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下三角行列式权威发布_3 3行列式的计算方法(2024年12月精准访谈)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：观点更新日期：2024-12-02

下三角行列式

𐟓š线代期末速成秘籍𐟒ኰŸ”二行列式计算：公式和技巧 𐟔三角形行列式：上三角和下三角的求解方法 𐟔范德蒙行列式：特点与求解公式 𐟔余子式与代数余子式：定义和计算方法 𐟔拆和法与拉普拉斯公式：行列式的计算技巧 𐟔矩阵的乘法与性质：矩阵相乘的规则和性质 𐟔抽象矩阵求逆矩阵：方法与步骤 𐟔数字型矩阵求逆矩阵：具体实例与解析 𐟔矩阵的秩：定义与计算方法 𐟔判别向量组的线性相关性：方法与实例 𐟔齐次方程组的基础解系与通解：求解步骤与解法 𐟔非齐次方程组的求解：特解与通解的求法 𐟔带参数方程组的求解：参数对解的影响掌握这些技巧，线代期末轻松过关！𐟎‰

LLM偏爱Decoder？原因在这！最近读了苏神的文章，关于LLM（Language Model）的架构选择，觉得有必要再复述一遍，加深理解。GPT（Generative Pre-trained Transformer）是典型的Decoder-only架构，而Google提出的T5模型则是Encoder-Decoder架构。简单来说，Encoder负责处理输入，Decoder负责处理输出。首先，Decoder-only架构的Encoder和Decoder都是单向注意力，而且可以共享参数，这使得它的参数量相对较少。而Encoder-Decoder架构的Encoder是双向注意力，Decoder是单向注意力，不共享参数，因此参数量是Decoder-only的两倍。这就意味着，我们不能简单地说T5的优势是因为将输入的注意力从单向改为双向带来的，因为没有控制变量（即参数量）。那么，为什么“输入部分的注意力改为双向不会带来收益”呢？这涉及到Attention矩阵的概念。Attention矩阵一般是由一个低秩分解的矩阵经过softmax得到。由于低秩分解降低了计算复杂度，但也导致了表达能力的下降。Decoder-only架构的Attention矩阵是一个下三角阵，由于softmax的存在，其对角线必然都是正数。而三角阵的行列式等于它对角线元素之积，所以它的行列式必然是正数，即Decoder-only架构的Attention矩阵一定是满秩的，满秩则代表更强的表达能力。改为双向反倒不如单向（Encoder-Decoder架构的Attention矩阵为正方形，此时不一定满秩）。苏神在面试题标答中指出：【LLM之所以主要都用Decoder-only架构，除了训练效率和工程实现上的优势外，在理论上是因为Encoder的双向注意力会存在低秩问题，这可能会削弱模型表达能力。就生成任务而言，引入双向注意力并无实质好处。而Encoder-Decoder架构之所以能够在某些场景下表现更好，大概只是因为它多了一倍参数。所以，在同等参数量、同等推理成本下，Decoder-only架构就是最优选择了。】苏神真是太强了！𐟒ꀀ

A-Level高数：两难解析𐟔 𐟌Ÿ A-Level高数涵盖了数列求和、根与系数关系、数学归纳法、极坐标、积分的应用、微分方程、德莫佛定理以及矩阵线性空间等多个部分。 𐟌Ÿ 在所有章节中，数学归纳法、德莫佛定理和矩阵线性空间是难度最高的部分。 1⃣️ 数学归纳法：这种方法可以应用于几乎所有的推导证明题，涉及的内容非常广泛，如求和公式、多边形内角和、导数、复数、除数以及矩阵等。由于涉及的内容较多，很多学生对这部分内容感到无从下手。 2⃣️ 德莫佛定理：复数部分的德莫佛定理是考试中最难的一部分。复数的表示复杂性以及德莫佛定理的公式，再加上与三角函数结合解方程等，让很多学生感到无从下手。 3⃣️ 矩阵线性空间：这是最抽象的一部分内容。矩阵变化、行列式变化、线性变化等概念非常抽象，如果不能从根本上理解，只能死板硬套做题。通过这些难点的解析，希望能帮助学生们更好地掌握A-Level高数的知识点，取得更好的成绩。

高中数学新教材变化，备考必看！ 𐟓š 高中数学新教材的知识点设置更加贴近全国卷考纲，这意味着2023年高考数学卷的难度可能会有所上升。以下是新教材与旧教材的主要变化： 1️⃣ 必修一反函数部分在新教材中被删除，不再作为考察点。 2️⃣ 必修二新教材将三角函数、复数和向量纳入高一下的教学内容，而旧教材则是三角函数和数列。 3️⃣ 必修三新教材删除了行列式和矩阵部分，改为立体几何和概率统计，解析几何则放在了限选一。 4️⃣ 选择性必修一限选一包括解析几何（平面直角坐标系、圆锥曲线）、空间向量和数列。数列部分取消了旧版教材中的极限部分，解析几何和空间向量部分与老教材区别不大，但增加了第二定义有关知识点。 5️⃣ 选择性必修二限选二中多了一章导数内容，导数部分出题往往结合函数，考察导函数、单调性、数形结合等内容。此外，排列组合和概率的深化，概率部分较之前内容有所扩充，难度增大，新增有限样本空间、百分数、全概率公式等内容。 6️⃣ 选择性必修三数学建模内容作为限选三在新教材中单独成册，体现了国家强调“数学要走向应用”的理念。 𐟓ˆ 这些变化为考生提供了备考方向，了解新教材的变化可以帮助你更好地应对高考数学卷。

𐟓š线性代数精华知识点速览 𐟔 探索线性代数的奥秘，这些知识点你必须掌握！ 1️⃣ 行列式 𐟧 逆序数与行列式定义 - 行列式性质：转置、互换、提公因式等 - 上（下）三角、副对角线行列式求值 - Laplace展开式与范德蒙德行列式 2️⃣ 矩阵运算 𐟒𛊭 矩阵乘法注意事项与技巧 - 矩阵的逆与初等变换 - 矩阵的秩与伴随矩阵的性质 - 分块矩阵的乘法与求逆 3️⃣ 向量运算与线性表示 𐟌𑊭 向量的内积、长度与正交定义 - 线性组合与线性表示的充要条件 - 线性相关与线性无关的判断与充要条件 𐟒ᠨ🙤𚛧Ÿ娯†点是线性代数的核心，掌握它们将助你轻松应对考试！加油哦！𐟌Ÿ

线性代数思维导图：行列式与矩阵 𐟓š 线性代数第一章：行列式 𐟔 行列式的定义行列式是一个数值，表示矩阵的线性变换的体积。定义方式：符号确定，偶排列为正号，奇排列为负号。 𐟔 行列式的展开式按行列展开的公式：det(A) = sum(aij*det(Aij))，其中Aij是去掉第i行和第j列的子矩阵。展开式可以按照不同的行或列进行。 𐟔 行列式的性质转置行列式：AT = AD = D。互换两行：行列式变号。两行成比例：行列式为0。两行相等：行列式为0。行列式中某一行所有元素都为0，则行列式为0。 𐟔 行列式的计算方法上三角行列式：选择上三角矩阵，利用高斯消元法计算。下三角行列式：选择下三角矩阵，利用高斯消元法计算。利用拉普拉斯展开法，选择不同的行或列进行展开。 𐟔 行列式的应用克拉默法则：用于解线性方程组，当系数矩阵行列式不为0时，方程组有唯一解。逆矩阵计算：利用行列式计算逆矩阵。特征值与特征向量：利用行列式计算特征值与特征向量。 𐟓š 矩阵的思维导图矩阵的概念与性质。矩阵的运算：加法、减法、乘法、转置等。矩阵的逆运算：求逆矩阵的方法。矩阵的特征值与特征向量。

教育心得分享：复盘与超越④ 最近在复习教育学的各种知识点，真是又爱又恨啊！𐟘… 来给大家分享一下我的复盘心得，希望能帮到同样在奋斗的你们。函数大小比较：T3 这个题目其实挺常规的，但我在做的时候太复杂化了。后来发现，考试的时候直接任取一个区间上的点代入，省时省力。抽象矩阵行列式计算：T6 这道题我错在了AB=O，r(A)+r(B)≤n，(AB)=4*3，n=4！其实应该根据关系式推出A的特征值，然后计算行列式。带参数无穷积分计算：T12 这个题目真是难到爆！我几乎没见过这种类型的题。后来发现有两种方法可以解决：方法一：变量代换(ex＝t)；倒代换(t＝1/u)。积分计算与积分字母无关，列出等式。方法二：三角换元：t＝tanu，切换弦(分子分母同乘cosu)；区间再现，消掉参数€‚ 方法三：利用ex和e-x互为倒数，令x＝-t；分子分母有理化，-t消为t。中心思想就是对积分作各种变换，最终消掉参数€‚ 抽象定积分求原函数：T14 这道题简直让我崩溃！技巧性太强了，做不出来。后来发现有两种方法：方法一：对f'进行分部积分不可取，因而对f进行分部。观察式子，凑完全平方，得出等式。方法二：观察式子，凑完全平方，得出等式。抽象函数求极限：T17 这道题我用无穷小的形式做错了，得出的是高阶无穷小是二阶的，分母是四阶的（不严谨）。后来发现有两种方法：方法一：用拉格朗日中值定理，凑导数定义。方法二：用洛必达法则（洛到一阶导数，二阶凑导数定义）。证明级数收敛性：T20 这道题有两个小问，第一问有连续导数，存在最大值，泰特展开，用绝对值放缩。第二问有两种方法：方法一：用第一问的结论。注意第一问是积分，内部求导才是f(x)，证明一阶连续即可。方法二：用等价无穷小。设内部～ax^p，用洛必达。求矩阵问题：T21 这道题我在考试的时候草稿纸没算完就写进答题卡了，写一半发现全部写错了，真是彻底疯狂！考试的时候一定要注意得出结果了再抄进答题卡！错因是主观臆想A的另一个特征值为2。其实应该设最后特征值为𜌦 𙦍𙥾向量正交，得出最后一个特征向量，用QTAQ＝对角阵（简法：谱分解A＝⧱⧱T+⧲⧲T+r⧳⧳T）。或者直接把A设出来，根据和B的关系+实对称矩阵的特征求解合个未知数。分段随机变量求期望：T22 这道题我转换成了联合概率密度求均值。其实也可以用其他方法解决，但这个方法对我来说比较直观。希望这些分享能帮到你们，大家一起加油吧！𐟒ꀀ

𐟓š自考线性代数10页速成攻略𐟓– 𐟓š 这次分享的是自考线性代数经管类的速成攻略，适合没有数学基础的小伙伴们。只需十页纸，助你轻松上岸！ 𐟔 第一章行列式 1️⃣ 二阶行列式：D2 = ad - bc 2️⃣ 三阶行列式：D3 = a2a3 - a1a3 + a1a2 - a2a1 3️⃣ 行列式展开定理：D = aiAi + aiAi + ... + aiAi 4️⃣ 上三角和下三角行列式：只需对角线数字相乘即可 5️⃣ 行列式和转置行列式：D = DT 6️⃣ 行列式乘法：kD = k乘行列式中某一行(列)的所有元素 7️⃣ 行列式互换：互换行列式的任一两行(列)，行列式的值改变符号 8️⃣ 行列式拆分：行列式可以按行（列）拆开 9️⃣ 行列式加法：把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，所得的行列式仍为D 𐟔Ÿ 行列式简化：利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值 𐟓 知识点总结 1️⃣ 二阶行列式：D2 = ad - bc 2️⃣ 三阶行列式：D3 = a2a3 - a1a3 + a1a2 - a2a1 3️⃣ 行列式展开定理：D = aiAi + aiAi + ... + aiAi 4️⃣ 上三角和下三角行列式：只需对角线数字相乘即可 5️⃣ 行列式和转置行列式：D = DT 6️⃣ 行列式乘法：kD = k乘行列式中某一行(列)的所有元素 7️⃣ 行列式互换：互换行列式的任一两行(列)，行列式的值改变符号 8️⃣ 行列式拆分：行列式可以按行（列）拆开 9️⃣ 行列式加法：把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，所得的行列式仍为D 𐟔Ÿ 行列式简化：利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值 𐟌Ÿ 加油，小伙伴们！掌握这些技巧，自考线性代数不再是难题！𐟒ꀀ

𐟧Œ列式的计算技巧与常用方法𐟧ጥˆ—式的计算是线性代数中的重要内容，掌握一些常用的计算方法和技巧可以帮助我们更高效地解决问题。以下是几种常用的行列式计算方法： 𐟌🥯𙨧’线法则：适用于二阶和三阶行列式，通过计算对角线上的元素乘积之和来求得行列式的值。 𐟔„三角化方法：将行列式化为上三角或下三角形状，然后按对角线法则计算。 𐟓‰降阶法：通过行变换或列变换，将高阶行列式转化为低阶行列式，再逐级计算。 𐟓ˆ递推法：利用已知的行列式性质，通过递推关系求解未知行列式的值。 𐟓分块矩阵求行列式：将行列式分成若干个块矩阵，分别计算后再组合起来。 𐟓加边法：通过在行列式中添加一行和一列，保持行列式的值不变，便于计算。 𐟓–归纳法：利用数学归纳法证明行列式的左右相等性。 𐟓œ范德蒙德行列式法：利用范德蒙德行列式的性质进行计算。在实际解题过程中，一道题可能有很多种解法，选择自己最熟悉的方法即可。希望这些方法和技巧能帮助你更好地掌握行列式的计算！

行列式计算的七种方法和技巧行列式是线性代数中的重要概念，掌握其计算方法对于解决各种数学和工程问题至关重要。以下是七种常用的行列式计算方法，帮助你更好地理解和应用行列式。 𐟓œ 三阶行列式的计算三角行列式：通过将行列式转化为上三角或下三角形式，可以轻松计算其值。例如，对于三阶行列式，主对角线上的元素乘积减去副对角线上的元素乘积，即ac-bd。拉普拉斯展开：将行列式某一行（或列）的所有元素与代数余子式的乘积之和，可以化简为更简单的行列式。例如，对于三阶行列式，某一行的元素乘以该行元素的代数余子式之和。 𐟔„ 行列式的性质行列式的某一行（或列）的所有元素的公因数可以提到行列式外面。例如，对于三阶行列式，某一行的元素乘以该行元素的公因数，再乘以该行元素的代数余子式之和。行列式的两行（或列）互换，行列式的值不变。例如，对于三阶行列式，某一行的元素与另一行的元素互换，行列式的值不变。 𐟓Š 变形技巧利用行列式的变形技巧，可以将复杂的问题转化为简单的问题。例如，将主对角线元素化为1，再将其他元素化为0，可以转化为三角形行列式。利用行列式的变形技巧，可以将行列式转化为更易于计算的形式。例如，将行列式的某一行（或列）的所有元素化为相同的比例关系，可以化简为更简单的行列式。 𐟛 ️ 拆和法将行列式的某一行（或列）的元素拆分为两部分，然后分别计算其代数余子式的和。例如，对于三阶行列式，某一行的元素拆分为两部分，分别计算其代数余子式的和。 𐟓ˆ 代数余子式利用代数余子式的性质，可以将复杂的问题转化为简单的问题。例如，对于三阶行列式，某一行的元素乘以该行元素的代数余子式之和。 𐟓Š 变形技巧利用行列式的变形技巧，可以将复杂的问题转化为简单的问题。例如，将主对角线元素化为1，再将其他元素化为0，可以转化为三角形行列式。利用行列式的变形技巧，可以将行列式转化为更易于计算的形式。例如，将行列式的某一行（或列）的所有元素化为相同的比例关系，可以化简为更简单的行列式。通过掌握这些方法和技巧，你可以更有效地解决各种行列式计算问题。在实际应用中，根据问题的具体情况选择合适的方法和技巧，可以大大提高计算效率。

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