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递推公式最新视觉报道_通项公式的所有公式(2024年11月全程跟踪)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：热点更新日期：2024-11-26

递推公式

LeetCode攻略：递增子序列 𐟓š LeetCode 300. 最长递增子序列 1️⃣ 定义 dp[i]：以第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度。 2️⃣ 递推公式：如果 nums[i] > nums[j]，则 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。这意味着位置 i 的最长递增子序列长度等于从 0 到 i-1 的最长递增子序列长度加一的最大值。 3️⃣ 初始化：dp[i] 的初始值至少为 1，因为每个元素本身都是一个递增子序列。 4️⃣ 遍历顺序：外层循环遍历 i，内层循环遍历 j，从前往后进行遍历。 𐟓š LeetCode 674. 最长连续递增子序列 1️⃣ 定义 dp[i]：以第 i 个元素结尾的数组的最长连续递增子序列长度。 2️⃣ 递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + 1，当 nums[i] > nums[i - 1] 时。这意味着位置 i 的最长连续递增子序列长度等于前一个位置的最长连续递增子序列长度加一。 3️⃣ 初始化：dp[i] 的初始值至少为 1。 4️⃣ 遍历顺序：一层 for 循环从前往后遍历。 𐟓 总结：不连续递增序列与前0到i个状态有关，而连续递增序列只与前一个状态有关。

湖北沙市中学9月高三数学试卷真心不容易。选择题从第6题就开始要费脑子了，需要理解三次函数图像。第8题是借助斐波那契数列做引子，实际是考查连续三项的数列递推公式，也就是经常说道的特征根问题。第14题同样是一个排列问题，但相对简单，枚举分析容易出结果。第15，16都是考查课变形问题，一不小心就可能全军覆没，基础不扎实的同学容易出错。第18题又是双曲线加数列！总之就是考查计算能力，这道题好像之前在哪见过！！ #一年一度开学季#

卡特兰数：通项公式的求解卡特兰数（Catalan Number）在组合数学中是一个非常常见的数列，以比利时数学家欧仁ⷦŸ姐†ⷥᧉ𙥅𐧚„名字命名。这个数列在各种计数问题中都有出现。虽然它的递推公式相对简单，但得到通项公式却并不容易。这次我们将介绍一种使用生成函数法求解通项公式的方法，这种方法通常不会让人联想到组合数学中会出现根号，更不会想到这样复杂的运算之后，得到的通项公式会如此简洁。卡特兰数的定义和递推公式 𐟌𓊥ᧉ𙥅𐦕𐥏碌委褺Œ叉树的个数来表示。例如，C3=5，表示包含3个左括号和3个右括号的括号对序列的个数。根据分治的思想，递推公式为： Cn+1=∑Ckⷃn−kCn+1 = \sum C_k \cdot C_{n-k}Cn+1=∑Ck⋅Cn−k 其中，C0=1C_0 = 1C0=1。生成函数法 𐟓‰ 生成函数法是一种求解通项公式的方法。定义生成函数G(x)G(x)G(x)为： G(x)=∑CnxnG(x) = \sum C_n x^nG(x)=∑Cnxn 其中，nnn表示卡特兰数的下标。求解通项公式 𐟧€š过一系列复杂的运算，最终可以得到生成函数的表达式： G(x)=1+xC2(x)G(x) = 1 + x C_2(x)G(x)=1+xC2(x) 其中，C2(x)C_2(x)C2(x)表示另一个生成函数。进一步简化 𐟔„ 继续使用牛顿二项式定理进行简化，最终得到： G(x)=1−4x2(1−4x)2G(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2(1 - 4x)^2}G(x)=2(1−4x)21−4x\ 代入x=0x = 0x=0，可以得到卡特兰数的通项公式： Cn=2n−1n+1C_n = \frac{2^n - 1}{n + 1}Cn=n+12n−1 历史背景 𐟓œ 有趣的是，清朝数学家明安图在其《割圜密率捷法》中最先发明了这种计数方式，早于卡特兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”。通过这种方法，我们可以看到组合数学中的美妙和复杂性，同时也能够欣赏到历史上的数学成就。

圆周率是怎么计算出来的？ #热点引擎计划# #百家快评# #圆周率# 圆周率（(）的计算方法有很多种，以下是一些常见的方法：阿基米德的双侧逼近法：原理：使用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长来近似圆的周长，正多边形的边数越多，多边形周长就越接近圆的周长。通过计算正多边形的周长与直径的比值来逼近圆周率。步骤：首先，画出圆的内接正多边形和外切正多边形。然后，分别计算它们的周长。随着正多边形边数的增加，其周长会越来越接近圆的周长。最后，通过不断增加正多边形的边数，来提高对圆周率的近似程度。阿基米德最终计算到正96边形，并得出(约等于3.14的结果。刘徽的割圆术：原理：与阿基米德的方法类似，也是通过计算圆的内接正多边形的周长来逼近圆周率。刘徽提出了圆的内接正(N)边形边长与内接正(2N)边形边长之间的递推公式。步骤：先确定一个初始的正多边形（通常是正六边形），然后根据递推公式不断计算出内接正(2N)边形的边长。通过多次迭代，使正多边形的边数逐渐增加，从而得到更精确的圆周率近似值。刘徽计算到了圆的内接正3072边形，得到(的值大约是3.1416。祖冲之的方法：祖冲之使用“缀术”将圆周率的值计算到小数点后第七位，指出(3.1415926＜𜜳.1415927)，但其具体的计算方法已经失传。有科学家认为祖冲之的方法仍然是割圆法，但要得到如此高的精度，需要分割到24576边形，并从正六边形出发，迭代刘徽的公式12次，且在每次迭代过程中必须保证足够多的有效数字。其他方法：蒙特卡罗方法：利用随机模拟的方式来计算圆周率。通过在一个正方形内随机生成大量的点，并统计落在圆内的点的数量与总点数的比例，来近似得到圆的面积与正方形面积的比值，从而计算出圆周率。泰勒级数展开：利用数学中的泰勒级数展开来计算圆周率。例如，可以使用反正切函数(\arctan(x))的泰勒级数展开式，通过选择合适的(x)值，并进行大量的计算和求和，来逼近圆周率的值。

三叉树：从二叉树到更复杂的模型嘿，大家好！今天咱们来聊聊三叉树，这可是在二叉树基础上增加了一些自由度，让分布更接近正态分布哦！虽然主要是为了下一个话题铺垫，但这个三叉树还是挺有意思的。欧式期权定价 𐟓ˆ 在三叉树的最后一步，结点和相应的概率用显示表达式会比较复杂，但效果更好。具体来说，我们有： Cij=(P−(−p−gCnj∗BC))3+1 为什么要用三叉树？𐟤” 其实从三叉树的构造中可以发现，由于平行线的存在，我们可以把三叉树放入格点中。也就是说，我们完全不用被限制在一个初始值上，下移动叉树能填满任何一格点。而任何一格点都对应了时间和价格，递推公式依然成立。回忆一下，我们何时需要时间空间的格点？那就是偏微分方程！从某种意义上来说，三叉树和PDE解法是等价的。下次我们再细讲PDE，敬请期待！参考资料 𐟓š 如果你对三叉树还有疑问，可以看看以下几本书： Leslw, Chris Stand, Megese 希望这些资料能帮到你！今天就聊到这儿，下次再见！

掌握这些技巧，逻辑判断轻松满分！ 𐟓š 逻辑判断的秘诀：掌握底层逻辑，事半功倍！ 𐟔 翻译推理：关键在于理解逻辑关系！ 1️⃣ 翻译规则： 𐟔𙠥悦žœA，那么B：A→B 𐟔𙠥ꦜ‰A，才B：B→A 𐟔𙠩™䩝žA，否则不B：B→A 𐟔𙠩™䩝žA，否则B：⬂→A 𐟔𙠁是B的充分条件：A→B 𐟔𙠁是B的必要条件：B→A 𐟔𙠁并且B：A且B 𐟔𙠁或者B：A或B 𐟔𙠁和B至多有一个：⬁或⬂ 𐟔𙠨恤𙈁，要么B：要么A，要么B 2️⃣ 推理规则： 𐟔𙠢€œ且”关系：同真才真，一假则假 𐟔𙠢€œ或”关系：一真则真，同假才假 3️⃣ 德ⷦ‘馠𙥮š律： 𐟔𙠂쯼ˆA或B）=⬁且⬂ 𐟔𙠂쯼ˆA且B）=⬁或⬂ 𐟓š 集合推理：从基本命题到复杂推理 1️⃣ 基本命题： 𐟔𙠦‰€有S都是P：S→P 𐟔𙠦‰€有S都不是P：S→⬐ 𐟔𙠦œ‰的S是P：有的S→P 𐟔𙠦œ‰的S不是P：有的S→⬐ 2️⃣ 换位命题： 𐟔𙠦‰€有S都是P ⇒有的P是S 𐟔𙠦‰€有S都不是P ⇔所有P都不是S 𐟔𙠦œ‰的S是P ⇔有的P是S 3️⃣ 推出关系： 𐟔𙠦‰€有S都是P ⇒某个S是P ⇒有的S是P 𐟔𙠦‰€有S都不是P ⇒某个S不是P ⇒有的S不是P 4️⃣ 递推公式： 𐟔𙠁→B，B→C，推出：A→B→C 𐟔𙠤𘭩—𔨿ž项B，表达“所有” 𐟓š 真假推理：从矛盾到反对再到推出 1️⃣ 矛盾关系： 𐟔𙠨焥ˆ™：必有一真，必有一假 𐟔𙠶组矛盾： A vs ⬁ 所有S都是P vs 有的S不是P 所有S都不是P vs 有的S是P A且B vs ⬁或⬂ A或B vs ⬁且⬂ P→Q vs P且⬑ 2️⃣ 反对关系： 𐟔𙠨焥ˆ™：两个所有，必有一假；两个有的，必有一真 𐟔𙠲组反对：所有S都是P vs 所有S都不是P 有的S是P vs 有的S不是P 3️⃣ 推出关系： 𐟔𙠦‰€有S都是P ⇒某个S是P ⇒有的S是P 𐟔𙠦‰€有S都不是P ⇒某个S不是P ⇒有的S不是P 𐟔𙠁且B ⇒A（B）⇒A或B 𐟓š 备考资料推荐：题库、课程、文具等全攻略！题库：职测5000题、历年真题卷、粉笔APP 课程：陈子格事考，各科老师都很牛，应试技巧学透之后进面更稳！文具：活页本/A4纸、计时器

记得之前有个很火的思维方式，叫做底层逻辑。底层逻辑是指从事物的底层、本质出发，去思考问题的思维方式。它是一种基本的规律和原理，隐藏在各种现象和行为背后。而在高中数学中，底层逻辑是数学知识背后的基本原理、基本规则和基本思维方式。比如函数的底层逻辑是两个非空数集之间的一种对应关系。从定义域、值域、对应法则这几个基本要素去理解函数概念，这就是底层逻辑的体现。在高中数学学习中运用底层逻辑可以这样做：在概念学习时，要深入剖析概念的本质。以数列为例，它的底层逻辑是按照一定顺序排列的一列数。学习时就要紧扣数列的通项公式（描述数列中每一项与项数之间的关系）和递推公式（描述相邻几项之间的关系）这些核心内容，从本质上理解数列是一种特殊的函数，这样不管是等差数列还是等比数列，都能从函数的角度去理解其单调性等性质。在解题方面，运用底层逻辑可以帮助找到解题思路。例如在立体几何中，线面平行判定定理的底层逻辑是通过线线平行来推导线面平行。当遇到证明线面平行的题目时，就会主动去寻找线线平行关系，通过作辅助线等方法构造出符合定理条件的几何关系来解题。

𐟓š2024新高考一卷数学全解析𐟔 𐟎“ 2024年新高考一卷数学试卷来啦！整张试卷难度适中，但最后两道大题需要冷静处理哦。𐟧 𐟔 单选题中，第七题是课本原题，直接画图就能解决。第八题是数列问题，递推公式不会求的话，带数值到16也是个不错的选择。𐟘‰ 𐟤” 多选题第十题是三次函数问题，需要一点时间和计算量。第十一题是个叶形线问题，虽然不是标准的笛卡尔叶形线，但判断起来并不复杂。 𐟓 填空题都是基本问题，离心率求解、切线问题、概率问题，其中概率问题可以考虑直接枚举。解答题中，第十五题解三角形有点计算量但不难。 𐟘𒠧쬥六题椭圆问题很抽象，但用特殊的办法如几何法、参数方程等可以快速得到答案。第十七题立体几何，几何法和代数法都能做。 𐟤쬥八题前两问还好，第三问需要先依靠第二问的条件由函数的连续性把a算出来。第十九题是纯考思维的题目，需要竞赛思维才能处理。 𐟒ꠥŒ学们，加油哦！新高考一卷数学等你来挑战！

掌握这些技巧，逻辑判断轻松满分！不要再盲目刷题了，掌握底层逻辑才能事半功倍！ 𐟑𛠧🻨Ž觐†（必背！） 1⃣ 翻译规则如果A，那么B：A→B 只有A，才B：B→A 除非A，否则不B：B→A 除非A，否则B：⬂→A A是B的充分条件：A→B A是B的必要条件：B→A A并且B：A且B A或者B：A或B A和B至多有一个：⬁或⬂ 要么A，要么B：要么A，要么B 2⃣ 推理规则 “且”关系：同真才真，一假则假 “或”关系：一真则真，同假才假 3⃣ 德ⷦ‘馠𙥮š律 ⬯𜈁或B）＝⬁且⬂ ⬯𜈁且B）＝⬁或⬂ 𐟑𛠩›†合推理 1⃣ 基本命题所有S都是P：S→P 所有S都不是P：S→⬐ 有的S是P：有的S→P 有的S不是P：有的S→⬐ 2⃣ 换位命题所有S都是P ⇒有的P是S 所有S都不是P ⇔所有P都不是S 有的S是P ⇔有的P是S 3⃣ 推出关系所有S都是P ⇒某个S是P ⇒ 有的S是P 所有S都不是P ⇒某个S不是P ⇒ 有的S不是P 4⃣ 递推公式 A→B，B→C，推出：A→B→C 中间连项B，表达“所有” 𐟑𛠧œŸ假推理 1⃣ 矛盾关系规则：必有一真，必有一假 6组矛盾 A vs ⬁ 所有S都是P vs 有的S不是P 所有S都不是P vs 有的S是P A且B vs ⬁或⬂ A或B vs ⬁且⬂ P→Q vs P且⬑ 2⃣ 反对关系规则：两个所有，必有一假；两个有的，必有一真 2组反对所有S都是P vs 所有S都不是P 有的S是P vs 有的S不是P 3⃣ 推出关系所有S都是P ⇒某个S是P ⇒ 有的S是P 所有S都不是P ⇒某个S不是P ⇒ 有的S不是P A且B ⇒A（B）⇒A或B 𐟑𛠥䇨€ƒ资料题库：中公职测5000题、历年真题课程：陈.子.格事考，应试技巧学透之后进面更稳文具：活页本/A4纸、计时器

高中数学全解析：思维导图与实战技巧 𐟓š 高中数学学习指南：集合、映射、函数、导数及微积分集合与映射集合：元素、集合之间的关系集合的运算：交、并、补数轴、Venn图、函数图象映射：定义、表示列表法、图象法解析法值域：注意应用函数的单调性求值域单调性：证明单调性、复合函数的单调性奇偶性：定义、性质周期性：周期为T的奇函数f(x)=f(-x)=f(0)=0 对称性：函数图象的对称性函数函数的概念、性质图象：正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、正切函数y=tanx 单调性：证明单调性、复合函数的单调性奇偶性：定义域关于原点对称，在x=0处有定义的奇函数f(0)=0 最值：利用导数求最值导数与微积分导数的概念：几何意义、物理意义基本初等函数的导数：三次函数的性质、图象与应用导数的运算法则：单调性、极值导数的应用：极值、最值、生活中的优化问题定积分与微积分：定积分与图形的计算三角函数与平面向量三角函数的概念、性质三角函数的图象：正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、正切函数y=tanx 诱导公式、和差角公式、二倍角公式三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性平面向量的概念、性质数量积：夹角公式、共线与垂直解三角形：正弦定理、余弦定理的实际应用数列与不等式数列的概念、表示方法：通项公式、递推公式等差数列与等比数列的类比：前项和、前n项积常见递推类型及方法：逐差累加法、逐商累积法、构造等比数列法、构造等差数列法常见求和方法：公式法、倒序相加法、分组求和法、裂项求和法、错位相加法不等式的性质：借助二次函数的图象，三个二次的关系，元二次不等式基本不等式：应用时注意“一正二定三相等”

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