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下确界最新娱乐体验_下确界符号(2024年11月深度解析)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：话题更新日期：2024-11-28

下确界

数学分析：第二章数列极限详解 𐟓– 华东师大陈纪修 𐟗𚯸 课本上的定义与定理的思维导图 𐟓Œ 数列极限的定义给定一个数列 $\{ a_n \}$，如果存在一个实数 $a$，使得对于任意小的正数 $\epsilon$，都存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|a_n - a| < \epsilon$，那么我们就说数列 $\{ a_n \}$ 收敛于 $a$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$。 𐟓Œ 数列极限的性质 1️⃣ 唯一性：如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。 2️⃣ 有界性：收敛数列必有界。 3️⃣ 保号性：如果数列收敛且极限不为零，那么原数列不改变符号。 4️⃣ 保不等式性：如果数列收敛且极限大于零，那么原数列的所有项都大于零。 5️⃣ 通有性：任何收敛数列的子数列也收敛。 𐟓Œ 判断数列是否存在极限的方法 1️⃣ 单调有界定理：单调且有界的数列一定收敛。 2️⃣ 致密性原理：任何有界数列都有收敛的子数列。 3️⃣ Cauchy收敛准则：对于任意小的正数 $\epsilon$，存在正整数 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，$|a_m - a_n| < \epsilon$。 𐟓Œ 确界原理如果数列 $\{ a_n \}$ 有上界，那么它有上确界；如果数列有下界，那么它有下确界。 𐟓Œ 致密性原理任何有界数列都有收敛的子数列。 𐟓Œ Cauchy收敛准则对于任意小的正数 $\epsilon$，存在正整数 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，$|a_m - a_n| < \epsilon$。

数学考研数分高代第一轮复习攻略昨天加班整理了一份详细的学习计划表，特别适合基础阶段的第一轮复习。这里分享给大家，希望对你们有帮助！三本书每本都安排了2个月的复习时间𐟓š 这个时间安排可以结合课本学习指导课进行，因为会讲解每一章节需要掌握的知识点，并且筛选了课后习题中需要做的题目，这样第一轮复习既能全面又能高效𐟒ꊊ第二轮复习时，不建议参考这个计划表。比如第一章实数，如果第二轮复习，最多1小时就能搞定。第一轮安排2天时间是为了考虑很多人可能没有学过确界原理，或者对定义在学习数分中的重要性还不了解，以及函数的相关知识可能有所遗忘。所以刚开始学的时候多花点时间打基础𐟓– 复习天数的安排也是经过精心设计的。比如，数列极限和函数极限学完后，安排一下复习，可以很好地关联两章的知识；连续性略微单一，微分学很多人都有基础，两者结合一起复习更加合理；积分学作为一个大的项目，整合在一起复习更有系统性𐟓ˆ 总之，这个复习表不是简单地罗列目录。细心的学生可以发现有些目录我没有放在上面，说明这些内容不需要花太多时间去学。部分知识点安排了2天学习，说明这是重要的难点。当然，每个人的情况不同，有人基础好有人基础不好，所以此复习表只做借鉴，大家可以微调，但对大部分人来说，应该都是适用的𐟓

北京大学数学分析期中试卷及答案详解 𐟓š 这份试卷是北京大学数学分析2019-2020学年第一学期期中测试试题。虽然难度不小，但比2020-2021学年的数分-1期中试卷要简单一些。为了增加内容的可读性和提高自己的排版熟练度，我用LaTeX排版了所有答案，并重排了试卷。希望这些内容对大家有所帮助！ 𐟔 题目概览： 1️⃣ 题目属于计算题； 2️⃣ 题目涉及√a的牛顿迭代公式； 3️⃣ 题目需要联想闭区间上连续函数的最值定理，模仿其证明过程即可完成； 4️⃣ 题目第一问是计算题，第二问直观性很强。如果周期的下确界为0，那么从任意一点出发，都可以选用充分小的周期，把该点的值移动到任意一点上，使得f为常值函数； 5️⃣ 题目模仿其离散形式的证明即可； 6️⃣ 题目是迁移技术的典型应用。对于反例的构造，需要我们思考条件减弱以后第一问的证明哪一步不能通过，即使x', x''充分小，f(x')与f(x'')仍有很大的间隔，基于这个想法就可以构造反例。 𐟒ᠦ좨🎥䧥œ訯„论区指出我的错误或者讨论呀！

积分第一/第二中值定理的证明与理解 ### 积分第一中值定理 𐟓– 积分第一中值定理是这样的：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都可积，并且f(x)在[a,b]上不变号，那么存在某个c∈[a,b]，使得∫f(x)g(x)dx=f(c)∫g(x)dx。这里的M和m分别表示f(x)在[a,b]上的上确界和下确界。特别地，如果f(x)在[a,b]上连续，那么根据闭区间上连续函数的中间值定理，存在某个c∈[a,b]，使得f(c)=∫f(x)dx。因此，积分第一中值定理的结论就变成了∫f(x)g(x)dx=f(c)∫g(x)dx。这个定理的几何意义也很直观：当f(x)≥0时，上式的左边表示由曲线y=f(x)和直线y=x围成的曲边梯形的面积，它等于以[a,b]为底，某条以f(x)为高的短形面积。积分第二中值定理 𐟓 积分第二中值定理则是这样的：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，而g(x)在[a,b]上单调，那么存在某个c∈[a,b]，使得∫f(x)g(x)dx=f(c)∫g(x)dx。这个定理的证明过程稍微复杂一些，但基本思路是利用分部积分法和单调函数的性质。具体来说，记F(x)=∫f(t)dt，那么F(x)在[a,b]上连续，并且是f(x)在[a,b]上的一个原函数。利用分部积分法，我们可以得到∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)|a^b-∫F(x)g'(x)dx。由于g(x)在[a,b]上单调，因此g'(x)保持定号，从而存在某个c∈[a,b]，使得F(c)g'(c)=0。这样，我们就得到了∫f(x)g(x)dx=F(c)g'(c)=f(c)∫g(x)dx。特殊情况 𐟌𑊊当f(x)=1时，积分第一中值定理的结论就变成了∫g(x)dx=g(c)∫1dx，即∫g(x)dx=g(c)(b-a)。这个结论的几何意义也很直观：它表示以[a,b]为底，某条以g(x)为高的短形面积等于g(c)(b-a)。类似地，当f(x)=1时，积分第二中值定理的结论也变得很简单：∫1㗧(x)dx=1㗢ˆ맨x)dx=g(c)(b-a)。总结 𐟓 无论是积分第一中值定理还是第二中值定理，它们都是积分理论中的重要结论。通过这些定理，我们可以更方便地计算一些复杂的积分表达式，并且能够更好地理解积分与函数之间的关系。希望这篇文章能帮助你更好地理解这些定理！

如何从一道经典题目中洞悉刷题真谛？在求职寒冬中，许多同学为了刷题数量而焦虑，其实这并非必要。当年竞赛圈也有“300题铜500题银1000题金”的说法，但题刷够了并不意味着奖牌会自动送到你手上，关键还是在于训练效果。刷题只是提高手速，而真正掌握一道题的意义远不止于此。以经典题目LC53 maximum-subarray为例，这道题是Google的面试题，后来被ban后成为经典例题。吴军博士也曾对此题进行分析。 ✖ 未刷明白这道题是动态规划问题，转移方程靠猜或看题解，虽然题数增加了，但训练效果差，只记住了结论。 ✔ 刷明白了暴力做法：O(n^3)，两重循环求和sum(a[i]..a[j])，寻找最大值。优化方案1：sum(a[i..j+1])可以从sum(a[i..j])推出，用临时变量保存sum(a[i..j])并滚动更新。优化方案2：使用前缀和加速求和。再次优化：分治法。对于长为n的数组，答案只有三种情况：在数组左半边、在数组右半边、横跨数组左右。前两种情况递归继续求解。对于横跨左右的情况，必然包含a[n/2]和a[n/2+1]，那么a[n/2]往前走，走到哪和最大会求吧，a[n/2+1]往后走，走到哪和最大会求吧，拼起来就是横跨左右的最大子段和。三种情况再取最大值。复杂度为O(nlogn)。动态规划：是否达到算法复杂度下界？是的，复杂度已达到O(n)，每个数必须遍历一次。 Follow up：提升到二维，在一个矩阵里怎么找到和最大的子矩阵？所以，刷题不仅要追求数量，更要重视思维的过程。从O(n^3)一步步降到O(n)的过程才是最重要的。虽然非最优解似乎没有用，但O(n^2)的做法中使用的临时变量和前缀和求和技巧，下次遇到类似问题时可以借鉴。很多树的递归算法其实也是分治套路：答案要么在左边，要么在右边，要么横跨左右拼起来。包括动态规划也不是拍脑袋想的，是可以列式推导的。另外，见到陌生名词要去查查，特别是自学时容易有盲点，要贪婪地吸收知识。

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