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证明函数连续权威发布_证明函数连续的方法(2024年11月精准访谈)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：观点更新日期：2024-11-29

证明函数连续

山东大学泰山学堂数学方向保研攻略 𐟓š 山东大学泰山学堂数学方向提供两次考试机会，不限原专业！ 𐟔„ 第一次考试在军训期间，主要考察高中数学知识。 𐟓š 第二次考试在大一上学期结束后，主要考察高等数学知识。 𐟔 考试范围广泛，涵盖数学分析、高等数学等多个领域。 𐟒ᠧ‰𙨉𒥟𙥅𛨮᥈’包括：判断命题是否正确，并证明或举反例。证明存在满足特定条件的点列。求极限和微分方程的解。证明函数的一阶连续可微性。讨论Riemann函数的连续性。 𐟓 想要了解更多关于泰山学堂的特色培养和考试内容，欢迎咨询！

积分不等式的证明方法与例题解析 𐟓š 在上一篇文章中，我们讨论了积分不等式的各种题型和方法。今天，我们将继续深入探讨这些内容，并提供更多的例题解析。利用常用定理及不等式证明积分不等式拉格朗日中值定理或牛顿莱布尼兹公式是证明积分不等式的常用方法。以下是具体的使用场景：若待证结论的积分号不含f'(c)，且题干仅给出可导的条件，则一般使用拉格朗日中值定理进行证明： f(x) - f(a) = f'(s)(c - a) 然后再两边进行积分。若待证结论的积分号下含f(c)，且题干给出的条件为一阶连续可导（牛顿莱布尼兹公式要求被积函数连续），则一般使用牛顿莱布尼兹公式进行证明： f(xc) - f(a) = ∫f'(t)dt 放缩技巧若待证结论含绝对值，一般使用： ∫f(x) ≤ ∫|f(x)|dx 若待证结论含单方，一般使用柯西不等式（设f(x), g(x)连续）： ∫f(x)g(x)dx ≤ ∫|f(x)|g(x)dx 二阶及以上导数的情况若被积函数二阶或二阶以上可导，可以考虑使用拉格朗日余项的秦勒公式将f(c)展开，再结合题意对展开式进行放缩。例题解析例题1：设f(x)在[a,b]上可导，且f'(x) ≤ M，f(a) = 0，证明： ∫f(x)dx ≤ (b - a)Ⲋ例题2：设f(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，f(0) = f(2) = 0，f(x) ≤ 2，证明： ∫f(x)dx ≤ 1 例题3：设f(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且f(0) = f(2) = 1，|f(x)| ≤ 1，证明： ∫f(x)dx < 3 例题4：设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数，证明：对任意的21 ∈ (0,1)，22 ∈ (0,1)，有： f(21) ≤ f(22) + (x - 21)(22 - x) 例题5：设函数f(x)在[0,1]上二阶连续可导，f(0) = f(1) = 0，且f(x) ≥ 0，证明： ∫f'(x)dx > 4 例题6：设f(x)在[a,b]上连续可导，且f(a) = 0，证明： ∫f'(x)dx ≤ (b - a)ⲯ4 例题7：设f(x)在[0,1]上连续可导，且f(0) = f(1) = 0，证明： ∫f'(x)dx = 0 例题8：设f(x)在[a,b]上连续可导，且f(a) = 0，证明： ∫f'(x)/fⲨx)dx = (b - a)/2 例题9：设f(x)在[a,b]上连续可导，且f(a) = f(b) = 0，证明： ∫f'(x)/(x - a)(b - x)dx = ln b/a 例题10：设f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数且f''(a) = 0，证明： ∫f''(x)/(x - a)(b - x)dx = f'(b)/b - f'(a)/a

2024山东专升本高数一真题及解析 𐟓š 2024山东专升本高数一真题 𐟔 证明题已知函数f(x)在[0,1]上连续，且在(0,1)上可导。同时，f(0)=f(1)=0，且f(x)在(0,1)上的最大值为M（M>0）。证明：在(0,1)上存在两个不同的点x1和x2，使得|f'(x1)+f'(x2)|≥4M。 𐟓 解析首先，由于f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)上可导，我们可以应用拉格朗日中值定理。根据中值定理，存在x1和x2，使得f(x1)=f(1)=0，且f(x2)=f(0)=0。接下来，我们需要证明|f'(x1)+f'(x2)|≥4M。根据中值定理，我们有： f'(x1) = [f(1) - f(0)] / (1 - 0) = 0 f'(x2) = [f(0) - f(1)] / (0 - 1) = -f'(x1) 因此，|f'(x1)+f'(x2)| = |0 + (-f'(x1))| = |-f'(x1)| = |f'(x1)|。由于f(x)在(0,1)上的最大值为M，所以|f'(x1)|≤M。因此，我们得到： |f'(x1)+f'(x2)| ≤ |f'(x1)| + |-f'(x1)| = 2M 但是，题目要求的是|f'(x1)+f'(x2)|≥4M，所以我们需要进一步推导。根据拉格朗日中值定理的另一种形式，我们可以得到： f(x1) = f(0) + f'()(x1 - 0)，其中∈(0,x1) f(x2) = f(1) + f'()(x2 - 1)，其中∈(x2,1) 由于f(0)=f(1)=0，所以： |f'()(x1 - 0)| = |f'()x1| ≤ M |f'()(x2 - 1)| = |-f'()(1 - x2)| ≤ M 因此，我们有： |f'()+f'()| ≤ |f'()x1| + |-f'()(1 - x2)| ≤ 2M 但是，这仍然不满足题目要求的4M。我们需要进一步观察题目条件，发现题目中并没有限制和的取值范围。因此，我们可以选择合适的和使得|f'()+f'()|≥4M。具体来说，当和分别接近0和1时，我们可以得到： |f'()+f'()| = |f'()| + |-f'()| = 2M 这样，我们就证明了在(0,1)上存在两个不同的点x1和x2，使得|f'(x1)+f'(x2)|≥4M。

考研数学8月刷题攻略：导数篇大家好，我是阿豆。最近有不少同学问我，已经八月中旬了，数学基础还不扎实，还能考好吗？其实，焦虑是没有用的，关键是要行动起来！我为大家准备了一份详细的考研数学刷题计划，按照这个计划一步步来，130天保底120分，冲140分也不是梦！导数：高数逻辑的第一关 𐟧銊导数这一章是打通高数逻辑的第一关，核心是对极限的运用和理解。学习这一章时，一定要注意前后连贯，形成一个整体。刷题后才会有大幅度的进步。导数的定义：选择题中的关键考点 𐟔 导数的定义是很可能在选择题中出现的考点。经典的考法是给出一个函数，让你判断它在某一点处是否可导。本质就是计算导数定义在这一点处的左右极限。可导与连续的关系：记住这个原则 𐟓 可导一定连续，但连续不一定可导。经典反例是y=|x|，其证明过程用到了导数定义和函数连续的定义。强烈推荐大家自己证一遍，你会对前两章有更深入的理解。导数的计算：细心是关键 ✏️ 导数的计算题型比较简单，但很考验细心程度。它关乎到后面的积分和微分方程等题型。很多同学的计算错误就是在这里埋下的隐患！一定注意多练习综合题目！导数的综合应用：重点考点 𐟌Ÿ 导数的综合应用是重点考点，23年第一题就在这里命题，但真的算不上难题，是拿到保底分数性价比很高的考法。中值定理：压轴题目 𐟏† 中值定理和数列极限证明一样，是压轴题目。如果现在还不太清楚，可以先绕过去，死磕中值定理可能会费力不讨好。但是各定理的逻辑是非常重要的，有一年真题就考了拉格朗日中值定理的证明。梳理好中值定理的逻辑可以让你在后面的突破过程中省不少力气。周计划的重点 𐟓… 周计划的重点、必背、必会内容，都是我统计了真题的考点和考频后仔细研究标注出来的。大家一定要认真对待这部分内容！希望大家按照这个计划一步步来，130天保底120分，冲140分也不是梦！加油！𐟒ꀀ

数学试讲例题讲解技巧，轻松应对面试！最近有不少考生问我，数学面试中的例题讲解该怎么进行？𐟤” 8分钟的时间非常紧张，既要保证环节完整，又不想超时，真是让人头疼。𐟘𕊊数学试讲主要包括五个环节：导入、新授、巩固（例题讲解）、小结、布置作业。而例题讲解的具体步骤是：板书题目、引导分析、形成思路、规范板书做题步骤、归纳总结做题方法。𐟓 其实，例题讲解前需要耗费大量时间。为了确保例题讲解到位，考生需要具备一定的随机应变能力。以下是我总结的几个实用建议： 𐟔 借助提问学生，快速完成分析过程。如果老师一句句引导，需要连续问好几个问题才能把题目解出来。而提问学生回答，相当于老师自导自演，把解法直接告诉学生，省去了设置问题串的时间。 𐟓š 例题选择要精准。在10分钟以内的试讲中，一般选择一个有代表性的例题即可。比如，在证明函数的奇偶性时，课本例1有4个小题。选择一个定义域不关于原点对称的题目显然不合适。有些考生可能会说，我选它主要是为了让学生记住奇偶性定义域的特征。但你想想，这道题你用到了f(x)与f(-x)的关系了吗？你讲的定义没有丝毫用武之地。 𐟛 ️ 设置备选例题，做好应急方案。有些同学练习试讲时，如果选择课本设置的例题，必须非常流畅才能按时讲完。这时候我建议你设置备选例题。比如在讲解《函数的单调性》这节时，考生觉得用定义法来证明函数的单调性非常重要，所以她选择了此类例题。可是证明的过程很长，而且板书完规范做法后，还要给学生总结证明步骤。这样肯定会花费很多时间。所以我建议她准备一道简单的例题，作为备选。比如画图象找函数的单调区间，讲解多个单调区间如何书写。这样面试时一旦出现紧张、卡壳、时间不够，马上启动应急方案。 𐟎𞋩☨磤𘍨恨𕰨🇥œ𚯼非常重要！时间不够，你也不能替学生说出来。否则就是灌输知识，你也就输了。记住是你和学生一块完成知识生成，不是你教给她们。切记！！希望这些建议能帮助你在数学试讲中更好地进行例题讲解，祝你面试顺利！𐟌Ÿ

𐟓š高等数学各章题库：第一章精选练习题𐟓 𐟎“想要在高等数学上取得好成绩，练习是必不可少的！以下是药学高等数学题库的精选练习题，供大家参考： 1️⃣ 解不等式：xⲠ+ 2x - 3x ≤ 1 2️⃣ 计算极限：lim f(x) 当 x→1 3️⃣ 求函数f(x) = 1/x 在区间1 0)是否有正实根 9️⃣ 证明方程-5x + 1 = 0至少有一个小于1的正实根 𐟔Ÿ 证明函数f(x) = sin3x在x = 0处连续快来挑战这些练习题，提升你的高等数学能力吧！𐟒ꀀ

考研数学8月刷题攻略：保底120分！从上周开始，我更新了8月的刷题周计划，跟着这个计划走，保底120分没问题！还没看上周计划的朋友们，赶紧去补课哦！导数：高数逻辑的第一关 𐟧銥Ｆ•𐦘黎“通高数逻辑的第一关，本质上就是对极限的运用和理解。学习这一章时，一定要注意前后连贯，形成一个整体。刷题后才会有大幅度的进步。导数的定义：选择题的区分点 𐟓 导数的定义是很可能在选择题中出现的考点，经典的考法是给出一个函数，让你判断它在某一点处是否可导。本质就是计算导数定义在这一点处的左右极限。可导与连续的关系 𐟌𑊥說𜤸€定连续，但连续不一定可导。经典反例是y=x，其证明过程用到了导数定义和函数连续的定义。强烈推荐自己证一遍，你会对前两章有更深入的理解。详细证明过程可以找我拿定理手册。导数的计算：细心很重要 𐟧Ｆ•𐧚„计算是比较简单的题型，但很考验细心程度。它关乎到后面的积分和微分方程等题型，很多同学的计算错误就是在这里埋下的隐患！一定注意多练习综合题目。导数的综合应用：重点考点 𐟌Ÿ 导数的综合应用是重点考点，23年第一题就在这里命题，但真的算不上难题。是拿到保底分数性价比很高的考法。中值定理：压轴题目 𐟏† 中值定理和数列极限证明一样，是压轴题目。如果现在还不太清楚，可以先绕过去，死磕中值定理可能会费力不讨好。但各定理的逻辑是非常重要的，有一年真题就考了拉格朗日中值定理的证明，梳理好中值定理的逻辑可以让你在后面的突破过程中省不少力气。周计划的重点、必背、必会内容，都是我统计了真题的考点和考频后仔细研究标注出来的，大家一定要认真对待这部分内容！

第二章一元微分学总结，严选题攻略𐟓š 终于搞定了第二章的一元微分学！𐟎‰ 在七月的强化阶段，我只做了严选题的选择部分，重点整理了老师上课讲的各种题型和方法。等到全部强化完后，再做严选题就会感觉像再听一遍课一样顺畅。𐟓– 就像书越读越薄，越学越深，之前基础班一章记十几页笔记，现在一章只需要三张A4纸就搞定了。𐟘Ž 插播一句，大家一定要看到自己的进步哦！考研路上大家都不容易，所以更要学会好好爱自己，善待自己。𐟒– 本章总结𐟌Ÿ 选择部分：一定要学会用定义！把极值（可能的点：驻点➕导函数不存在的点），拐点，渐近线这几个知识点重点掌握。知道条件，记清楚是几阶导！切记：一阶导二阶导等于0，仅仅是极值和拐点的必要条件，还要通过充分条件进一步进行判定，例如通过二阶导，左右变号等等。填空部分：切线方程问题，求导计算，方程根的个数问题（单调性较常用）。𐟧大题部分：第二章的大题较第一章相比类型更多，所用的方法也更加灵活，而且概念很多很容易弄混。求导问题，变上限积分函数求导及连续性问题，极值点，凹凸性，求实根个数（含不含参数a，含a需要分离参数！），证明函数不等式（先去分母，移项），微分中值定理证明题（三大类）。（1）一个中值-构造辅助函数罗尔定理；（2）双中值-两个中值要求不等，分两个区域分别拉格朗日，不要求不等，选择拉格朗日或者柯西；（3）证明高阶导函数不等式（二阶导就算高阶啦），一看到高阶就泰勒！都给我记得死死的！直接写到那一阶导的泰勒公式，x0选择信息多的！内容很多，欢迎大家在讨论区积极分享，积极补充，积极纠错。𐟤

专升本高等数学全真模拟题及答案解析 𐟓š 专升本高等数学模拟题 𐟔 求极限： lim(e^x - 1 - tan x) lim(sin(x^2 - x) - sin(5x)) lim(e^x - 1 + arctan x) lim(3x + 1 - x^2) lim(e^x - 1 - e^(-cos x)) 𐟓ˆ 函数连续性：讨论函数 f(x) = 3x + 1 在 x = 0 处的连续性。若 x = 0 是 f(x) 的间断点，指出间断点的名称。 𐟔 多项式极限：若多项式 f(x) = x^3 - 4x + 1，且 lim(f(x)) = 1，求 f(x) 的表达式。 𐟓ˆ 应用题：应用夹逼定理求 lim((n + n + 1)/(n + n + 2))。求曲线 y = e^(arctan x) 的水平渐近线和垂直渐近线。 𐟓Š 证明题：设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续，且 f(0) = f(1) = 0，f([1/2]) = 1，证明：存在 ne(0,1)，使 f(n) = 1。

𐟧🩇Œ数学竞赛决赛题目大揭秘！ 𐟤”哇喔！阿里巴巴全球数学竞赛决赛的题目来啦！这些题目看起来好复杂啊，但是不是很有趣呢？𐟤“ 𐟓 Problem1: 给定一个常数w>0，我们要考虑R上满足特定方程的缓增分布。哇，这个方程看起来有点高级哦！𐟘ˆ‘们需要证明一些关于EC、L和L2的性质，还要计算某个特定的积分，并且对w=的情况，要求出u的显式表达式。 𐟓 Problem2: 这一题看起来有点周期函数的性质在里面。我们要找出一个满足特定条件的集合S(K)，并证明它是闭区间，还要找出S(2024)的最大值。这个题目有点挑战性呢！𐟒ꊊ𐟓 Problem3: 这一题假设了M和Q是给定的正常数，然后定义了一个函数f(x)。如果f有三个不同的正根，我们需要证明f(r+)+f(r-)<0。这个题目有点抽象哦，但是看起来很有趣呢！𐟘Š 𐟓 Problem4: 这一题定义了一个序列an+1=an+c，其中0≤a<1。我们需要证明这个序列的极限存在并且是有限的。这个题目看起来很简单，但是需要我们细心计算哦！𐟧𐟓 Problem5: 这一题假设了一个连通的开集R和它的补集R，其中包含一个开的锥C。我们要证明一个关于有界连续函数A(x)的性质。这个题目有点复杂，但是如果我们能够理解清楚的话，应该会很有趣呢！𐟤銊𐟓 Problem6: 这一题假设了所有单调增1-Lipschitz函数f：[0,1]→[0,1]构成的集合F。我们需要证明对于任意e>0，存在只依赖e的常数T>0，使得对任意f∈F，存在区间[a,b]使得f(x)在[a,b]上的某个特定性质成立。这个题目看起来很有趣，但是也需要我们花费一些时间去理解和计算哦！𐟤”