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函数极限的保号性新上映_极限存在是不是左右极限都要相等(2024年12月抢先看)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：导读更新日期：2024-12-01

函数极限的保号性

李林数三2023第四套复盘：最难过的一集 1. 𐟓ˆ一点很强是推不出区间的，但可以利用一阶导函数极限的保号性来推邻域。 𐟔搞了个特殊函数，结果没做对。 𐟓š积累题。 𐟧™里需要转化成一元极值来判断，B^2-AC判断不出来是因为大小未知，属于积累题。 𐟔„简单题。 𐟧Ž面那个跟1/n比较就好了，讨论一下p能不能取0。 𐟧𝨌ƒ德蒙德行列式的转置，然后罗尔。 𐟧†后面的配方，看正负惯性指数，2正一负，那么A行列式肯定是负的，a小于0。 𐟓ˆ结论，108上面有，直接想正态分布，a就是u。 𐟧‡准化就行了。 𐟧š积分定义，用敌进我退换元用错了，麻了。 𐟧函数求导，后面那个f（0）肯定是0的不然怎么凑导数定义。 𐟧𔦎姧賂†发现变成二重积分，然后重新定上下限。 𐟧知道，看答案吧。 𐟧𔦎娮𞁽E，然后求A伴随和B伴随，发现其实也是单位阵。 𐟧™到烂了。 𐟧‚导，然后代入-x，解出f（x），后面的就是常规操作。 𐟧—错，要用对称性消掉一部分，忘记了，真是服了。 𐟧줸€问分部，第二问设出来，没做。 𐟧€单题了。求出之后换元然后点火。 𐟧€单题。后面那个东西就是说明他是个正定阵，然后和单位阵合同。 𐟧€单题，这题可以一眼看出z是正太。

天津专升本数学极限知识点全解析！大家好！今天我们来聊聊天津专升本数学中的极限知识点。极限是数学中一个非常有趣的概念，特别是在专升本考试中占据着重要地位。下面我会详细讲解极限的性质和一些重要的四则运算法则。极限的性质 𐟓 首先，无论是数列极限还是函数极限，都有五个基本性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性和迫敛性。这些性质听起来可能有点抽象，但我们可以逐一解释：唯一性：简单来说，极限是唯一的，不能同时存在两个极限。有界性：如果函数极限存在，那么函数在某个邻域内是有界的。保号性：如果函数极限大于0（或小于0），那么在某个邻域内，函数值也会大于0（或小于0）。保不等式性：如果两个函数的极限都存在，且在一个邻域内一个函数小于等于另一个函数，那么它们的极限也会满足同样的关系。迫敛性：这个性质有点复杂，但简单来说，如果两个函数的极限相等，且在一个邻域内一个函数被另一个函数夹在中间，那么这两个函数的极限也会相等。四则运算法则 𐟓 除了这些性质，数列极限和函数极限还有相同的四则运算法则。也就是说，函数（或数列）的和差积商的极限等于极限的和差积商，但要注意，作为除数的函数（或数列）或极限不能等于0。小贴士 𐟒ኊ这些知识点看起来可能有点多，但只要大家认真理解并多做练习，其实并不难掌握。希望大家都能在天津专升本的考试中取得好成绩！加油！𐟒ꀀ

𐟓š 成人本科高等数学考点全解析 𐟓– 𐟓Œ 成人本科高等数学，是许多成人高考考生必须面对的挑战。为了帮助大家更好地备考，我们整理了《高数一》的考点汇总，供大家参考。 𐟔 第一章：极限和连续极限的三大性质：唯一性、局部保号性和局部有界性。极限的四大运算法则：加减法、乘除法、复合函数和洛必达法则。夹逼准则：如果函数被两个极限相同的函数夹在中间，那么这个函数的极限也存在且相同。无穷小量与无穷大量的比阶：比较两个无穷小量或无穷大量的大小关系。 𐟓Š 第二章：一元函数微分学凹凸性：判断函数是凹函数还是凸函数。拐点：找出函数的拐点，即单调性改变的点。 𐟎쬤𘉧렯𜚤𘀥…ƒ函数积分学原函数与不定积分的概念：原函数的存在定理和不定积分的定义。不定积分的性质：数乘、分项、线性运算和先后次序。 𐟌 第四章：空间解析几何了解空间解析几何的基本概念和性质。 𐟌 第五章：多元函数微积分学多元函数的概念和性质。多元函数的偏导数和全导数。 𐟓ˆ 第六章：无穷级数无穷级数的收敛性和发散性。无穷级数的求和公式。 𐟌€ 第七章：常微分方程常微分方程的基本概念和性质。常微分方程的解法和应用。 𐟓š 通过这些考点的梳理，希望能帮助大家更好地理解和掌握成人本科高等数学，顺利通过考试！

𐟧函数极限的三大性质𐟓– 𐟔函数极限的性质，你了解多少呢？让我们一起来探索一下！ 1️⃣ 唯一性：𐟒᥇𝦕𐦞限是唯一的，也就是说，当一个函数在某一点趋近于极限时，这个极限值是确定的，不会因为函数表达式的不同而有所变化。 2️⃣ 局部有界性：𐟌函数极限在定义域内是局部有界的，这意味着在极限点附近，函数值被限制在一个范围内，不会无限增大或减小。 3️⃣ 保号性：𐟔’函数极限具有保号性，即如果函数在极限点附近的函数值都大于（或小于）某个数，那么极限值也会大于（或小于）这个数。 𐟒ᥰ贴士：函数极限与数列极限有所不同哦！数列极限是离散的点逐渐逼近极限，而函数极限是在函数曲线上逐渐逼近极限的那个点。而且，当函数极限存在时，数列极限也一定存在，但数列极限存在并不一定意味着函数极限存在呢！ 𐟓š现在，你是不是对函数极限的性质有了更深入的了解呢？记得多做练习，巩固这些知识点哦！

数学分析笔记：从基础到进阶 ### 数列极限 𐟚€ 实数系的连续性：确界原理、Dedekind分割原理、Stolz定理、收敛准则（单调有限定理、柯西收敛准则、Bolzano-Weierstrass定理）、闭区间套定理、归结原则。两个重要的极限：连续函数的定义，第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点或振荡间断点）。函数极限的性质 𐟓ˆ 唯一性：函数极限在自变量趋近于某个值时，极限值是唯一的。局部保号性：函数在某点的极限与函数在该点的值符号相同。局部保序性：函数在某点的极限与函数在该点的值大小关系一致。局部有界性：函数在某点的极限与函数在该点的值都存在且有限。两边夹准则：函数被两个极限相同的函数夹在中间，其极限也存在且与这两个函数相同。无穷小量和无穷大量阶的判断：闭区间上的连续函数具有有界性、最值性、零点、介值性、一致连续性。反证法是一种有效的证明方法。区分一致连续和点点连续。一元微分 𐟓 代数学基本定理：一元n次多项式在复数域上有n个解。微积分基本定理：NL公式，可导一定连续，可导等价于可微。复合函数求导（链式法则）：复合函数的导数等于内层函数和外层函数的乘积。隐函数求导：隐函数的导数可以通过隐函数定理求解。一阶微分方程不变性：微分方程的解与自变量的变化无关。微分中值定理及其应用 𐟔 费马引理（Fermat）：极值点的导数为0。罗尔定理（Rolle）：函数在区间两端相等，中间有一点导数为0。拉格朗日定理（Lagrange）：中间导数等于斜率。柯西中值定理（Cauchy）：引入了两个函数，凹凸函数，不等式（三角不等式、均值不等式、Jensen不等式、Young不等式、Holder不等式）。洛必达法则：实际上是柯西中值的推广应用。泰勒展开：Peano余项和Lagrange余项。不定积分 𐟌 换元积分法（第一类和第二类）：通过换元法求解不定积分。分步积分法：分步积分法适用于被积函数包含不同类型项的情况。有理函数积分法：有理函数的积分可以通过部分分式法进行。定积分 𐟓Š 分割、近似、求和、取极限：黎曼可积，Darboux上和等于下和（上和不增，下和不减），必要条件是函数有界。基本性质：线性性、保序性、区间可加性、积分第一中值定理。反常积分、瑕积分、二元无穷限积分：通过求Cauchy主值的方法判断积分收敛的方式（Cauchy判别法、比较判别法、A-D判别法）。 PS: 闭区间上的连续函数一定可积且有界且一致连续，闭区间上的单调函数一定可积。点火公式要记住（sin和cos的n次方在0到2上的积分，考虑n为偶和n为奇，偶的时候从1/2开始要乘2，奇的时候从1开始）。

高等数学反思总结：函数有界性与极限今天真是忘带绿笔了，结果中途换颜色，真是有点小尴尬。不过，数学的世界里，总是充满了未知和惊喜。函数有界性与极限 𐟓Š 首先，关于函数有界性，我得好好反思一下。函数有界性是指在某个区间上，函数的值被限制在某个范围内。比如说，闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值，这就是有界性的一个体现。而开区间上的函数，如果端点处的函数值存在，那么在这个开区间上也是有界的。比如，把开区间划分为几个闭区间，那么每个闭区间上的函数都是有界的。接下来是极限的概念。函数在某一点上的极限存在，并不意味着它在整个定义域内都有极限。比如说，函数在某一点上取极限值为0，但并不意味着它在整个定义域内都是无界的。相反，如果函数在某一点上没有极限，那它在这个点附近的行为就无法预测，可能是无界的。函数保号性与极限保号性 𐟓ˆ 再来说说函数保号性和极限保号性。这两个概念看似相似，但实际上有着微妙的差别。函数保号性是指函数在某个区间上的值保持某种规律，比如单调递增或递减。而极限保号性则是从某一点开始，函数的值保持某种规律，比如从某一点开始单调递增或递减。举个例子，如果函数在某一点上取极限值为0，那么在这一点附近，函数的值会大于或小于0。这就是极限保号性的体现。而函数保号性则要求在整个定义域内，函数的值都保持这种规律。总结与反思 𐟓 总的来说，函数有界性和极限是高等数学中的重要概念，需要深入理解和掌握。通过这次反思，我意识到自己在这些概念上还有不少漏洞，需要进一步加强练习和理解。数学的世界真是广阔无垠，每一步都需要我们用心去探索和发现。希望这次反思能对自己有所帮助，也希望能和大家一起交流学习，共同进步！

微积分中的收敛函数：关键性质与证明收敛函数在微积分中占据着重要的地位，它们具备一些独特的性质，让我们一起来探索这些性质吧！收敛函数的极限唯一 𐟓‰ 首先，收敛函数的极限是唯一的。这意味着无论你从哪个方向接近这个极限，结果都是一样的。这就像一条直线，无论你从左边还是右边靠近它，都会到达同一个点。收敛函数有界 𐟓 其次，收敛函数一定是有界的。这意味着它们的值被限制在某个范围内，不会无限增长或减小。这就像一个弹簧，无论你怎么拉或推，它总会有一个极限位置。收敛函数的保号性 𐟔’ 再者，收敛函数具有保号性。如果函数在某一点的值是正的（或负的），那么当它收敛时，极限的值也会是正的（或负的）。这就像一个门锁，当你锁上门时，钥匙的位置会告诉你门是否被锁上了。子数列收敛于同一极限 𐟓– 最后，收敛函数的任一子数列都收敛于同一个极限。这意味着无论你从哪个子序列开始，最终都会到达同一个点。这就像一本书，无论你从哪一页开始读，最终都会读完。证明这些性质 𐟓 为了证明这些性质，我们可以使用反证法。例如，假设一个数列从某项起，且xn=0，那么它的极限一定小于等于0。如果假设不成立，那么这个数列就是发散的。同样，如果两个子数列收敛于不同的极限，那么原数列一定是发散的。实例 𐟌𐊤𞋥悯𜌨€ƒ虑一个数列Xn=-1+1/n，它的极限是1。再比如一个数列Xn=(-1)^n/n，这个数列是发散的，因为它有两个子数列分别收敛于1和-1。通过这些性质和证明，我们可以更好地理解收敛函数的概念，并在实际问题中应用它们。希望这篇文章能帮助你更好地掌握微积分中的这些重要概念！

𐟓š高等数学第一章知识点全解析𐟌Ÿ 𐟎“ 考研高数第一章，我们迎来了函数、极限和连续性的探索！这一章是整个高数的基础，所以一定要牢牢掌握哦！ 𐟔 函数的基本概念：函数 f(x) 的定义：y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量。函数的单调性：如果 f(x) 在某个区间内单调增加或单调减少，那么这个函数在这个区间内是单调的。函数的奇偶性：如果 f(x) = f(-x)，那么函数是偶函数；如果 f(x) = -f(-x)，那么函数是奇函数。函数的周期性：如果存在一个正数 T，使得对于所有 x，都有 f(x+T) = f(x)，那么函数是周期函数。 𐟓‰ 极限的基本概念：数列极限：当 n 趋近于无穷大时，数列 an 的极限记为 lim an。函数极限：当 x 趋近于某个值时，函数 f(x) 的极限记为 lim f(x)。极限的保号性：如果 lim f(x) 存在且大于零，那么存在某个 N，使得当 x > N 时，f(x) > 0。 𐟌 无穷小量与无穷大量：无穷小量：当 x 趋近于某个值时，函数 f(x) 的极限为零，记为 lim f(x) = 0。无穷大量：当 x 趋近于某个值时，函数 f(x) 的极限为无穷大，记为 lim f(x) = ∞。无穷小量与无穷大量的关系：有限个无穷小量的和仍然是无穷小量，有限个无穷大量的积仍然是无穷大量。 𐟔„ 连续性的基本概念：连续函数：如果对于所有的 x，都有 lim f(x) = f(x)，那么函数 f(x) 是连续的。间断点：如果存在某个 x，使得 lim f(x) 不存在或 lim f(x) ≠ f(x)，那么这个点是函数的间断点。可去间断点：如果 lim f(x) 存在但等于 f(x)，那么这个点是可去间断点。跳跃间断点：如果 lim f(x) 存在但不等于 f(x)，那么这个点是跳跃间断点。 𐟓š 高数第一章还有很多重要的知识点和技巧，比如洛必达法则、等价无穷小、重要极限等。这些内容不仅在考试中占据重要地位，而且在后续的学习中也会起到关键作用。所以，大家一定要认真学习和掌握哦！

函数极限的局部保号性与有界性详解函数极限的局部保号性和局部有界性是数学分析中的重要概念，需要通过细节上的理解来掌握。以下是对这些概念的具体解释和一些特殊函数的举例分析，帮助大家更好地记忆和理解。局部保号性 𐟓ˆ 去帽保号性如果 limf(x) > 0，则在 x0 的某去心邻域内 f(x) > 0。如果 limf(x) < 0，则在 x0 的某去心邻域内 f(x) < 0。如果 limf(x) > A，则在 x0 的某去心邻域内 f(x) > A。如果 limf(x) < A，则在 x0 的某去心邻域内 f(x) < A。如果 limf(x) = A 或 0，无法判断在 x0 的某去心邻域内 f(x) 与 A 或 0 的大小关系。脱帽保序性如果 limf(x) > limg(x)，则在 x0 的某去心邻域内 f(x) > g(x)。如果 f(x) < g(x)，则在 x0 的某去心邻域内 f(x) < g(x)。如果 limf(x) = limg(x)，无法判断在 x0 的某去心邻域内 f(x) 与 g(x) 的大小关系。加帽保号性如果 f(x) 在 x0 的某去心邻域内恒有 f(x) > 0，且 limf(x) = A（存在），则 A ≥ 0。如果 f(x) 在 x0 的某去心邻域内恒有 f(x) ≥ 0，且 limf(x) = A（存在），则 A ≥ 0。局部有界性 𐟓 局部保号性如果 limf(x) 存在，则函数在 x0 的去心邻域内 f(x) 有界；但反过来，如果函数在 x0 的去心邻域内 f(x) 有界，无法确定 limf(x) 是否存在。如果 limf(x) = ∞，则函数在 x0 的去心邻域内 f(x) 无界；但反过来，如果函数在 x0 的去心邻域内 f(x) 无界，无法推出 limf(x) = ∞。如果 limf(x) 不存在，无法判断函数在 x0 的某去心邻域内的有界性。连续函数的有界定理如果 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f(x) 在 [a, b] 上有界。如果 f(x) 在开区间 (a, b) 上连续，且极限 limf(x) 与 limf(a+) 和 limf(b-) 都存在（不一定等于该点的函数值），则 f(x) 在 (a, b) 上有界。如果 f(x) 在区间 [a, b) 上连续，且极限 limf(x) 存在，则 f(x) 在 [a, b) 上有界。如果 f(x) 在开区间 (-∞, +∞) 上连续，且极限 limf(x) 与 limf(+∞) 和 limf(-∞) 都存在，则 f(x) 在 (-∞, +∞) 上有界。通过这些详细的解释和举例分析，希望能够帮助大家更好地理解和掌握函数极限的局部保号性和局部有界性。

四川统招专升本高等数学考纲详解 𐟓š 四川省教育考试院发布的专升本高等数学考纲，虽然不是最新的，但往年考纲内容相对稳定，具体还需以每年新考纲为准。以下是根据往年考纲整理的详细内容： 𐟓Œ 考试范围考试范围包括《高等数学》和《线性代数》。《高等数学》涵盖函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学与二重积分、无穷级数、常微分方程等内容。《线性代数》则包括行列式、矩阵、向量、线性方程组等。 𐟓Œ 考试内容及要求函数、极限和连续函数：理解函数的概念，求函数（包括分段函数）的定义域、表达式及函数值，建立实际问题的函数关系式。掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。了解函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)之间的关系，会求单调函数的反函数。熟练掌握函数的四则运算与复合运算，复合函数的复合过程。掌握基本初等函数的性质及其图象。极限：了解数列极限的概念，了解数列极限的唯一性、收敛数列的有界性。了解函数极限的概念，理解函数极限存在的充分必要条件，理解函数极限的唯一性、局部保号性。熟练掌握极限的四则运算法则。了解数列极限的两个收敛准则（夹逼准则与单调有界准则）、函数极限的夹逼准则，熟练掌握两个重要极限。了解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，比较无穷小量的阶（高阶、低阶、同阶和等价），会用等价无穷小量求极限。连续：理解函数在一点连续与间断的概念，会判断函数（包括分段函数）的连续性。会求函数的间断点并判断其类型。理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理，会用零点存在定理进行证明。 𐟓Œ 考试形式与试卷结构考试形式：考试采用闭卷、笔试形式，试卷满分150分，考试时间120分钟。试卷结构：考试题型可采用判断题、单选题、填空题、计算题、解答题、证明题、应用题等形式。试题按其难度分为容易题、较易题、中等难度题、较难题四种难度，试卷总体难度适中。试卷内容结构为线性代数约占20%，其他内容约占80%。 𐟓š 参考书目同济大学数学系.高等数学(第七版）：高等教育出版社同济大学数学系.工程数学：线性代数（第六版）：高等教育出版社希望这份考纲能帮助到正在准备四川统招专升本高等数学考试的你！𐟓–

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