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常数项级数前沿信息_常数项级数的概念和性质教学设计(2024年12月实时热点)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：教程更新日期：2024-12-03

常数项级数

高数第九章：无穷级数全解析 ### 一、常数项级数：基础与性质 𐟓š 常数项级数的定义常数项级数，顾名思义，就是每一项都是常数的级数。它的定义很简单，就是一堆常数排成一队，形成级数。常数项级数的敛散性级数的敛散性是级数的一个重要性质。常数项级数要么收敛（即和存在），要么发散（即和不存在）。常数项级数的性质常数项级数有五个基本性质，这些性质在解题时非常有用。二、常数项级数的审敛性：技巧与策略 𐟔 正项级数正项级数就是所有项都是正数的级数。它的审敛有特定的条件和技巧。正项级数的定义正项级数的定义很简单，就是所有项都是正数的级数。正项级数审敛的充要条件正项级数收敛的充要条件是级数的和存在。正项级数审敛的充分条件虽然正项级数收敛的充要条件是级数的和存在，但有一些单向成立的充分条件，比如比较审敛法和比值审敛法。必考的三大级数 P级数及其拓展形式、等比级数是正项级数中必须掌握的三种级数。交错级数交错级数就是正负项交替出现的级数。它的审敛有特定的方法和技巧。交错级数的定义交错级数的定义很简单，就是正负项交替出现的级数。莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法是交错级数审敛的一种重要方法。加绝对值法加绝对值法是另一种审敛交错级数的方法。任意项级数：灵活与多变 𐟌ˆ 绝对值性质任意项级数的绝对值性质是判断级数收敛性的重要依据。绝对收敛与条件收敛任意项级数要么绝对收敛（即和存在），要么条件收敛（即和不存在）。任意项级数的判定方法总结任意项级数的判定方法，帮助你更好地理解和应用。三、幂级数：深入与拓展 𐟚€ 函数项级数函数项级数是幂级数的基础，它涉及到的概念和性质非常丰富。函数项级数的定义函数项级数的定义很简单，就是一堆函数排成一队，形成级数。函数项级数相关概念函数项级数涉及到的概念包括收敛域和和函数等。函数项级数收敛域的求法求函数项级数的收敛域是解题的关键。幂级数幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它有自己独特的性质和审敛方法。幂级数的定义幂级数的定义很简单，就是所有项都是幂函数的级数。阿贝尔定理阿贝尔定理是幂级数审敛的重要工具。幂级数收敛域的求法求幂级数的收敛域是解题的关键。幂级数的性质幂级数有一些重要的性质，比如和函数性质、逐项可导性和逐项可积性。角标变换角标变换是处理幂级数的一种技巧。函数的幂级数展开函数的幂级数展开是求函数和的重要方法。幂级数求和幂级数求和是求解级数和的关键步骤。通过这些内容，你可以全面掌握无穷级数的概念、性质和审敛方法，为高数的学习打下坚实的基础。

高数笔记：无穷级数的基本概念与性质 𐟓š 高数课程已经结束，明天我会分享一些整理好的笔记。 𐟓– 第一章：无穷级数 1️⃣ 常数项级数的收敛性：如果常数项级数满足某些条件，它就会收敛。例如，1+2+3+...，这是一个发散的级数。 2️⃣ 级数收敛的性质：如果两个级数都收敛，那么它们的和也收敛。具体问题具体分析，有时候改变级数的排列顺序或者去掉某些项并不会影响其收敛性。 3️⃣ 级数收敛的充分条件：如果级数的通项满足某些条件，那么这个级数就会收敛。例如，0.9+0.99+0.999+...，这是一个收敛的级数。 4️⃣ 幂级数的收敛半径：幂级数的收敛半径可以通过一些公式来计算，例如对于函数f(x)=∑(a_n x^n)，它的收敛半径可以通过解方程来找到。 5️⃣ 函数展开为幂级数：将函数展开为幂级数是一种重要的数学技巧，可以用于求解微分方程、计算积分等。例如，e^x=∑(x^n/n!)。 6️⃣ 傅里叶级数：傅里叶级数是周期函数的展开形式，它可以将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。例如，傅里叶级数可以用来描述音乐信号的频谱。 𐟓 第二章：常数项级数 1️⃣ 常数项级数的定义与性质：常数项级数是所有项都相同的级数。它们的收敛性可以通过一些基本公式来判断。例如，1+1+1+...，这是一个发散的级数。 2️⃣ 特殊类型的常数项级数：有些特殊类型的常数项级数可以通过一些技巧来计算。例如，调和级数（1+1/2+1/3+...），它是一个发散的级数。 3️⃣ 几何级数：几何级数是每一项都是前一项乘以某个常数的级数。它们的收敛性可以通过一些基本公式来判断。例如，2+4+8+...，这是一个发散的级数。 4️⃣ 复数域上的常数项级数：复数域上的常数项级数可以通过一些特殊的方法来计算。例如，复数的模和辐角可以帮助我们理解复数域上的常数项级数的性质。

专题十四里包含了21大纲新增考点，同学们一定要注意！另外，之前2018年考了级数压轴题，灵活考察了拉格朗日中值定理，数列的根，级数敛散性等等知识点，这些内容比较会出压轴题，大家要多熟悉一下。同学们下课按照思维导图梳理自己的知识点漏洞，争取常数项级数的敛散性相关考点没有盲区。好，同学们，加油！「考研数学武忠祥超话」「2025考研」「考研数学」「决战考研」

考研倒计时！拯救未来𐟒ꊰŸŒŸ“请务必一而再，再而三，三而不竭，千次万次，毫不犹豫地拯救自己于水火之中” 𐟓…上周总结 𐟓š英语： 05真题阅读1+精读完成 05真题阅读2+精读完成 05真题阅读3+精读完成背单词任务完成 𐟓–数学：多元函数微分学660+进阶完成多元函数积分+660+进阶完成无穷级数——常数项级数未完成 𐟓…本周计划 𐟓š英语： 05真题阅读4+精读背单词 𐟓–数学：无穷级数+进阶微分方程+660+进阶 𐟌🧢Ž碎念五一前完成高数一轮的flag好像要倒了，所以这周给自己安排的英语任务比较少，赶赶数学进度✊ 最近遇到好多事情，好烦心，好委屈，好想回家𐟘튦ƒ𓤸€拳打扁全世界𐟑Š 要注意言行举止，不能总是说烦死、无语死等不吉利的话，之后我会通通换成“好开心”（心平气和jpg）

级数收敛性判定方法全解析 𐟔娀ƒ前冲刺： [种草R]级数内容的难点在于将和放缩与收敛性判定结合。先判断收敛性，再进行求和。收敛性的判定规则并不复杂，但需要深入理解。 [种草R]复习本章的关键是理清每一步的逻辑关系，通过习题研究熟练掌握常用公式，看到题目就能迅速想到对应的公式。同时，总结一些常用的收敛和发散判断方法。 𐟔奸𘦕𐩡𙧺禕𐯼š [种草R]如果部分和能求出，就是收敛的；求不出就是发散的。 [种草R]收敛的必要条件是单项在趋近无穷时极限为0（不满足则一定是发散的）。 [种草R]收敛级数相加减一定也是收敛的。 [种草R]如果级数收敛，加括号后也一定收敛（但加括号后收敛不能反过来判断是否收敛）。 𐟔妎訮𚯼š [种草R]加括号后发散，那么原来也一定发散。 [拔草R]当原级数趋近无穷时趋近于0，然后相继两项加括号得到的级数收敛，那么原级数必收敛。 [拔草R]级数的敛散性和有限项无关，只考虑在趋近无穷的情况。 [拔草R]常用的级数如几何级数，q^n在|q|≥1时发散，在小于1时收敛，与等比数列有关。 [拔草R]p级数（后面有题）。 𐟔妭㩡𙧺禕𐧚„判定： [种草R]当级数每一项都≥0时，称为正项级数。正项级数的判定只能用于正项级数，非正项级数不可用。 [种草R]正项级数收敛的本质是部分和数列有界。 [拔草R]比较定理（与夹逼定理有同种理论），比较定理的极限形式。 [拔草R]比值和根值判别法：比值法的本质是寻找无穷项级数后一项和前一项之间的关系，如果是递增则无界，递减则有界。根值法本质转化为一个e指数，然后判断lnun的值在无穷的情况下与0之间的关系。 [拔草R]积分判别法：只要判别1到无穷上的积分收敛，也可以判断级数是收敛的。 [种草R]交错级数：一项正一项﹣的级数叫做交错级数，运用莱布尼兹法则，如果级数单调递减且无穷项趋近于0，则交错级数收敛。

级数收敛与发散的判断方法 𐟓š 常数项级数的定义与性质常数项级数就是每一项都固定的级数。它的收敛性可以通过一些方法来判断。等比级数如果等比级数的公比q的绝对值小于1，那么这个级数是收敛的。收敛的和可以用公式S_n = a / (1 - q)来计算。正项级数的判敛方法收敛原则：如果级数{S_n}有界（即单调不减且有上界），那么这个级数是收敛的。比较判别法：找另一个级数进行比较，如果从某一项起，这个级数大于等于原级数，那么原级数是收敛的；如果小于原级数，那么原级数是发散的。比较判别法的极限形式：找另一个级数，上下放求极限，如果极限趋于0，那么原级数是收敛的；如果极限趋于无穷，那么原级数是发散的；如果极限等于常数，那么原级数的敛散性不确定。比值判别法：后项比前一项，再求极限，极限小于1，收敛；大于1，发散；等于1，不定。根植判别法：开n次方根，再求极限，极限小于1，收敛，大于1发散。如果开N次方后不求极限直接能看出大于等于1，则一定发散。积分判别法：找一个单调减少的非负连续函数F(x)，使得un = F(n)，做反常积分，与级数同敛散。交错级数莱布尼兹判别法： un的极限趋于0 un单调不增（后项比前项；后项减前项；令为F函数求导）调和级数发散，但交错调和级数收敛。任意项级数加绝对值，用正项级数判敛法则。绝对收敛：加绝对值收敛，级数也收敛。条件收敛：级数收敛，加绝对值发散。幂级数求和un(x - x0)^n形式，和泰勒展开有联系。要求收敛区间和收敛域（用阿贝尔定理）。收敛域的求法：不缺项的幂级数：加绝对值，用比值或根植法，R = 1/p（极限存在），或∞（极限为0），或0（极限不存在）。缺项的幂级数：先加绝对值；再用正项级数比值或根植（要把x^n带上），令p小于1，得到关于X的定义域，即收敛域。 Ps：收敛半径不变，收敛域或因求导缩小；或因积分扩大。幂级数的和函数在收敛条件下，有数乘、倍加等线性性质；整个计算过程记得先标收敛域。计算手段：拆开成两个级数相乘的形式（涉及恒等变形，使两个级数通项幂次数相等、下标相同）。重要展开式

𐟓š 无穷级数探秘 𐟔 𐟒ᠤ𝠦˜縷楯𙦗 穷级数感到好奇？让我们一起踏上这场数学之旅吧！ 𐟓– 常数项级数的收敛与发散，是数学分析中的重要概念。通过比较法、比值法等审敛准则，我们可以判断级数的性质。 𐟔젦Ž⧴⤺䥏‰级数的莱布尼茨准则，以及绝对收敛与条件收敛的奥秘。这些知识点，将带你领略数学世界的奇妙。 𐟒ꠥ𙂧𚧦•𐥜襅𖦔𖦕›区间内的基本性质，是数学分析的基石。让我们一起揭开它的神秘面纱！ 𐟌 傅里叶级数，则是周期函数的展开式。通过奇偶函数展开，我们可以更深入地理解数学中的和谐之美。 𐟌Ÿ 无论你是数学爱好者，还是专业学习者，无穷级数都将为你打开新的数学世界大门。快来一起探索吧！

𐟎‰考研冲刺，高数核心知识点大串讲来啦！𐟎‰ 还有三周就考研，时间紧迫但别慌张！高数作为考研数学的重头戏，这些核心知识点你一定得掌握： 1. 函数、极限与连续 • 牢记两个重要极限：lim(sinx/x)=1 和 lim(1+1/x)^x=e。 • 掌握无穷小阶的比较，间断点类型的判断，以及渐近线的计算。 2. 一元函数微分学 • 导数的定义要清晰，会求平面曲线的切线方程。 • 复合函数、隐函数和参数方程的求导得熟练。 • 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理得会用，柯西中值定理也得了解。 3. 一元函数积分学 • 不定积分的基本公式得牢记，掌握换元积分法和分部积分法。 • 定积分的性质、计算及应用得熟练，会利用定积分求面积和旋转体的体积。 4. 多元函数微分学 • 多元函数的连续性、偏导存在以及可微之间的关系得理清。 • 复合函数和隐函数求偏导得会，特别是抽象函数的偏导。 • 多元函数的极值和最值问题得掌握。 5. 多元函数积分学 • 掌握二重积分的计算，会进行累次积分的换序与计算。 • 了解并会计算第二类曲线积分和第二类曲面积分（数一）。 • 会利用直角坐标、极坐标计算二重积分，利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分。 6. 微分方程 • 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 • 重点：微分方程的概念，变量可分离方程，一阶线性微分方程及二阶的常系数线性微分方程的解法。 7. 无穷级数（数一和数三） • 掌握常数项级数判敛的方法。 • 会求幂级数的收敛半径、收敛区间，能将函数展成傅立叶级数。 • 幂级数的展开与求和得会。 • 数项级数的概念与性质，正项级数的审敛法，交错级数及其审敛法，绝对收敛与条件收敛的概念得掌握。 𐟔奆𒥈𚦔𛧕尟”劊 • 错题本：把平时练习中的错题整理出来，分析错误原因，找到薄弱环节，针对性补强。 • 模拟考：每周至少进行一次模拟考试，严格按照考试时间和要求进行，培养时间管理能力和答题速度。 • 心态调整：保持良好的作息和心态，保证充足的睡眠和适当的运动，避免焦虑，树立信心。在主页橱窗我们给您精选了相关图书课程，助力你最后冲刺，加油！𐟒갟’갟’ꊊ#考研数学# #高数冲刺#

常数项级数敛散性判别方法，一篇搞定！ 𐟓š 常数项级数敛散性判别方法 𐟔 探索常数项级数的敛散性，我们有两种主要方法： 1️⃣ 比值审敛法 𐟔 何时使用？当级数中出现n^a（a为常数）时。 𐟓‰ 若比值小于1，则级数收敛。 𐟓ˆ 若比值大于1，则级数发散。 2️⃣ 根值审敛法 𐟔 当比值审敛法无法解决时，使用根值审敛法。 𐟓‰ 若根值小于1，则级数收敛。 𐟓ˆ 若根值大于1，则级数发散。 𐟓– 交错级数 𐟔 交错级数的审敛方法，莱布尼茨定理： 𐟓‰ 若交错级数单调递减且极限为0，则级数收敛。 𐟔 通过这些方法，我们可以轻松判断常数项级数的敛散性，为数学研究提供有力工具。

2024广东专插本高数备考全攻略 𐟓š 高数考试大纲选择题：15分，考察基本知识点的识记和理解。填空题：15分，测试对基本知识点的理解和把握。计算题：48分，主要考察知识点的计算分析能力。综合题：22分，综合运用各部分知识的能力。 ⏰ 考试时间考试形式：闭卷考试时间：120分钟试卷满分：100分 𐟓– 考试教材同济大学数学系编：《高等数学》（第七版）（上、下册），北京：高等教育出版社，2014年。赵树源主编：《微积分》（第四版）（经济应用数学基础（一）），北京：中国人民大学出版社，2016年。 𐟓ˆ 考试内容比例极限和连续：15% 一元函数微分学：27% 一元函数积分学：17% 多元函数微积分学初步：17% 常微分方程初步：10% 常数项级数：8% 𐟒ᠧ𝑨ﾦŽ訍高等数学精讲班科目：高等数学包含内容：视频、模拟题、真题、章节练习、配套资料、在线答疑课时：899分钟视频：40+ 章节练习：456题模拟题+真题：385题共13套 𐟔堧�‹优势入门导学：从考试情况解读到学习方法，制定学习计划。精讲考试大纲：掌握知识点，夯实基础。强化重要知识点：详解历年真题题型，掌握考点和出题规律。灵活上课：多终端学习，离线缓存，随时观看。收藏视频和习题：温故知新，查漏补缺。 𐟓š 其他科目公共课：政治、英语专业基础课：经济学、生理学、民法学、教育理论、大学语文、高等数学、管理学、艺术概论专业综合课：机械工程基础、学前教育基础、英语基础与写作、设计基础、汉语言文学学科基础、电子技术基础、国际贸易理论与实务、法理学、基础会计学、行政管理学、人力资源管理、电子商务概论、计算机基础与程序设计、市场营销学、金融学感兴趣的同学可以进一步了解哦！

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