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高阶无穷小前沿信息_高阶无穷小量o x 运算(2024年12月实时热点)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：教程更新日期：2024-11-29

高阶无穷小

高数中连续、可导、可微的关系解析在高等数学中，连续、可导和可微是三个非常重要的概念。它们之间的关系错综复杂，但也有一定的规律可循。下面我们来详细探讨一下这三个概念之间的关系。连续与可微的关系 𐟌𑊊首先，连续和可微之间有着密切的联系。在一元函数中，可微函数一定是连续的。这是因为可微意味着函数的增量可以表示为自变量增量的线性主部加上高阶无穷小。具体来说，如果函数可微，那么当自变量增量趋近于0时，函数的增量也趋近于0，这正好满足连续的定义。然而，连续函数不一定可微。例如，一些连续但不可导的函数自然也不可微。所以，连续是可微的必要条件，但不是充分条件。可导与可微的关系 𐟚€ 在一元函数中，可导和可微是等价的。如果函数可微，那么它的增量可以表示为自变量增量的线性主部加上高阶无穷小。当这个线性主部的系数趋于0时，函数在该点可导。反之，如果函数可导，那么它的增量也可以表示为自变量增量的线性主部加上高阶无穷小，这正好符合可微的定义。多元函数中的关系 𐟌 在多元函数中，连续、可导和可微的关系变得更加复杂。首先，连续和可导（偏导数存在）之间没有必然的联系。例如，函数f(x, y) = y^2在点(0, 0)处极限不存在，不连续，但在该点两个偏导数都存在。多元函数中，可微一定连续。如果函数可微，那么它的全增量可以表示为自变量增量的线性主部加上高阶无穷小，这表明函数在该点的变化是连续的。然而，连续函数不一定可微。例如，函数f(x, y) = y^2在点(0, 0)处两个偏导数都存在，但函数在该点不可微。偏导数连续与可微的关系 𐟔„ 在多元函数中，函数某点的偏导数连续，则必然可微。这是因为偏导数连续意味着函数在该点的变化是连续的，而这正是可微的定义。所以，偏导数连续是可微的一个充分条件。具体例子分析 𐟌𐊊例如，函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(0, 0)处连续，但不可微。这是因为当沿y = k趋近于(0, 0)时，函数的极限值与k有关，所以函数在(0, 0)处极限不存在，不连续。又因为f(x, 0) - f(0, 0) = x^2 - 0 = x^2，所以函数在(0, 0)处偏导数存在。另一个例子是函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(0, 0)处两个偏导数都存在，但函数在该点不可微。这是因为当沿y = k趋近于(0, 0)时，函数的极限值与k有关，所以函数在(0, 0)处极限不存在，不连续。总结 𐟓 总的来说，连续、可导和可微是三个相互关联但又有所区别的概念。在一元函数中，可微一定连续，但连续不一定可微；而在多元函数中，情况变得更加复杂。无论是在一元还是多元函数中，偏导数连续都是可微的一个充分条件。希望这篇文章能帮助你更好地理解这些概念之间的关系。

大一高等数学知识点全解析，轻松掌握！ 𐟓š 高等数学对于许多同学来说是个不小的挑战，但别担心，这里为你整理了高数常考知识点，帮助你轻松应对！ 𐟔 函数与极限函数定义及性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。反函数、复合函数、函数的运算。初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数。函数的连续性与间断点：重点掌握。闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理（重点）、介值定理及其推论。 𐟚€ 极限极限定义：数列极限和函数极限。极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则。无穷小（大）量：定义、无穷小的阶（高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小）。求极限的方法：单调有界准则、夹逼准则、极限运算准则及函数连续性、两个重要极限（重点）、无穷小代换（x→0）（重点）。 𐟓ˆ 导数与微分导数定义：f'(x)=lim(f(x)-f(x))/x-x。几何意义：f(x)为曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率。可导与连续的关系。求导的方法：导数定义（重点）、基本公式、四则运算、复合函数求导（链式法则）（重点）、隐函数求导数（重点）、参数方程求导（重点）、对数求导法（重点）。高阶导数：定义及Leibniz公式。微分定义：Ay=f(x+Ar)-f(x)=Ar+o(Ar)，其中Ar与x无关。可微与可导的关系：可微→可导，且dy=f'(x)Ar=f(x)dx。 𐟌€ 微分中值定理与导数的应用中值定理：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。洛必达法则（重点）。 Taylor公式（不考）。单调性及极值：单调性判别法、极值及其判定定理（必要条件、第一充分条件、第二充分条件）。凹凸性及其判断，拐点。 𐟌𑠥ŽŸ函数与不定积分原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F'(x)=f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数（重点）。不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分。基本积分表（P188,13个公式）（重点）。性质（线性性）。换元积分法（重点）：第一类换元法（凑微分）、第二类换元法（变量代换）。分部积分法（重点）。有理函数积分：“拆”、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）。 𐟌ˆ 定积分概念与性质：性质乙（积分中值定理）。微积分基本公式（N-L公式）（重点）：变上限积分、NL公式。换元法和分部积分（重点）：换元法、分部积分法。反常积分：无穷积分、瑕积分。体积：旋转体体积（重点）、平行截面积已知的立体。弧长：直角坐标、参数方程、极坐标。 𐟓– 微分方程概念与性质：了解微分方程的基本概念和性质。掌握常见微分方程的解法，如一阶微分方程、二阶微分方程等。了解微分方程在实际问题中的应用。

大一高数听不懂？这些资料帮你轻松搞定！大一高数听不懂？别担心，直接看这些资料！𐟓š 𐟓– 高等数学上册知识点函数与极限函数定义及性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。反函数、复合函数、函数的运算。初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数。函数的连续性与间断点：重点！函数在x0连续，lim f(x)=f(x0)。极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则。无穷小（大）量：定义、无穷小的阶（高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小）。求极限的方法：单调有界准则、夹逼准则、极限运算准则及函数连续性、两个重要极限。导数与微分导数定义：lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)。左导数和右导数：f'(x0) = lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)。可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。求导的方法：导数定义、基本公式、四则运算、复合函数求导（链式法则）、隐函数求导数、参数方程求导数、对数求导法。高阶导数：定义、Leibniz公式。微分中值定理与导数的应用中值定理：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。洛必达法则：重点！ Taylor公式：不考。单调性及极值单调性判别法：若f'(x)>0，则f(x)单调增加；若f'(x)<0，则f(x)单调减少。极值及其判定定理：必要条件、第一充分条件、第二充分条件。凹凸性及其判断，拐点：判定定理、拐点定义。不等式证明利用微分中值定理。利用函数单调性。利用极值（最值）。方程根的讨论连续函数的介值定理。 Rolle定理。函数的单调性。极值、最值。凹凸性。渐近线铅直渐近线：lim f(x) = ∞，则x=a为一条铅直渐近线。水平渐近线：lim f(x) = b，则y=b为一条水平渐近线。斜渐近线：lim [f(x) - kx] / (x - x0) = b存在，则y=kx+b为一条斜渐近线。图形描绘不定积分概念和性质：原函数、不定积分、基本积分表（13个公式）。换元积分法：第一类换元法（凑微分）、第二类换元法（变量代换）。分部积分法：重点！有理函数积分：拆分、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）。定积分概念与性质：定义、性质（7条）。性质7（积分中值定理）：函数f(x)在区间[a,b]上连续，则存在c∈[a,b]，使得∫f(x)dx = f(c)(b-a)。

𐟓š高阶与低阶无穷小大挑战！ 𐟌Ÿ同学们，准备好了吗？本周我们迎来数学定向专题考点测试（七），专注于等价无穷小、同阶无穷小、高阶无穷小和低阶无穷小的辨别。𐟔 𐟓测试内容包含2023年和2022年的真题，以及基于真题的衍生题目，确保你能彻底掌握这一考点的分数。记住，这个考点在数学考试中占3分哦！𐟒𐟔让我们一起来看看几个关键点：当x→0时，哪些函数不是x的等价无穷小？当x→0时，哪些数与x是同阶无穷小但不等价？当x→0时，哪些数与x是等价无穷小？当x→0时，哪些数与x是同阶无穷小且等价？ 𐟒᥈륿˜了，熟练掌握4种无穷小的判别方式和等价无穷小公式是关键！现在就开始挑战吧！𐟒ꀀ

送给所有教师同行𐟌𙊨𐢨𐢨€师，老师您辛苦了𐟌𙊦•™师节到了，送您一条飘着书生味的祝福，愿您烦恼高阶无穷小，好运连续且可导，理想一定洛必达，生活不单调，道路不凹凸，金钱导函数大于零，快乐极限无穷大! 𐟓š 师恩重如山，学生不敢忘，在踏入大学校门的时候，祝福您身体健康，万事如意，桃李满园! 𐟎“ 不计辛劳只奉献，三尺讲台，夜灯长明，两鬓飞白混不见，赤诚之心不一般，桃李天下，香满人间，英才济济笑开颜，教师节感恩无限，真挚祝福，真心相传，唯愿您安康永远! 𐟒ꊊ教师节到了，送你一句祝福，祝你身体健康家庭幸福;送你一声问候，祝你万事顺利好运相守;送你一条信息，祝你身体健康吉祥如意;亲爱的老师，祝你节日快乐。 𐟏ኊ不说不表示不思念，不见不表示不牵挂，再远的距离也挡不住我对你的思念，再多的言语也诉不清我对你的感谢，谢谢你，我亲爱的老师，教师节快乐! 𐟒–

教育心得分享：复盘与超越④ 最近在复习教育学的各种知识点，真是又爱又恨啊！𐟘… 来给大家分享一下我的复盘心得，希望能帮到同样在奋斗的你们。函数大小比较：T3 这个题目其实挺常规的，但我在做的时候太复杂化了。后来发现，考试的时候直接任取一个区间上的点代入，省时省力。抽象矩阵行列式计算：T6 这道题我错在了AB=O，r(A)+r(B)≤n，(AB)=4*3，n=4！其实应该根据关系式推出A的特征值，然后计算行列式。带参数无穷积分计算：T12 这个题目真是难到爆！我几乎没见过这种类型的题。后来发现有两种方法可以解决：方法一：变量代换(ex＝t)；倒代换(t＝1/u)。积分计算与积分字母无关，列出等式。方法二：三角换元：t＝tanu，切换弦(分子分母同乘cosu)；区间再现，消掉参数€‚ 方法三：利用ex和e-x互为倒数，令x＝-t；分子分母有理化，-t消为t。中心思想就是对积分作各种变换，最终消掉参数€‚ 抽象定积分求原函数：T14 这道题简直让我崩溃！技巧性太强了，做不出来。后来发现有两种方法：方法一：对f'进行分部积分不可取，因而对f进行分部。观察式子，凑完全平方，得出等式。方法二：观察式子，凑完全平方，得出等式。抽象函数求极限：T17 这道题我用无穷小的形式做错了，得出的是高阶无穷小是二阶的，分母是四阶的（不严谨）。后来发现有两种方法：方法一：用拉格朗日中值定理，凑导数定义。方法二：用洛必达法则（洛到一阶导数，二阶凑导数定义）。证明级数收敛性：T20 这道题有两个小问，第一问有连续导数，存在最大值，泰特展开，用绝对值放缩。第二问有两种方法：方法一：用第一问的结论。注意第一问是积分，内部求导才是f(x)，证明一阶连续即可。方法二：用等价无穷小。设内部～ax^p，用洛必达。求矩阵问题：T21 这道题我在考试的时候草稿纸没算完就写进答题卡了，写一半发现全部写错了，真是彻底疯狂！考试的时候一定要注意得出结果了再抄进答题卡！错因是主观臆想A的另一个特征值为2。其实应该设最后特征值为𜌦 𙦍𙥾向量正交，得出最后一个特征向量，用QTAQ＝对角阵（简法：谱分解A＝⧱⧱T+⧲⧲T+r⧳⧳T）。或者直接把A设出来，根据和B的关系+实对称矩阵的特征求解合个未知数。分段随机变量求期望：T22 这道题我转换成了联合概率密度求均值。其实也可以用其他方法解决，但这个方法对我来说比较直观。希望这些分享能帮到你们，大家一起加油吧！𐟒ꀀ

无穷小与无穷大的奥秘 𐟔 大家好！今天我们来聊聊数学中两个非常有趣的概念：无穷小和无穷大。这两个概念在微分和极限的计算中可是大放异彩哦！无穷小的性质 𐟕𕯸‍♂️ 首先，什么是无穷小呢？简单来说，无穷小就是趋近于0的数。有趣的是，有限个无穷小相加或相乘，结果仍然是无穷小。无穷大的倒数则是无穷小，而无穷小的倒数则是无穷大（除了0，因为0没有倒数）。无穷小的比阶 𐟓ˆ 接下来，我们来看看无穷小的比阶。当x趋近于0时，lim f(x) / g(x) 等于0，那么f(x)就是g(x)的高阶无穷小；如果极限为无穷大，那么f(x)就是g(x)的低阶无穷小；如果极限为K（K不等于0且不等于1），那么f(x)和g(x)就是同阶非等价；如果极限为1，那么f(x)和g(x)就是等价无穷小。两个重要极限 𐟧最后，我们来聊聊两个非常重要的极限。第一个极限是当x趋近于0时，lim x / sin x = 1。这个极限告诉我们，x和sin x在x趋近于0时的行为是非常相似的。第二个极限是当x趋近于0时，lim (1 + x) ^ (1 / x) = e。这个极限告诉我们，复利计算中的e值是如何来的。总结 𐟓 无穷小和无穷大是微分和极限计算中的两个核心概念。通过了解这些性质和极限，我们可以更好地理解和解决各种数学和实际问题。希望这篇文章能帮到你们，让你们对无穷小和无穷大有一个更清晰的认识！

考不上了哥哥姐姐们感觉自己可能有点悬，今天408做伤心了，怎么忘那么多啊，都做过两遍了还是记不得，考100多分真不容易吧，真的伤透我了数学 22年高阶无穷小的概念不太会，听了b站某个老师的讲解通透了不少，多元微分那题的真出生，我左想右想都没想到要用第一问[泪][泪][泪]服辣！其他题没啥了政治做了这一道逆天题，真的无话可说，考试要能考这我直接吃今天晚上打饭，阿姨直接给我打了两份！！[泪]我感觉可能是我昨天也去吃了认出我来了？咖喱➕奥尔良，直接两份！我哭死，就是我的小肚肚有点大了[笑cry][允悲]考完研之后再说吧[酷] 讲真，华中师范我预感要炸，总预感要炸，预感南理爆冷…

高等数学笔记：函数、极限、无穷小、连续 𐟓š 常用基础知识数集：常用的数集包括自然数集、整数集、有理数集和实数集。平方差公式、立方差公式、立方和公式：这些公式在计算和证明中非常有用。完全平方公式、完全立方公式：这些公式可以帮助我们更简单地处理平方和立方的问题。十字相乘法、求根公式法：这些方法在解一元二次方程时非常实用。一元二次不等式、绝对值不等式：这些不等式在解决各种数学问题中都有应用。 𐟔 函数定义域、值域、对应法则：这是理解函数的基础。六大类基本初等函数：包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和复数函数。二倍角公式、降幂公式：这些公式可以简化三角函数的计算。常见的三角函数值：如正弦、余弦、正切等。有界性、单调性、奇偶性、周期性：这些性质可以帮助我们更好地理解函数的性质。求反函数、复合函数：这些操作在函数变换中非常常见。 𐟓ˆ 数列极限等差数列、等比数列：这些数列是数列极限的基础。数列极限的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。无穷比无穷型极限的计算：这种极限的计算方法非常重要。无限项数列极限的计算：包括收敛和发散的情况。夹逼准则：这个准则在证明数列极限时非常有用。 𐟓‰ 函数极限函数极限的四则运算法则：包括加法、减法、乘法和除法。需要计算左右极限的情况：这在实际计算中非常常见。零比零型极限的计算：这种极限的计算方法非常重要。无穷减无穷型极限的计算：这种极限的计算方法也比较常见。两个重要极限：包括洛必达法则和夹逼准则。 1的无穷次方型极限的计算：这种极限的计算方法也比较重要。 𐟌€ 无穷小无穷小性质：无穷小的性质可以帮助我们更好地理解极限的概念。两个无穷小阶的比较：包括高阶无穷小和低阶无穷小的比较。常见的等价无穷小代换：这些代换在计算中非常实用。极限的反问题：通过反问题可以更好地理解极限的概念。 𐟖𜯸 连续左连续与右连续：这是理解连续性的基础。函数在一点处连续的充要条件：包括左连续和右连续的条件。连续函数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。复合函数的连续性：复合函数的连续性是函数连续性的重要部分。函数间断点的分类：包括可去间断点和跳跃间断点等。闭区间上连续函数的性质：这些性质可以帮助我们更好地理解闭区间上连续函数的性质。初等函数的连续性：初等函数的连续性是函数连续性的基础。

高数极限求助求助为啥分子用拉格朗日中值定理求出来的答案跟我用其它方法求出来的答案不一样呀？我用其他方法求出来的值跟答案是一样的，但是用拉格朗日中值定理却不行。求助求助请大佬解答一下 111 111