š 通过这些笔记，你可以更好地理解和掌握概率论与数理统计的基础知识，为后续的学习打下坚实的基础。

感觉美国大选真的是一个“检验/学习统计学知识”的特别好的case。抽样偏误、联合概率分布、先验分布、贝叶斯升级、内生性问题等等都在处理预测大选结果中有特别明确、直接且易于理解的应用。

贝叶斯公式揭秘：生成奥秘 𐟚€随着2024年贝叶斯公式在Diffusion模型解释中的广泛应用，我们深入探讨如何利用贝叶斯公式来理解Diffusion模型。 𐟤”基本概念 1️⃣贝叶斯公式：贝叶斯公式是概率论的核心，用于描述两个条件概率之间的关系： P(A∣B)= P(B∣A)㗐(A)/P(B) 其中，P(A∣B) 表示在B发生的条件下A发生的概率，P(B∣A) 表示在A发生的条件下B发生的概率。 2️⃣Diffusion模型： Diffusion模型是一种生成模型，通过模拟数据的逐步扩散（或退化）过程，并逐步学习如何逆转这一过程来生成数据。 𐟚€贝叶斯公式与Diffusion模型 1️⃣描述数据生成过程： Diffusion模型通过一系列随机步骤逐渐退化数据，这可以视为一个条件概率过程，其中每一步的退化都是基于当前状态的概率分布。贝叶斯公式可以用来描述在每一步退化过程中数据状态的条件概率。 2️⃣反向扩散过程：在Diffusion模型中，生成数据的关键是逆转退化过程。这个反向过程可以用贝叶斯公式来理解，即在给定退化数据的情况下，推断原始数据的概率。 3️⃣推断和学习：利用贝叶斯公式，模型可以学习在每一步退化中应用的条件概率分布。这样，模型就能逐渐学会如何从退化的数据中恢复出原始数据。 4️⃣概率模型优化： Diffusion模型的训练过程涉及优化概率模型，以更准确地反映数据的退化和恢复过程。贝叶斯公式在这里提供了一个自然的框架，用于整合观测数据和先验知识，以指导模型学习。 𐟎𙥺”用场景在图像生成、自然语言处理等领域，Diffusion模型可以生成高质量的、逼真的样本。利用贝叶斯方法可以提高这些模型的效率和准确性。

新版《随机变量》亮点解析 𐟓š 最新发布的2024年版《随机变量的分布列与期望》一书，共295页，是2.0版的升级版。这本书在原有基础上增加了许多重要的考点典例，帮助读者更深入地理解随机变量的分布和期望。 𐟔 条件概率的应用：书中增加了丰富的典例，如条件概率的应用，让读者在实际问题中能够灵活运用。 𐟓Š 正态分布的性质：之前2.0版只是简单介绍，现在新增了大量最新的习题，虽然难度不大，但有助于更深入理解正态分布的性质。 𐟎𚋤𛶧š„互斥与独立：除了定义与判定方法，本书还提供了大量的典例，供读者参考和分析。 𐟔— 三事件的两两独立与相互独立：书中详细解释了三事件之间的关系，以及如何在实际问题中应用。 𐟏† 二项分布概率最大值：之前2.0版给的例题很少，现在提供了丰富的典例，帮助读者更好地掌握这一考点。 𐟓ˆ 全概率公式与贝叶斯公式：本书对这两个公式进行了系统的梳理与归纳，让读者能够更好地理解和应用。 𐟎𒠦悧Ž‡决策依据：书中总结了常见的四种递推数列模型下的概率问题，帮助读者在实际问题中做出正确的决策。 𐟌 最大似然估计、连续性概率、对称化思想解决二项分布等问题：这些之前很少见的题型，本书都有涉及与归纳，帮助读者全面掌握。这本书不仅涵盖了随机变量的分布列与期望的基础知识，还通过丰富的典例和详细的解释，帮助读者在实际问题中灵活运用。

𐟎𒠦悧Ž‡论思维导图大揭秘 𐟧 𐟔 探索随机变量与分布的奥秘！ 𐟓Œ 条件概率，全概率，让你对概率有更深入的理解。 𐟓ˆ 二项分布、超几何分布、正态分布，这些你都会了吗？ 𐟒ᠩš机变量，分布的精髓，带你领略数学的魅力。 𐟓 每一笔，每一划，都是对知识的渴望与追求。 𐟎‰ 让我们一起，用概率的思维，去看待这个世界！

该用哪种AI技术？ AI模型可大致分为决策式/分析式AI（Discriminant/Analytical AI）和生成式AI （Generative AI）两类。 决策式AI：学习数据中的条件概率分布，根据已有数据进行分析、判断、预测，主要应用模型有用于推荐系统和风控系统的辅助决策、用于自动驾驶和机器人的决策智能体。这类AI模型关注于根据输入数据做出判断或预测。它们通过学习输入特征和输出标签之间的关系来实现这一目标。应用举例：推荐系统：分析用户的行为和偏好，然后推荐可能感兴趣的商品或内容。风险控制系统：评估贷款申请人的还款能力，判断交易是否存在欺诈风险。自动驾驶：分析传感器数据，做出转向、加速或刹车的决策。机器人：根据传感器输入做出如何移动或执行任务的决策。  生成式AI：学习数据中的联合概率分布，并非简单分析已有数据而是学习归纳已有数据后进行演技创造，基于历史进行模仿式、缝合式创作，生成了全新的内容，也能解决判别问题。生成式AI模型则更注重创造新的内容或数据。它们学习数据的内在分布，然后生成全新的、与训练数据相似但不完全相同的实例。特点：能够生成文本、图像、音频和视频等内容。可以用于模仿某种风格或模式，进行创作。在某些情况下，生成式AI也能解决判别问题，但它们的强项在于创新和生成能力。应用举例：文本生成：创作文章、诗歌、对话等。图像生成：制作艺术作品、设计图案、生成虚拟人脸等。音乐创作：生成新的旋律或整首曲目。「人工智能」「人工智能超话」「大数据」

概率论学习心得与经典问题解析 𐟔妦‚率论这门课，说实话，当初让我头疼不已。为了帮助大家更好地理解，我做了一些小问题来辅助。图形辅助解题如果一个概率题目的概率分布很复杂，我们是否可以借助图形来进行解题呢？图形化可以帮助我们更直观地理解问题，有时候甚至能直接找出答案。概率分布与条件概率 A. 一个可能发生的事件的概率为什么可以是0呢？ B. 概率为0和概率为空集有区别吗？为什么在求条件概率的时候，分母要不为0呢？全概率公式与贝叶斯公式全概率公式怎么写？它一般会在什么样的情况下用呢？为什么全概率公式要强调每个事件之间互不相容，而且事件的概率和为全集而不是和为1？贝叶斯公式是什么？它又该怎么写呢？经典题目与策略关于第一章的一些经典题目有哪些？对于取几种不同颜色的球的问题，放回和不放回有什么联系和区别呢？如果说是放回的话，我们该怎么考虑，如果说不放回，我们又该怎么去做呢？事件独立性的定义两个事件独立的定义是什么呢？如果说两个事件之间互不相容的话，那他们有可能会独立吗？如果说A和B两个事件是独立的，那么他们的对立事件是独立的吗？对于全集和空集来说，他们是不是和所有的事件都是独立的呢？如果有n个事件都相互独立的话，那么他们其中的任意几个事件是独立的吗？离散分布与连续分布对于离散分布和连续分布，他们的分布函数有什么性质呢？为什么说它是右连续而不是左连续的呢？为什么说他是单调不减而不是单调增？常见分布的表达式与性质离散分布里的0-1分布，二项分布，几何分布，超几何分布以及泊松分布他们的表达式分别是怎么样的呢？他们的数学期望和方差的值是多少呢？其他重要分布对于指数分布和均匀分布，正态分布，他们的分布函数是怎么写的呢？他们的期望和方差是多少？连续型随机变量的分布函数对于连续型的随机变量函数的分布函数求解，定义法和公式法分别是一个怎么样的步骤（公式法一般用的很少），公式法和反函数之间有什么联系呢？多维变量的分布函数对于多维变量的分布函数，有什么性质和定义呢？我们应该如何从直角坐标系当中，找到我们想要画出来的图像呢？对于它的边缘分布函数，有什么公式定义呢？如果说多维分布里面的两个随机变量是相互独立的，那么他们的分布函数和边缘分布函数之间有什么关系呢（这个真题里面出过不少判断独立性的题目）？总结概率论稍微抽象一些，但掌握解题方法为主！大家觉得概率这门课怎么样？欢迎投票！

𐟌Ÿ国内顶尖的概率论教材推荐𐟌Ÿ 𐟓š书名：《普林斯顿概率论读本》 𐟓–本书涵盖了概率论的基础知识，包括组合分析、概率论公理、条件概率、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等。内容丰富，通俗易懂，配有丰富的例子和大量习题，涉及物理学、生物学、化学、遗传学、博弈论、经济学等多方面的应用，极具启发性。 𐟑谟𛤽œ者简介：史蒂文ⷊ. 米勒（Steven J. Miller）美国耶鲁大学数学与物理学学士，普林斯顿大学数学硕士及博士。现任威廉姆斯学院数学教授、Erd味研究所教职研究员，还是美国数学协会和Phi Beta Kappa荣誉学会成员。主要研究方向有数论、线性代数、概率论和统计学。

全宇宙必读的国内概率论教材推荐 𐟌书名：《普林斯顿概率论读本》 𐟓š这本书详细讲解了概率论的基础知识，包括组合分析、概率论公理、条件概率、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等。内容丰富，通俗易懂，配有大量的例子和习题，涉及物理学、生物学、化学、遗传学、博弈论、经济学等多个领域的应用，极具启发性。 𐟑谟𛥅𓤺Ž作者：史蒂文ⷊ. 米勒（Steven J. Miller）美国耶鲁大学数学与物理学学士，普林斯顿大学数学硕士及博士。现任威廉姆斯学院数学教授、Erd味研究所教职研究员，还是美国数学协会和Phi Beta Kappa荣誉学会成员。主要研究方向有数论、线性代数、概率论和统计学。

剑桥大学概率论笔记：拯救你的考试！这份笔记涵盖了概率论的多个关键主题，包括经典概率、组合分析、随机变量、条件概率、独立性、不等式、大数定律、概率生成函数和条件期望等。 𐟓Œ 经典概率：样本空间由有限个等可能的结果组成，事件A发生的概率定义为有利结果的数量除以所有可能结果的数量。 𐟓Œ 组合分析：涉及计算不同类型的事件组合数，例如排列和组合。 𐟓Œ 随机变量：用于描述不确定事件的数值结果，可以离散或连续。 𐟓Œ 条件概率：给定某些条件下，事件发生的概率。 𐟓Œ 独立性：事件之间没有相互影响，即一个事件的发生不影响另一个事件的概率。 𐟓Œ 不等式：利用概率论中的不等式来比较不同事件发生的可能性。 𐟓Œ 大数定律：描述在大量重复实验中，随机事件的相对频率趋于其概率。 𐟓Œ 概率生成函数：用于描述随机变量的概率分布。 𐟓Œ 条件期望：在给定条件下，随机变量的期望值。笔记的每个讲座都限制在4页内，旨在在详细与简洁之间找到平衡，同时包含一些非考试但有趣的话题。非常推荐给对概率论感兴趣的朋友们！

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