当前位置：网站首页 » 观点 » 内容详情

解线性方程组权威发布_解线性方程组的方法(2024年12月精准访谈)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：观点更新日期：2024-11-29

解线性方程组

#科学趣事# 线性代数之所以被称为“线性代数”，这一命名蕴含了其学科特性和历史渊源。 “代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直1859年清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，并一直沿用至今。在历史上，“代数”主要指的是解方程，即通过一定的数学运算求解未知数的过程。 “线性”一词则描述了该学科研究的核心特性。在数学中，线性”通常指的是量与量之间按比例、成直线的关系，即满足加法和数乘运算的性质。具体来说，线性关系具有均匀性和可加性，如函数y=2x，若输入值均匀排列，则输出值也均匀排列。在线性代数中，这种线性关系主要体现在向量、矩阵和线性变换等概念上。线性代数出现于17世纪，是法国数学家费马和笛卡儿等人研究工作的成果。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，最初的线性方程组问题大都来源于生活实践，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。在古代，“代数”就是指解方程，所以以“线性代数”命名。线性代数最早确实是因解线性方程组而发明的，它研究的是线性方程组、向量空间与线性映射等对象。然而，到了现代，线性代数的研究内容已经远远超出了单纯解线性方程组的范畴。现代的线性代数研究中心已经从解方程演变成了线性空间以及发生在线性空间之中的线性变换（算子）。具体来说，现代线性代数研究的是向量空间、矩阵、线性变换、行列式、特征值与特征向量等概念。其中，向量是线性代数的基本元素，通过线性组合可以表示其他向量；矩阵可以看作是一组向量的集合，用于表示线性变换；行列式用于描述矩阵的性质，与线性方程组的解有密切关系；特征值与特征向量则揭示了矩阵在某个特定方向上的行为。从某种程度上说， “线性代数”这一名称已经过时。因为现代的线性代数已经不再是单纯研究方程的“代数”，而是研究空间及其变换的“分析”。它准确来说应该改名叫“有限维线性泛函分析”。但出于各种考虑（如品牌价值），国内外并未更改这一命名。综上所述，“线性代数”之所以得名如此，既与其历史渊源有关，也与其研究的核心内容——线性关系、线性方程组以及线性变换等——紧密相连。尽管现代线性代数的研究内容已经远远超出了单纯解方程的范畴，但“线性代数”这一名称仍然被广泛使用并接受。 …… …… …… 【文本源于“文心一言”】#优质作者榜# ————————————————————— 欢迎点击下方专栏，并加入书架。

𐟓行列式学习笔记整理 𐟓行列式的基本概念行列式是线性代数中的重要概念，用于描述矩阵的某些性质。行列式的阶数表示为D，其中D表示行列式的值。 𐟓行列式的性质行列式具有上三角形性质，即主对角线上的元素乘积。副对角线上的元素乘积也等于行列式的值。行列式具有对角线法则，即行列式的值等于对角线元素的乘积。 𐟓行列式的计算方法行列式的计算可以通过多种方法进行，包括：使用行列式的性质进行简化计算。利用行列式的展开法则，将行列式转化为低阶行列式。利用拉普拉斯展开法，选择合适的行或列进行展开。 𐟓行列式的应用行列式在矩阵运算中有着广泛的应用，如计算矩阵的行列式值、判断矩阵的可逆性等。行列式也用于解线性方程组，通过克莱姆法则可以快速求解。 𐟓行列式的进一步学习行列式的学习需要掌握更多的概念和方法，如行列式的逆、行列式的余子式等。通过进一步的学习，可以更深入地理解行列式的本质和性质。 𐟓总结行列式是线性代数中的重要内容，通过掌握行列式的性质和计算方法，可以更好地理解和应用行列式。

Python实现三种迭代法解线性方程组 𐟓š雅可比迭代：雅可比迭代是一种简单的迭代方法，每次更新未知数时都独立进行。具体步骤如下：初始化未知数的初始值。对于每个未知数，使用当前已知的未知数的值来计算更新后的值。重复进行上述步骤，直到满足收敛条件。 𐟓ˆ高斯赛德尔迭代：高斯赛德尔迭代在雅可比迭代的基础上进行了改进，使用已经更新过的未知数的最新值来计算更新后的值。具体步骤如下：初始化未知数的初始值。对于每个未知数，使用已经更新过的最新值来计算更新后的值。重复进行上述步骤，直到满足收敛条件。 𐟔瓏R迭代： SOR（逐次超松弛）方法在高斯赛德尔迭代的基础上引入了一个松弛因子𜌩€š过调整松弛因子可以加快方法的收敛速度。具体步骤如下：初始化未知数的初始值。对于每个未知数，使用已经更新过的最新值和当前未知数的值来计算更新后的值，并引入松弛因子。重复进行上述步骤，直到满足收敛条件。 𐟓Š比较：雅可比迭代方法每次更新未知数时都使用上一次迭代的全部未知数值，因此收敛速度相对较慢。高斯赛德尔迭代方法每次更新未知数时使用已经更新过的部分未知数值，因此相对于雅可比迭代方法，它的收敛速度更快。 SOR迭代方法在高斯赛德尔迭代的基础上引入了松弛因子，可以通过调整松弛因子来加速收敛速度，当松弛因子选择得当时，收敛速度可以更快。

𐟓š线代行列式复习笔记总结𐟓 𐟓… Date: [待填写] 𐟔 行列式的基础知识行列式是线性代数中的重要概念，用于描述矩阵的性质。行列式的计算方法多种多样，包括按行或按列展开、拉普拉斯定理等。 𐟓š 行列式的展开按多行（列）展开：选择某一行（列），计算交叉位置的元素乘积。拉普拉斯定理：对阶行到式，取定K行，由此行组成的一切阶式与其代数余子式的乘积和。 𐟔砨ጥˆ—式的简化简化定理：通过特定的行列变换，将行列式转化为易于计算的形式。拉普拉斯定理的特殊运用：当主对角线元素为0时，行列式可以通过特定的计算方法简化。 𐟓 行列式的性质行列式的值与矩阵的转置有关。行列式的值与矩阵的行列变换、行列互换有关。 𐟔 行列式的应用行列式在解线性方程组、矩阵的逆运算中有着广泛的应用。行列式的计算方法和技巧对于解决复杂的数学和工程问题至关重要。 𐟓… 复习计划持续更新线代笔记，涵盖行列式的各种计算方法和应用。欢迎大家讨论和交流，共同进步！

现在升学之惨烈…… 刚看到的复试：“数学采用的是现学现考的模式，老师先讲70分钟的矩阵和线性方程组，然后就是40分钟的考试，题目是5道解线性方程组的大题。语文就一道题，用10分钟时间背诵并默写秦观的《望海潮ⷦ𔛩˜𓦀€古》。” 数学我就不指望了，语文试了试，现在背是能背下来，但是考试时背了十分钟之后老师又会东拉西扯地讲十几分钟毫无关系的话才让学生默写……我甚至不能保证这些字我能全写对。附词全文（不太好背，比七律差远了，七律可以用新白娘子传奇唱很容易就上口[笑cry]）梅英疏淡，冰澌溶泄，东风暗换年华。金谷俊游，铜驼巷陌，新晴细履平沙。长记误随车。正絮翻蝶舞，芳思交加。柳下桃蹊，乱分春色到人家。西园夜饮鸣笳。有华灯碍月，飞盖妨花。兰苑未空，行人渐老，重来是事堪嗟。烟暝酒旗斜。但倚楼极目，时见栖鸦。无奈归心，暗随流水到天涯。

【中国古代重要科技发明创造】《九章算术》之线性方程组解法中国汉代古算书《九章算术》方程章中的“方程”与现在的方程含义不同，它不是指含有未知数的等式，而是指根据一定规则由数字排列而成的呈方形的程式。以《九章算术》方程章第一题为例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。” 如用现在设未知数列方程的方法，列出的线性（一次）方程组为： 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 x+2y+3z=26 中国古代没有设未知数的习惯，而是直接用算筹将数目列在筹算板或者桌面上。这种算式是按某种比率关系建立起来的数字阵，似乎是分离系数法的体现。解这个“方程”用的是“直除法”。所谓直除法，就是整行与整行对减。此处方程的建立及消元变换采用位值制，每个数字不必标出它是什么物品的系数，而是用所在的位置表示。《九章算术》方程的表示，相当于列出其增广矩阵，消元过程相当于矩阵变换。用直除法必然会出现零减去正数的情况。为使运算继续下去，就必须引进负数概念。《九章算术》所载的“正负术”，就是为解决这一问题而提出的。这是世界数学史上最卓越的成就之一：“正负术曰：同名相除（减），异名相益（加）；正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益；正无入正之，负无入负之。”这也是在世界上第一次讲到了正负数的加减法。筹算怎样来表示正负数呢？《晋书》《隋书》“律历志”中有这样的记载：“魏陈留王景元四年（公元263年）刘徽注《九章算术》。”刘徽的《九章算术注》给后人留下了宝贵的数学遗产。刘徽称：“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以邪正为异。”意思是说，同时进行两个运算，若结果得失相反，那就要分别叫作正数和负数，并用红筹代表正数，黑筹代表负数。不然的话，就将算筹斜放和正放来区别。这是世界数学史上第一次突破了正数的范围，也是对负数第一次作出合理解释。除中国外，世界上对负数概念的建立和使用都经历了一个曲折的过程。希腊数学注重几何，而忽视代数，几乎没有建立过负数的概念。印度婆罗摩笈多开始认识负数，采用小点或小圈记在数字上面表示负数。对负数的解释是负债或损失，只是停留在对相反数的表示上，尚未将负数参与运算。欧洲第一个给出负数正确解释的是斐波那契，他在解决一个关于某人的盈利问题时说：“我将证明这问题不可能有解，除非承认这个人可以负债。” 1484年，法国的舒开给出二次方程一个负根。意大利的卡当在1545年区分了正负数，把正数叫作“真数”，负数叫作“假数”，并正式承认了负根，不过，这些思想都没有在欧洲引起足够重视。直到18世纪，有些数学家还认为负数这个比零小的数是不可能的。负数在西方发展得如此缓慢，而中国却对负数有深刻的认识，这不能不说是中国数学思想的先进。最后，需要补充一点的是，刘徽还用齐同原理证明了直除法的正确性，而且还创造了互乘相消法，与现今解线性方程组的方法完全一致。刘徽是中国古代最早的著名数学家。他对《九章算术》齐同术、今有术、割补术的整理阐发，对割圆术、刘祖原理、十进分数的新的数学创造，对《九章算术注》中补第十卷“重差”后，被唐代李淳风在“算经十书”单篇刊出为《海岛算经》，都是中国传统数学的累累硕果。中国数学大师吴文俊院士对刘徽《海岛算经》重差术有专门的研究著述，对《九章算术》法译本十分赞赏。（作者系国家教育咨询委员会委员、中国科技馆原馆长）图1：吴文俊院士与《九章算术》法译本。（作者供图）图2：线性方程组解法首日封（中国集邮有限公司供图）图3：线性方程组解法内插页（中国集邮有限公司供图）图4：刘徽纪念邮票（作者供图）图5：“九章”篆刻章（马国馨院士刻）

线性代数：极大无关组与基础解系详解 𐟓 考研日记007：线性方程组的极大无关组之间是线性无关的。 𐟔 基础解系是指方程组解集的极大线性无关组。求基础解系时，需要先对系数矩阵进行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，并确定自由变量的个数n-r(A)。然后，对其中一个自由变量赋值。 𐟌Ÿ 关键点： 1️⃣ 区分自由变量和主变量。 2️⃣ 赋值时要对照方程组AX=0。 3️⃣ 牢记线性方程组解的判定和等价关系。 𐟓Œ 齐次线性方程组AX=0有非零解的意思是A的列向量线性相关，秩小于n，行列式等于零；只有零解（有唯一解），秩等于n，行列式不为零。 𐟓Œ 非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是：系数矩阵与增广矩阵的秩相等。

大一线性代数笔记𐟓š ### 第一章行列式 𐟓– n阶行列式：行列式是矩阵的一种特殊形式，用于计算矩阵的行列式值。行列式的性质：行列式具有一些重要的性质，如奇偶性、对称性和反对称性。行列式按行/列展开：通过异乘变零和拉普拉斯定理，可以将行列式按行或列展开。行列式的计算：掌握行列式的计算方法，包括公式法和直接计算法。克莱默法则：克莱默法则用于解线性方程组，是行列式的一个重要应用。第二章矩阵 𐟓ˆ 矩阵的概念和运算：矩阵的基本概念、矩阵的加法、减法和数乘。对称矩阵和反对称矩阵：这两种矩阵具有特殊的性质，如对称性和反对称性。逆矩阵：逆矩阵是矩阵的一个重要概念，用于解决线性方程组。分块矩阵：分块矩阵是将矩阵分成小块，便于进行一些特殊运算。初等变换：通过初等变换，可以将矩阵转化为更简单的形式。矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵的一个重要性质，反映了矩阵的线性相关性。矩阵性质：矩阵还具有一些重要的性质，如矩阵的转置、矩阵的逆等。通过这些内容的学习，可以更好地理解和掌握线性代数的核心概念和基本方法。希望这份笔记能帮助你更好地学习大一线性代数！𐟓š

重庆小升初复试揭秘：数学题竟是这个！国庆节前，重庆某知名学校为小升初的学生们举行了一场复试，小帮老师将拿到手的复试题分享到了家长群，引起了不小的震动。这次的复试难度确实不小，尤其是数学部分，简直让人惊叹。首先，复试的内容包括数学和语文，没有英语。在重庆，除了某外，大多数学校的复试都不考英语，因为英语对学霸们来说，差距不大。数学部分的考试采用了现学现考的模式。老师先花了70分钟讲解矩阵和线性方程组，然后学生有40分钟的时间进行考试。考试内容是五道解线性方程组的大题。虽然这些内容对小学生来说超纲，但现学现考的方式还算公平。不过，要在短短70分钟内掌握这些知识，难度可不小。有人说，这样的数学考试不算难，因为现学现考已经不新鲜，矩阵也很适合现学现考，所以数学题其实没啥新意。别急，语文部分会让你感受到什么是真正的“不会写就是不会写”。语文考试非常直接，题目是用10分钟时间背诵并默写秦观的《望海潮.洛阳怀古》。学生背完10分钟后，老师又上台讲了十几分钟和这首词毫不相干的话，然后才开始让学生默写。小帮老师也是第一次听说这首诗，那些句子毫不押韵，读起来还有点拗口，不知道有多少孩子能通过这种语文考试。其实，这所学校的复试主要考察三个方面：学习新知识的能力；语文阅读理解能力；记忆力。这三种能力恰好是学霸的必备素质，再加上足够的专注力和内驱力，那就是妥妥的学霸了。要想在这样的考试中胜出，天赋和后天的努力缺一不可。不过，你也别太焦虑，我有两个消息要告诉你：好消息是，这场复试即便通不过也不要紧，因为其他的学校考试没这么难；坏消息是，居然有学霸在这种考试中接近满分。果然，哪里都不缺牛娃，别想太多，照顾好自己的孩子才是正道。

𐟓š 矩阵笔记大汇总：从基础到进阶 𐟚€ 𐟓– 矩阵的基本概念矩阵的定义：矩阵是一个由数字组成的矩形阵列。矩阵的乘法和性质：矩阵乘法满足结合律和分配律。矩阵的逆：如果存在一个矩阵A，使得AB=BA=E（单位矩阵），则称A为可逆矩阵。矩阵的转置：将矩阵的行列互换得到的矩阵称为转置矩阵。 𐟧頧Ÿ驘𕧚„计算技巧矩阵的高次幂：利用二项式展开式计算矩阵的高次幂。矩阵的行列式：计算行列式，判断矩阵是否可逆。矩阵的秩：通过行列变换求得矩阵的秩。 𐟒ᠧŸ驘𕧚„应用解线性方程组：利用矩阵的方法解线性方程组。图像变换：通过矩阵变换实现图像的旋转、缩放等操作。数值计算：利用矩阵算法进行数值计算，如矩阵求逆、矩阵分解等。 𐟔 矩阵的进阶知识特征值和特征向量：计算矩阵的特征值和特征向量，判断矩阵的性质。对角化：将矩阵对角化，简化计算过程。相似矩阵：通过相似变换，将一个矩阵转换为另一个易于处理的形式。 𐟓š 矩阵的详细解析姜晓千总结：对矩阵的基本概念和性质进行详细解析。李永乐强化：对矩阵的计算技巧和应用进行深入讲解。 880总结：对880题中的矩阵问题进行汇总和解答。 𐟔 矩阵的习题解答 1800、660习题解答：对1800和660中的矩阵题目进行详细解答。 880难点解析：对880题中的难点进行详细解析，如求A的n次方、证明复杂矩阵可逆等。 𐟓– 矩阵的其他知识纯阵的性质：对纯阵的定义和性质进行详细讲解。初等变换：介绍初等变换的概念和性质，如行交换、列交换等。特殊矩阵：介绍正交矩阵、对称矩阵等特殊矩阵的性质和计算方法。

专栏内容推荐

1280 x 720 · jpeg
线性方程组解的结构_腾讯视频
素材来自:v.qq.com

904 x 782 · png
Python求解线性方程组实例 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com
834 x 977 · png
7、线性方程组详细解法_线性方程组的解-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

3264 x 2448 · jpeg
线性方程组解个数的判定和求解_齐次线性方程组解的判定-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net
1301 x 1320 · png
matlab 列主元三角分解法解线性方程组数值分析_列主元三角分解法-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

720 x 1205 · jpeg
解线性方程组的直接方法之消去法 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com
1020 x 769 · jpeg
线性方程组 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com

220 x 110 · jpeg
线性方程组_360百科
素材来自:baike.so.com
1080 x 722 · jpeg
矩阵法解线性微分方程组 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com

1920 x 1080 · png
线性方程组基础解系_线性代数线性方程组基础解系-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

1756 x 929 · png
线性方程组AX=b，AX=0以及非线性方程组的最小二乘解（解方程组-＞优化问题）_解最小二乘问题ax=b-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

600 x 343 · jpeg
2.线性方程组的解集（表示成参数向量形式） - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com
1439 x 1080 · jpeg
用基础解系表示非齐次线性方程组的全部解求详细解答过程关键是怎么化的一步一步过程写下来啊-百度经验
素材来自:jingyan.baidu.com

1333 x 869 · jpeg
线性方程组的解的情况及其判定 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com
639 x 468 · png
线性代数学习笔记——第五十三讲——齐次方程组求解实例_求解齐次线性方程组-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

1080 x 810 · jpeg
3-4 线性方程组的解_word文档在线阅读与下载_无忧文档
素材来自:51wendang.com
1258 x 1047 · png
线性代数思维导图--线性代数中的线性方程组（1）_线性方程组解的结构-思维导图-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

474 x 253 · jpeg
《数值分析》第6章解线性方程组的迭代法 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com

2914 x 1119 · jpeg
【线性代数】线性方程组如何求方程组的解/基础解系/通解 - SaTsuki26681534 - 博客园
素材来自:cnblogs.com

3264 x 2448 · jpeg
线性方程组解个数的判定和求解_齐次线性方程组解的判定-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net
966 x 643 · png
如何判断线性方程组是一个解还是无穷个解_如何判断无限界解-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

912 x 1056 · png
求解线性方程组的方法Matlab程序_求解下列线性方程组x-2y+3z=-10matlab-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net
608 x 702 · png
干货：2021考研线性代数之非齐次线性方程组解法_复习经验_考研帮（kaoyan.com）
素材来自:kaoyan.com