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矩阵二范数前沿信息_矩阵二范数性质(2024年11月实时热点)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：教程更新日期：2024-11-28

矩阵二范数

华科2023年高等工程数学试卷考点解析 𐟓 选择题：可逆概念的理解可对角化概念的理解线性方程组Jacobi/Gauss-Seidel迭代方法的收敛性判别迭代法的稳定性判断抽样分布的几个定理统计量中无偏性概念的辨别 𐟖‹️ 填空题： Hermite插值多项式满秩分解求cosx的一次最佳一致逼近给定数值求积公式形势下的代数精度矩阵的二范数极大似然估计法 𐟓 解答题：线性空间基的证明及线性空间的变换在不同基下的矩阵表示 Jordan标准型及e^At的求解 Gauss-Legendre和Gauss-Chebyshev两点求积公式（需对积分区间进行变换）方程零点存在性证明及迭代法解方程的收敛性证明数据的最小二乘拟合已知正态分布的均值和方差，求样本均值的单侧假设检验和样本方差的双侧假设检验

𐟓𑠧𚿤𘊧𚿤𛣨垥™诼š玩转线性代数小程序 𐟎“ 探索一个强大的线代计算工具——玩转线性代数小程序！ 𐟔 只需在微信搜索「玩转线性代数」即可轻松使用。 𐟧🙤𘪥𐏧若𚏨ƒ𝥤Ÿ处理各种复杂的线性代数问题，包括但不限于：行列式计算线性方程组求解矩阵秩的确定矩阵逆的计算矩阵加法、乘法、数乘特征值与特征向量的求解行最简型、行阶梯型、标准型的转换二次型化标准型矩阵的初等变换验证基础解系代数余子式、伴随矩阵的计算矩阵相似性判断矩阵方程的求解克莱姆法则的应用矩阵幂的计算 M-P、广义逆、最小二乘解、最佳最小二乘解矩阵范数的计算逆序数的求解转制矩阵、共轭转置的操作满秩分解、对角化、正交矩阵、Smith标准型、Jordan标准型、奇异值分解、QR分解、Lu分解向量的极大线性无关组、向量组的秩、正交化、过渡矩阵、向量的范数多项式的带余除法、综合除法、辗转相除法运筹学的大M法、对偶法 𐟓š 小程序中还提供了丰富的习题供用户练习，以及课本的课后答案供用户参考。 𐟒ᠥ🫦夽“验这个强大的线代计算工具，提升你的数学技能吧！

机器学习必备线性代数知识速查手册 ### 向量和矩阵的基本概念 𐟓 向量：向量是空间中的一个点或一组坐标的有序数组。简单来说，它就像一个箭头，指向某个方向。矩阵：矩阵是由一组行和列组成的矩形阵列，每个元素都可以用行和列的索引来标识。就像一个表格，每个格子都有一个值。向量的加法和标量乘法 𐟔„ 向量的加法：就是把两个向量的对应元素加起来。标量乘法：就是用一个标量（也就是一个数）乘以向量，结果是一个新的向量。这两个操作都可以表示向量之间的线性组合。向量的长度和单位向量 𐟓 向量的长度：也叫范数或模，是向量的大小或长度，可以用勾股定理来计算。单位向量：长度为1的向量，用来表示方向。就像一个单位圆上的点，长度总是1。矩阵的转置和逆矩阵 𐟔„ 矩阵的转置：把矩阵的行和列互换得到的新矩阵。就像把表格转个90度。逆矩阵：如果一个矩阵A存在逆矩阵A^-1，那么A*A^-1=I，其中I是单位矩阵。就像一个方程的解，有且只有一个。矩阵的乘法和行列式 𐟓ˆ 矩阵的乘法：两个矩阵相乘得到的新矩阵，需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。就像两个表格的乘积。行列式：一个方阵的行列式是一个标量值，表示该矩阵的行和列的线性关系。就像一个方程组的系数。特征向量和特征值 𐟌€ 特征向量：对于一个矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=，其中˜露€个标量，那么v就是A的特征向量。特征值：对于一个矩阵A和它的特征向量v，˜ﶧš„伸缩因子，称为A的特征值。就像一个弹簧的劲度系数。矩阵的奇异值分解 𐟔犥凥𜂥€𜥈†解：将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是左奇异矩阵、一个是右奇异矩阵，另一个是对角矩阵。就像把一个复杂的机器拆分成几个简单的部分。矩阵的范数 𐟓 矩阵的范数：矩阵的范数是矩阵向量的一种推广，用来衡量矩阵在空间中的大小。常用的矩阵范数包括L1范数、L2范数和Frobenius范数。就像一个物体的重量或体积。向量空间和线性变换 𐟌 向量空间：一个向量空间是由一组向量和一组标量（通常是实数或复数）构成的集合，满足一定的线性性质。线性变换：一个线性变换将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，并保持向量空间的线性性质不变。就像一个函数，输入一个值，输出一个新的值。线性方程组和解的表示 𐟓 线性方程组：一组线性方程的集合，其中每个方程都是形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b的形式。就像一堆方程组。解的表示：线性方程组的解可以表示为向量x的形式，其中x的每个元素对应一个未知数的解。就像一个方程组的解集。特征分解和奇异值分解的应用 𐟛 ️ 特征分解：一些数学问题可以通过特征分解来求解，例如求解矩阵的特征向量和特征值，或者求解线性方程组的解。奇异值分解：奇异值分解常用于数据压缩和降维等领域，例如在主成分分析（PCA）中，可以使用奇异值分解来求解数据的主成分。就像用一些简单的部分来描述一个复杂的事物。

清华AI夏令营笔试揭秘𐟓š 𐟎024年清华大学人工智能学院夏令营笔试，一场充满挑战的智力盛宴！以下是笔试的详细回忆版，带你一探究竟。 𐟓Œ 数学与概率部分： P1：三维点变换最小化二范数平方。已知N个三维点X和Y，估计A和T。 P2：二维实数列每行均值极限为0，每列均值极限也为0，求所有元素均值极限是否为0。 P3：抽象代数问题，将一群数学家放在两个大房间，求房间内每个数学家的朋友数均为偶数，证明总人数是0或2的幂次。 P4：随机过程问题，给定名字但忘记了具体内容，有a个红球和b个蓝球，每轮均匀随机抽取一个球，放回的同时再放入一个同色球，设X_T表示T轮后的红球数，证明X_T=1000a时E(T)≥999(a+b)。 𐟓Œ 算法部分： P1：邮局问题，第一问输入N点无序坐标，找到与N点距离和最小的点，要求线性时间并证明算法正确性。第二问k个邮局，还是找N点距离最近邮局的距离和，要求多项式时间复杂度。第三问不是数轴，改为图，距离为最短路，证明是NP-hard问题，并给出算法。 P2：monge矩阵问题，第一问证明对任何的mxn Monge矩阵,有f(1)≤f(2)≤≤f(m)。第二问计算m㗮的Monge矩阵A中每一行的最左最小值的索引f()，要求时间复杂度O(m+nlogm)。 P3：n点匹配连线不相交问题，给定平面上有n个白点和n个黑点，任意三点不共线，试将每个白点与一个黑点相连，要求所有连线互不相交，时间复杂度O(n^2logn)。 𐟓Œ 人工智能部分： P1：GPT预测句中token "People often eat in Shanghai"，第一问prefix为"People often eat'"有什么问题，正确方式是什么。第二问本地有GPT2模型（可以直接计算句子的概率似然），给出exact的方法来predict。第三问只能调用GPT4 API，第二问的方法还能用吗，如何用GPT4实现预测。 P2：反向传播问题，第一问back propagation计算。第二问forward-mode differentiation。第三问MLP用上述两种方法哪个有更低时间复杂度，为什么。 P3：离散域的Score function形式似乎是Diffusion的Score，后两问没来得及写。第一问证明离散方法是合理的（用了onehot来添加小误差），极限为概率密度函数对数的梯度。第二问去噪式子中有p_data hat_q(hat_㗼x)具体忘记了。第三问有diffusion中的二范数平方具体忘记了。这次笔试不仅考察了同学们的基础知识，还对大家的创新思维和解决问题的能力提出了挑战。希望这份回忆版能帮助到正在准备相关考试的你！𐟌Ÿ

南京理工大学高工数试卷解析 𐟓š五、（10分）已知矩阵A = [0 0 1]，求： A的奇异值分解； A的逆矩阵；矛盾方程组Ax = b的极小范数最小二乘解。 𐟓–六、（10分）令A = [ -12a ]，找出实数a的最大范围，使得Gauss-Seidel迭代法和Jacobi迭代法求解以A为系数的方程组同时收敛。 𐟧ƒ、（10分）用单纯形法求解问题： min 3x - 2x + x^2 st. 2x - 3x^2 + x = 1 2x + 3x^2 ≤ 8 x ≥ 0 𐟓ˆ八、（10分）考虑非线性优化问题： min (x - 1)(x + 1) st. x - 1 ≥ 0 求KT点；判断KT点是否是局部最优解。 𐟓‰九、（10分）用对数障碍罚函数法求解问题： min x^2 - 20x + 50 x ≥ 0 𐟓十、（10分）用列主元Gauss消去法解方程组： A矩阵的具体形式未给出，需根据题目要求进行计算。 𐟔„十一、（10分）写出求解线性方程组的Gauss-Seidel迭代格式，并讨论其敛散性。方程组的详细形式未给出，需根据题目要求进行计算。 𐟓Š十二、（10分）用单纯形法求解线性规划问题： -x + x ≤ 0 6x + 2x ≤ 21 x ≥ 0, j = 1,2,3,...,n 𐟓–十三、（10分）用最速下降法求解： min f(x) = 2x^2 - 2x，取初始点x，迭代一次。

阿里巴巴决赛的优化题挑战最近，阿里巴巴的数学竞赛可是火得不行，尤其是应用与计算数学赛道的那道题，简直让人欲罢不能。我也试着挑战了一下，结果只做对了第一问。不过，这题目确实有意思，涉及到向量求导、矩阵范数和不等式放缩，真是让人头大。神经网络目标函数的有界性证明 𐟧 这道题的第一问是证明神经网络目标函数的有界性。主要用到的是向量求导和矩阵范数的知识。具体来说，就是通过对目标函数进行求导，然后利用矩阵范数的性质来证明其有界性。这个过程虽然看起来简单，但实际操作起来还是挺复杂的。梯度下降与随机梯度下降的稳定性分析 𐟓‰ 第二问则是关于梯度下降和随机梯度下降的稳定性分析。题目假设有一个输出标量的深度神经网络，输入是x，权重是w。然后，它给出了一个关于w的损失函数Ls(w)。接着，分别讨论了梯度下降和随机梯度下降在特定条件下的稳定性。梯度下降的局部稳定性 𐟓ˆ 对于梯度下降法，题目要求证明如果学习率的谱范数满足某个条件，那么梯度下降是局部稳定的。这意味着损失函数对所有w都是有界的。这个证明过程需要用到矩阵范数的性质和一些不等式放缩的技巧。随机梯度下降的稳定性 𐟎𒊊对于随机梯度下降法，题目要求证明如果损失函数的期望对所有w都有界，那么随机梯度下降也是稳定的。这里的不等式放缩和噪声项的处理是比较关键的。总结与感想 𐟓 这道题真的是让我大开眼界，不仅考察了数学的基本功，还涉及到了一些机器学习和优化算法的知识。虽然我只做对了第一问，但这个过程让我对神经网络的优化有了更深入的理解。希望以后还能有机会继续挑战这种有趣的问题！

𐟧个Matlab矩阵函数速览𐟓– 𐟎Ž⧴⍡tlab的矩阵操作，这里为你总结了20个超实用的函数！ 1️⃣ zeros: 𐟒�›建全零矩阵，如A=zeros(3,4)。 2️⃣ ones: 𐟤生成全一矩阵，例如B=ones(2,5)。 3️⃣ eye: 𐟑️产生单位矩阵，比如C=eye(4)。 4️⃣ rand: 𐟎𒧔Ÿ成随机矩阵，如D=rand(3,3)，元素在[0,1]之间。 5️⃣ randn: 𐟓Š创建标准正态分布随机矩阵，E=randn(2,2)。 6️⃣ size: 𐟓获取矩阵维度，例如dims=size(D)。 7️⃣ length: 𐟓获取矩阵的最大维度，如len=length(D)。 8️⃣ reshape: 𐟎覔𙥏˜矩阵形状，如F=reshape(1:12,[3,4])。 9️⃣ transpose: 𐟔„矩阵转置，G=D'。 𐟔Ÿ inv: 𐟧 计算矩阵逆，H=inv(C)。 1️⃣1️⃣ det: 𐟧᧮—行列式，det_C=det(C)。 1️⃣2️⃣ eig: 𐟓–计算特征值和特征向量，[V,D]=eig(C)。 1️⃣3️⃣ rank: 𐟏†计算矩阵秩，r=rank(C)。 1️⃣4️⃣ norm: 𐟓计算矩阵范数，n=norm(D)。 1️⃣5️⃣ sum: 𐟓ˆ计算矩阵元素和，S=sum(D(:))。 1️⃣6️⃣ mean: 𐟓Š计算平均值，m=mean(D,1)。 1️⃣7️⃣ max: 𐟏†找到最大值，[max_val,idx]=max(D)。 1️⃣8️⃣ min: 𐟎黎𞥈𐦜€小值，[min_val,idx]=min(D)。 1️⃣9️⃣ diag: 𐟓创建对角矩阵或提取对角线，如diag_matrix=diag([1,2,3])。 2️⃣0️⃣ cat: 𐟐𑨿ž接多个矩阵，I=cat(1,A,B)。这些函数将助你高效进行矩阵运算和数据分析！𐟚€

如何平衡学习、工作与家庭？今天的学习日程安排得满满当当。早上，我投入了3小时的学习，从导数、微分到向量、行列式、矩阵、积分、极点、鞍点、范数、内积、定数、凸集、最优解、拉格朗日函数……仿佛是把大学所有科目的数学知识点都回顾了一遍，沉寂了20多年的知识如同被唤醒的狮子。𐟦 下午，我转战科技论文写作课程，老师用中英文夹杂的方式讲解，对照摘要和简介的范例，分析了常见的语法、时态和语态错误。𐟓 在这期间，我切换到公司，检查了一位加班同事的作业，并询问了另一位同事的进展和效果。𐟑颀𐟒𜊊同时，我一边听西交大学报的讲座，一边记录新知识：如何选择目标发表期刊，以及发表论文的注意事项和逻辑顺序。𐟓š 老师总结了知识点，并要求学生结对子，互相批改点评作业，还布置了限期作业。𐟓 之后，我与另一位同事进行了简短的沟通，坚定了我的一个想法，并减轻了惶恐。𐟑颀𐟒𜊊最后，我联系了一位朋友，准备启动新的篇章。𐟓 结束了一天的学习和工作，我赶去与儿子汇合，他上课，我准备放松一下，看看自己喜欢的书，做做读书摘录。𐟓– 想想自己奔五年纪，一边读博，一边工作，一边照顾读高三的孩子，一直在努力再努力，虽然辛苦，但难免顾此失彼。𐟑颀𐟎“ 到底如何平衡学习、工作和家庭呢？你认为成功的女人应该如何定义？你认识的成功女人有哪些特征？你最佩服她哪一方面？𐟤”𐟒က

[LG]《Rethinking Softmax: Self-Attention with Polynomial Activations》H Saratchandran, J Zheng, Y Ji, W Zhang, S Lucey [University of Adelaide] (2024)网页链接「机器学习」「人工智能」「论文」

人工智能之数学基础：矩阵的范数