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函数的可导性权威发布_函数在该点的去心邻域内有定义(2024年12月精准访谈)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：观点更新日期：2024-12-03

函数的可导性

绝对值函数可导性快速判断法𐟚€ 绝对值函数的可导性判断其实有妙招！𐟒ᠥ꩜€记住一点：绝对值外零点和绝对值内零点，两者相等的点即为可导点。是不是很简单？𐟘‰ 𐟔 经典例题：函数f(x)=x3-xx2-2x-3有几个不可导的点？答案：x=0,1,3。 𐟎🫩€Ÿ判断法则：若f(x)在x=a处连续，且g(a)=0，则f(x)在x=a处可导，且f'(a)=g(a)=0。若g(a)≠0，则f(x)在x=a处不可导。 𐟓š 深入理解：设f(x)=(x-a)x-al，当k=0时，f(x)=x-al在x=a处不可导。当k=1时，f(x)=(xr-a)x=al在x=a处一阶可导，但二阶导数不存在。当k=2时，f(x)=(x=a)x=al在x=a处二阶可导，但三阶导数不存在。 𐟒ᠥ𐏨𔴥㫯𜚊对于函数f(x)=x3-xx2-2x-3，考虑点x=0,1,-1,3，分别计算g(x)的值，判断其在这些点处的可导性。 𐟎‰ 现在，你掌握了绝对值函数可导性的快速判断法了吗？快去试试吧！𐟌Ÿ

考研数学二大纲全解析！ 𐟓š 考研数学二大纲详解 𐟔 考试科目：高等数学、线性代数 ⏰ 考试形式：闭卷笔试，共180分钟 𐟓Š 试卷结构：试卷满分150分单选题：10题，每题5分，共50分填空题：6题，每题5分，共30分解答题：6题，共70分 𐟓ˆ 微分学部分占118分，线代部分占32分 𐟓š 高等数学函数、极限、连续导数和微分不定积分与定积分多元函数微积分学常微分方程 𐟓š 线性代数行列式矩阵向量线性方程组矩阵的特征值与特征向量二次型 𐟓ˆ 详细大纲内容：函数的概念及表示法：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。复合函数、反函数、分段函数，以及函数的图形和性质。导数和微分的概念：导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系。导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。不定积分与定积分：原函数的概念，不定积分的性质和基本积分公式。定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，定积分的换元积分法和分部积分法。多元函数微积分学：多元函数的概念，二元函数的几何意义。多元函数的极限与连续性，多元函数的偏导数和全微分，多元复合函数和隐函数的求导法。二重积分的概念、基本性质和计算方法。常微分方程：常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程。线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程。线性代数：行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理。矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质。矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价。分块矩阵及其运算。向量的概念，向量的线性组合与线性表示，向量的线性相关与线性无关。向量的极大线性无关组，向量组的秩。矩阵的特征值与特征向量的概念和性质，相似矩阵的概念及性质。实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的标准形和规范形。二次型及其矩阵的正定性。差分与差分方程的概念，差分方程的通解与特解，一阶常系数线性差分方程。微分方程的简单应用。

全国大学生数学竞赛非数学类考试大纲𐟓š 嘿，参加第十六届全国大学生数学竞赛的小伙伴们，这里有一份最新的非数学类考试大纲，赶紧收藏起来吧！相比于数学类，非数学类只考高数和高代，内容精简了不少，认真复习拿奖希望很大哦！高等数学部分 𐟓– 函数、极限、连续函数的概念及表示法：简单应用问题的函数关系的建立。函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性。复合函数、反函数、分段函数和隐函数：基本初等函数的性质及其图形。数列极限与函数极限：定义及其性质，函数的左极限与右极限。无穷小和无穷大的概念：关系、无穷小的性质及无穷小的比较。极限的四则运算：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限。函数的连续性：左连续与右连续，函数间断点的类型。连续函数的性质：初等函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、最大值和最小值定理、介值定理。一元函数微分学 𐟎Ｆ•𐥒Œ微分的概念：几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系。平面曲线的切线和法线。微分中值定理：罗尔定理和拉格朗日中值定理。导数的应用：单调性、极值和最值问题。一元函数积分学 𐟚€ 不定积分的概念和性质：换元积分法、分部积分法。定积分的概念和性质：几何意义，定积分的计算方法。定积分的应用：平面图形的面积、体积、旋转体的侧面积。线性代数部分 𐟧ጥˆ—式与矩阵 𐟔 行列式的概念和性质：二阶行列式、三阶行列式。矩阵的概念和性质：矩阵的加法和乘法，矩阵的转置。矩阵的逆运算：矩阵的逆矩阵及其计算方法。线性方程组 𐟚€ 线性方程组的解法：消元法、克莱姆法则。非齐次线性方程组解的结构及通解。用初等行变换求解线性方程组。矩阵的特征值和特征向量 𐟌 矩阵的特征值和特征向量的概念及性质：求矩阵的特征值和特征向量。相似矩阵的概念与性质：矩阵可相似对角化的充分必要条件，将矩阵化为相似对角矩阵的方法。实对称矩阵的特征值和特征向量的性质：主轴定理。二次型 𐟌 二次型及其矩阵表示：二次型的秩、合同变换与合同矩阵、二次型的标准形与规范形、惯性定理。用正交变换与配方法化二次型为标准形。正定二次型、正定矩阵及其判别法。希望这份大纲能帮到你们，祝大家考试顺利，拿奖拿到手软！𐟒ꀀ

考研高等数学知识点全解析 1. 𐟓– 掌握导数的概念和微分的定义，理解导数与微分的关系，掌握导数的几何意义，能够求解平面曲线的切线和法线方程，了解导数的物理意义，并用导数描述物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 𐟓 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟悉基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，能够求解函数的微分。 𐟓ˆ 了解高阶导数的概念，能够求解简单函数的高阶导数。 𐟓Š 掌握分段函数的导数求解方法，能够求解隐函数和由参数方程确定的函数以及反函数的导数。 𐟓 理解并应用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并应用柯西中值定理。 𐟔⠦ŽŒ握用洛必达法则求解未定式极限的方法。 𐟏† 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 𐟌ˆ 掌握用导数判断函数图形的凹凸性（在区间内，设函数具有二阶导数。当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的），能够求解函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，能够描绘函数的图形。

考研数学60天冲刺计划，阿强亲授！大家好，我是阿强，考研数三考了146分。对于那些还没好好复习考研数学的同学，现在开始努力是完全来得及的。60天的时间足够你把所有题型刷两遍。以下是我为大家制定的一轮复习时间和学习计划，按照这个时间和知识点进行完一轮复习后，再进行二轮复习。大家在跟着学习的时候，一定要注意每天学习的重点，一定要在睡觉前把这些重点都掌握好。 10月24日复习重点极限存在才能拆开算函数可导性与洛必达使用次数泰勒公式的展开阶数直接使用等价无穷小的情形求极限时积分中值定理的运用无穷小的运算规则极限中变限积分的处理 10月25日复习重点导数定义的形式变限积分求导公式复合函数求导规则 10月26日复习重点反函数求导公式的推导求具体点/整个函数的高阶导 10月27日复习重点结合单调性、最值和中值定理证明不等式大家可以按照这个规划表格，先复习完第一轮。最重要的是看清楚下面的测试时间，抓紧时间做一下测试，检验一下学习成果，做好复盘！希望大家都能顺利备考，取得好成绩！

𐟤” 可导与连续：你真的了解吗？ 𐟓š 在数学的世界里，函数的可导性和连续性是两个重要的概念。我们常常听到“可导必连续”，但真的是这样吗？让我们一起来探讨一下。 𐟒ᠩ斥…ˆ，让我们明确一点：可去跳跃间断点和震荡间断点。可去跳跃间断点是指函数在某点有定义，但该点的极限不存在，这种情况下的函数是不可导的。而震荡间断点则是指函数在某点附近振荡，虽然极限存在，但函数在该点不可导。 𐟔 对于可去跳跃间断点，我们可以发现它们必定没有原函数，因此也就不可导。而对于震荡间断点，情况则更为复杂。虽然它们可能有原函数，但也可能没有。 𐟌€ 举个例子，考虑函数f(x) = xsin(1/x)，它在x=0处有一个振荡间断点。虽然这个函数在x=0处不可导，但它在其他点上是可导的。这就说明，即使函数在某点不可导，也不一定意味着它在整个定义域上不可导。 𐟓 总结一下，我们可以得出结论：可导函数在其定义域内一定是连续的，但连续函数不一定可导。对于那些含有第一类间断点和无穷间断点的函数，情况更是如此。因此，“可导必连续”这句话并不完全正确。 𐟔 让我们再回到那个例子，f(x) = xsin(1/x)。虽然它在x=0处不可导，但它在其他点上是可导的。这说明，即使函数在某点不可导，也不一定意味着它在整个定义域上不可导。 𐟓 所以，当我们谈论函数的可导性和连续性时，一定要小心谨慎。不要轻易下结论，而是要具体问题具体分析。这样才能更好地理解和掌握这两个重要的数学概念。

2025年考研数学大纲最新变化解析嘿，准备考研的小伙伴们，你们是不是也在关注今年的数学大纲有啥新变化？别急，我来给你们捋一捋。数二大纲基本不变 𐟓š 首先，数二的大纲基本上没啥大变化。高数部分还是那些老知识点，线代和概率论也还是那些内容。不过，概率论里有个小变动，把“掌握用事件独立性进行概率计算的方法”改成了“掌握用事件独立性进行概率计算”。虽然看起来不起眼，但大家还是要留意一下哦。高数部分 𐟓– 函数、极限、连续：这部分内容基本上还是那些经典的考点，像函数的单调性、周期性、奇偶性，还有函数关系的建立等等。极限的概念和性质也是重中之重。一元函数微分学：导数和微分的基础知识还是要掌握的，比如导数的几何意义、函数的可导性与连续性的关系。还有高阶导数、洛必达法则这些高级一点的技巧也要熟悉。一元函数积分学：不定积分和定积分的基本公式、性质和计算方法还是要牢记的。特别是定积分的几何意义和物理应用，像平面图形的面积、旋转体的体积这些都要会算。多元函数微积分学：这部分内容相对复杂一些，但也不必太紧张。多元函数的偏导数、全微分，还有多元函数的极值和条件极值这些都要掌握。特别是二重积分的计算方法和应用，像计算曲面的面积、旋转体的体积这些都要会做。常微分方程：这部分内容虽然有点繁琐，但也不难。像变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程这些基础题型还是要掌握的。特别是二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程的解法，还有一些简单的应用问题也要会解决。线代部分 𐟧ጥˆ—式：行列式的概念和性质还是要牢记的，特别是行列式按行（列）展开定理的应用。矩阵：矩阵的概念、线性运算、乘法、转置这些基础知识还是要掌握的。特别是矩阵的逆、伴随矩阵、初等变换这些高级一点的技巧也要熟悉。向量：向量的概念、线性组合与线性表示还是要牢记的。特别是向量的内积、正交规范化方法这些高级一点的技巧也要掌握。线性方程组：克拉默法则还是要会的，还有齐次和非齐次线性方程组的解法也要熟悉。特别是用初等行变换求解线性方程组的方法。矩阵的特征值与特征向量：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质还是要掌握的。特别是相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件也要熟悉。二次型：二次型及其矩阵表示还是要牢记的，特别是合同变换与合同矩阵的概念、二次型的标准形和规范形也要掌握。还有用正交变换和配方法化二次型为标准形的方法也要熟悉。小结 𐟓 总的来说，今年的数学大纲变化不大，但还是有些细节需要注意。大家还是要按照自己的计划好好复习，争取在考试中取得好成绩！加油吧！𐟒ꀀ

同济高等数学第七版上下册PDF+习题全解 𐟓š 同济高等数学第七版上下册及习题全解分享 𐟓– 目录第一章函数与极限第一节映射与函数映射与函数的概念习题1-1 第二节数列的极限数列极限的定义收敛数列的性质习题1-2 第三节函数的极限函数极限的定义函数极限的性质习题1-3 第四节无穷小与无穷大无穷小的概念无穷大的概念习题1-4 第五节极限运算法则极限运算法则习题1-5 第六节极限存在准则和两个重要极限极限存在准则两个重要极限习题1-6 第七节无穷小的比较无穷小的比较习题1-7 第八节函数的连续性与间断点函数的连续性函数的间断点习题1-8 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的和、差、积、商的连续性反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性习题1-9 第十节闭区间上连续函数的性质有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理一致连续性习题1-10 第二章导数与微分第一节导数概念导数的定义导数的几何意义函数可导性与连续性的关系习题2-1 第二节函数的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则

𐟓ˆ可导、连续、可积、偏导之间的关系𐟔 𐟔在数学的世界里，函数的各种性质之间有着微妙的关系。让我们一起来探索这些关系吧！ 𐟓Œ首先，可导的函数一定是连续的，但连续的函数不一定可导。这意味着，函数的连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件。 𐟓Œ接下来，连续的函数一定是可积的，但可积的函数不一定连续。这告诉我们，可积性是连续性的充分条件，但不是必要条件。 𐟓Œ此外，连续的函数一定有界，但有界的函数不一定连续。这表明，函数的连续性是其有界性的必要条件，但不是充分条件。 𐟓Œ最后，可微的函数一定是连续的，但连续的函数不一定可微。这意味着，可微性是连续性的充分条件，但不是必要条件。 𐟔探索这些关系，我们可以更深入地理解函数的性质，感受数学的魅力。每个函数都有其独特的性质和内涵，等待我们去发现！

高数第二章：一元函数微分学全攻略 𐟌ˆ 一元函数微分学包括两个主要部分：导数与微分，以及导数的应用。 𐟌ˆ 第一节：导数与微分导数和微分的基本概念要清晰。可微性与可导性的等价关系。导数的几何意义：导数是切线的斜率，微分是切线上的增量。连续、可导、可微之间的关系要明确。求导公式要熟练，六种求导法则要掌握：复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、对数求导法、高阶导数求导。 𐟌ˆ 第二节：导数应用几种中值定理要理解。极值和最值问题。曲线的拐点与凹向。三种渐进线的求法以及曲率。 𐟌ˆ 题型分类概念题：利用概念解题。导数几何意义题。导数与微分计算题：重点考察求导法则。单调性、极值、最值问题。曲线的凹向、拐点、渐进线和曲率。根的存在问题。证明函数不等式。微分中值有关证明题。 𐟌ˆ 笔记中的题目要多做，通过做题巩固知识点，提高效率。

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