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俄罗斯数学家权威发布_俄罗斯数学家拒绝菲尔兹奖(2024年12月精准访谈)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：观点更新日期：2024-11-29

俄罗斯数学家

俄罗斯数学家的数学书，可惜没在中国出版 𐟓š 这本书是俄罗斯数学家尼古拉ⷥ𞷧ƒˆ夫的作品，内容非常贴近日常生活，从生活中发现数学的美丽。他的书和他的网站一样，生动易懂，特别适合激发学生对数学的兴趣。他一生致力于数学事业，希望有更多的学生喜欢数学。 𐟓š 我们也希望帮助他推动数学的发展，同时帮助更多的中国孩子看到这本优秀的数学书籍。他说希望有出版社能出版这本书，然后给俄罗斯学生一些书。中国方面可以自己翻译出版。我们帮忙联系了几家出版社，但最终都没有成功。 𐟓š 这让我想起了上次见到俄罗斯围棋协会会长时，他们问怎么才能让更多的俄罗斯孩子喜欢上围棋？我们可以免费教学，只是单纯地希望让更多的俄罗斯孩子喜欢。 𐟓š 俄罗斯还有很多这样的学者，他们不为利益，只是为了推进学术发展贡献自己微薄的力量。致敬这些学者！

高考失利？留学喀山大学！ 𐟎“ 高考成绩出炉，有些同学可能没有达到预期，不想读专科，也不想复读。别担心，这里有一个解决方案——俄罗斯喀山联邦大学本科留学！避开国内升学竞争激烈的环境，开启一段全新的求学之旅。 𐟒𘠧•™学费用低廉，每年学费仅需1.4万人民币起，总费用大约在5-8万人民币之间。想象一下，在莫斯科的红场漫步，或在圣彼得堡的冬宫感受艺术的熏陶，这是一段多么浪漫的旅程！ 𐟏력–€山联邦大学的优势： 1️⃣ 百年名校，俄罗斯第三所成立的学校，列宁的母校。 2️⃣ QS排名400多，相当于国内211大学水平。 3️⃣ 学费低廉，适合普通家庭。 4️⃣ 经济实惠，性价比高。 5️⃣ 申请流程简单，只需高中毕业证和平时成绩单。 6️⃣ 石油工程专业在QS学科排名前100名。 𐟓š 专业设置广泛，数学、化学、医学、语言学、地质学、地理植物学等领域享有盛誉，是俄罗斯最好的高等综合类院校之一。 𐟑堧Ÿ奐校友包括：列宁：著名的马克思主义者，无产阶级革命家、政治家、理论家、思想家。罗巴切夫斯基：俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一。托尔斯泰：19世纪中期俄国批判现实主义作家、思想家、哲学家。别列沃什科夫院士：天文学家、数学家；拉甫连季耶夫：数学家；涅奇济纳：历史学家；巴林：物理学家兼医生；巴耶夫：生物学家兼医生；克劳斯：发现化学元素钌；布特列罗夫：有机合成结构理论创始人；扎沃伊斯基：电子磁共振发明人；阿尔特舒勒：声学磁共振发明人等。 𐟛 ️ 选择留学机构的理由： ✅ 专注于留学服务，与50多所国外院校合作。 ✅ 辅导费用透明。 ✅ 严格保密学员信息。 ✅ 提供1对1定制辅导，签订正规合同，保障辅导成果。 ✅ 有全职境外工作人员，提供24小时全方位服务。 ✅ 为优秀学生提供国企或大型上市公司实习机会。 𐟤” 如果对喀山联邦大学或其他国家留学有兴趣，欢迎咨询了解更多信息！关于申请要求、学校资讯、专业资料等，我们提供全方位的咨询服务。

任正非挖人不是一般的狠，一位俄罗斯数学家被华为看上，出价年薪200万美元，对方心动，但不行动，后知原因：离家太远和家里有牵挂！HR头疼不已，任正非却一招将其纳入麾下。 2000年，移动通信技术浪潮席卷全球，2G向3G过渡的窗口期，暗流涌动。彼时，国内的通信企业还在摸着石头过河，而华为，却在关键技术节点上卡了壳。任正非深知技术自主的重要性，也明白这场技术攻坚战的残酷性。内部研发团队日夜鏖战，却始终找不到突破口，技术瓶颈让整个公司笼罩在紧张的氛围中。彼时，没有人能预料到，远在俄罗斯的一位数学家，将成为改变华为命运的关键人物。更没有人预料到，任正非将在这位数学家身上，上演一场豪赌。一天，华为的研究团队偶然发现一篇关于数字研究的论文，虽然只有几页，却如同一束微光，照亮了华为前进的道路。他们敏锐地察觉到，这篇论文的研究成果可能正是解决移动通信技术难题的关键。经过一番调查，他们发现论文的作者是一位居住在俄罗斯的数学家。消息传到任正非耳中，他当即下令：不管花多少钱，都要把这个人挖过来！一场跨国“挖人”行动就此展开，HR团队连夜飞赴俄罗斯，踏上了寻找这位神秘数学家的旅程。这位俄罗斯数学家，虽然在学术领域极具天赋，但性格却颇为古怪，在与人沟通方面存在一些障碍。但这并没有让华为团队退缩，他们深知这位数学家的价值，一次又一次地登门拜访，努力沟通。为了表达诚意，华为不断提高薪资待遇，最终开出了200万美元的年薪。这在当时无疑是一个天文数字，相当于市场平均水平的五倍之多。即使在华为内部，也引发了不小的争议。一些人认为，这样的高薪过于冒险，万一这位数学家无法带来预期的成果，将会造成巨大的损失。但任正非力排众议，他坚信，顶尖人才的价值无法用金钱衡量。在他看来，200万美元只是撬动未来的一根杠杆。然而，即便高薪在手，这位数学家依然没有答应华为的邀请。原因很简单：他不愿意离开家人，远赴异国他乡工作。这道难题让华为HR团队犯了难，用钱能够解决的问题，往往都不是真正的问题，他们迅速将情况汇报给任正非。任正非深知，在人才面前，必须展现出足够的诚意和灵活性。他果断地放弃了将数学家带回中国的计划，转而考虑如何在俄罗斯为他创造一个舒适的工作环境。经过深思熟虑，任正非做出了一个大胆的决定：在俄罗斯本土设立华为数学研究院。这是一个充满风险的决策，在当时，华为在海外的研发中心还不多，在俄罗斯设立研究院更是前所未闻。这不仅需要巨额的资金投入，还需要面对各种未知的挑战。但任正非的目光看得更远，他明白，俄罗斯拥有丰富的数学人才资源，如果能够在当地建立一个研发中心，不仅能够吸引这位数学天才，还能为华为储备更多的顶尖人才。这个消息传到那位数学家耳中，他被华为的诚意深深打动，最终同意加入华为。而华为俄罗斯数学研究院的成立，也像一块磁石，吸引了众多俄罗斯本土的优秀数学家。他们聚集在一起，在数学天才的带领下，共同探索科技前沿。任正非的“豪赌”初见成效，但真正的考验才刚刚开始。这位数学天才加入华为后，并没有立即投入到紧张的研发工作中。相反，他每天上班似乎都无所事事，打游戏、玩电脑，与其他华为员工拼命工作的状态形成鲜明对比。几年时间过去了，数学天才依然没有任何突破性的成果。华为内部的质疑声越来越大，压力也越来越大。但任正非始终保持着冷静，他坚信，只要给予足够的时间和耐心，天才终将会绽放光芒。终于，在一个看似平常的日子里，奇迹发生了。这位数学家兴奋地找到了任正非，声称自己找到了2G到3G技术突破的关键点。任正非立刻组织团队进行测试，结果证实了数学家的发现。这个突破性的成果，让华为在3G技术上取得了领先优势，并迅速占领了欧洲市场。更重要的是，这项技术成果也为华为后续的4G、5G技术发展奠定了坚实的基础。在后来的5G技术研发中，这位数学家带领团队创立了量子计算方法，将5G的运算速度提升了一倍以上，让华为在5G领域一骑绝尘，成为全球领先的通信设备供应商。任正非的“豪赌”无疑是一场巨大的成功，他以超前的眼光和魄力，押注在一个看似古怪的天才身上，最终赢得了丰厚的回报。这场“豪赌”不仅为华为带来了技术突破，也为华为的全球崛起奠定了基础。任正非的成功并非偶然，他深知，在科技竞争日益激烈的时代，人才才是企业最宝贵的财富。为了吸引和留住顶尖人才，他敢于打破常规，勇于创新，甚至不惜一切代价。这种对人才的重视和尊重，正是华为成功的关键所在。

华为实验室有个来自俄罗斯的科学家，不善于打交道，总是默默无闻的待在实验室里做自己的事。十几年了，周围的人都不知道他在做什么，但是有一天，他突然跟我说2G到3G的算法突破了。这是任正非在一次访谈中讲的一个故事。这个俄罗斯科学家是个大数学家，平时也不会谈恋爱，就只会做数学。去公司十几年，不知道在干啥，天天都在玩电脑。我们管理五万个研发人员的人到莫斯科去看他时，他也只是打了个招呼。我给他发那个院士牌牌的时候，和他说话，他就回答了三个“嗯”，真的很不善于打交道。但是十几年后，他告诉我他突破了2G到3G的算法，后来经过试验，是正确的，就这样一下子，我们就领先了全世界。讲这件事时，任正非面带笑容，能看出来他很高兴，对这个小伙子很满意。这位俄罗斯数学家能突破2G到3G的算法，除了自己的能力和坚持不懈的努力之外，还有任正非和整个公司的支持，如果不是公司支持，他再有能力，也无法做到两耳不闻窗外事，十几年专心做研究。想要有所突破就需要有这样的人才出现，但还有一个问题就是，即使这样的人出现了，有些集团或者公司也把握不住，因为都希望快速见效果，出成绩。十几年的一无所获不是所有公司的管理层都能等得起的。

看到他的照片，你首先想到了谁？？在圣彼得堡地铁的拥挤车厢里，一位俄罗斯博客作者无意间拍下了一张照片：一个头发蓬乱、胡须杂乱的中年男子，穿着一双破旧的鞋子，衣衫不整，仿佛是无家可归的流浪汉。然而，这个看似毫不起眼的男子，曾以一己之力解开了困扰数学界百年的难题——庞加莱猜想。这个人就是俄罗斯数学家格里戈里ⷩ›…科夫列维奇ⷤ𝩩›𗥰”曼——一位改变了数学历史的天才。庞加莱猜想是拓扑学中的核心问题之一，被认为是数学领域的圣杯。2000年，克莱数学研究所将其列为“千禧难题”之一，悬赏100万美元奖金，奖励能成功解决这一问题的数学家。数十年来，全球无数顶尖数学家为之绞尽脑汁，投入无数心血，但均未能给出最终证明。直到2002年，佩雷尔曼悄无声息地在网上发布了三篇论文，他用简洁优雅的逻辑，彻底破解了这一难题。他的证明被同行验证后，震惊了整个数学界。然而，当克莱研究所宣布将100万美元的奖金授予佩雷尔曼时，他却出人意料地选择了拒绝。面对全球的瞩目与赞誉，他淡然地表示：“如果答案是正确的，那就无需再被承认。”这一简单的回应，背后是他对名利的彻底无视。佩雷尔曼不仅拒绝了这笔巨额奖金，也拒绝了数学界为他准备的其他荣誉。他回绝了国际数学界最崇高的菲尔兹奖，并几乎与所有数学同行断绝了联系。多年来，他独自生活在圣彼得堡的一间简陋小公寓里，远离社交，远离媒体，甚至远离那些曾经与他并肩作战的学术同仁。在这座城市的街头巷尾，你偶然能看到佩雷尔曼的身影：他依旧衣着破旧，胡须杂乱，步履匆匆，仿佛与周遭的世界格格不入。但令人意想不到的是，这个看似孤独的隐士，已然成为俄罗斯年轻人心中的传奇偶像。一些人开始穿着印有他形象的T恤，上面写着一句话：“你无法买到一切。”这句话似乎成为了对佩雷尔曼生活态度的真实写照。佩雷尔曼的故事，不仅仅是天才数学家的传奇，更是对现代社会价值观的深刻反思。在这个追逐名利、权力和财富的时代，他以最极端的方式活出了对世俗成功的蔑视。他拒绝大奖、拒绝媒体，也拒绝学术圈的规则和束缚，只为追求那纯粹的数学真理。有人说，伟大的科学成就往往伴随着孤独。佩雷尔曼的选择印证了这一点。他从未试图融入主流，也从未在意外界的看法。在长达数年的隐居生活中，他静静思索，继续独自探索数学的奥秘。或许正是因为这种与世隔绝的生活，他才得以保持最高的工作效率，专注于那些常人难以企及的难题。佩雷尔曼的故事告诉我们，真正的天才从不受限于世俗的标准。他选择了孤独，但在这份孤独中，他找到了属于自己的自由与真理。 #佩雷尔曼#

「邓为巴黎碎片」「邓为素颜吃飞机餐」俄罗斯数学家巴切夫斯数学家证实，两条平行线终将会不同空间相交！如果我是简经线，你就是双轴线！如果你是坐标轴，我就是反比例函数！ @邓为D

三年学完美国十二年课程的教育模式探讨 𐟌Ÿ 教育模式简述世界上的教育模式大致可以分为两种：一种是“物学”，另一种是“人学”。简单来说，“物学”侧重于科学研究和发明创造，比如人工智能、生物医学、智能芯片和人造卫星等高科技领域。而“人学”则更注重经世致用，即管理和统治的学问，中国是这类学问的鼻祖。 𐟚€ 理工科的魅力与挑战目前，全球最先进的“物学”教育在美国，如麻省理工大学等学校。这些学校的学生毕业后，尤其是在高科技领域，会有很大的发展空间。回国后，他们不仅能在科研机构工作，还能在各行各业发挥重要作用。如果再懂一些管理知识，还能成为高薪阶层。 𐟔砢€œ工具人”的困境然而，理工科学生往往在人际交往和人际关系处理上有所欠缺。就像华为公司聘请的俄罗斯数学家，他们虽然拥有高超的技术，但缺乏生活技能，甚至不知道如何与他人打交道，被称为“工具人”。 𐟏›️ “人学”的博大精深 “人学”则强调经世致用，研究管理和统治的学问。中国是这类学问的鼻祖，但曾经因为西方列强的侵略，导致我们的传统文化失传。幸运的是，现在有一群人在努力拾捡这些传统文化，希望不让这类绝学失传。 𐟎€œ人学”的领导力学好了“人学”，一个人在人群中就能成为意见领袖，在家里是家长，族长，带领族人开拓创新。无论是在家庭、社会还是国家层面，都能发挥重要作用。回归生活，“人学”也能让人善解人意，关心他人，体贴他人，更招人喜欢。 𐟒𜠩€‚合普通家庭的教育模式对于普通家庭来说，理工科是一个不错的选择。学好理工科，能为他人所用，实现阶层跃升。而大户人家则更适合学习“人学”，学会如何识人用人，对整个家族的发展更有利。 𐟤” 如何结合两种教育模式？孩子问如何结合“物学”和“人学”，我告诉他们，我们现在三年学完美国十二年课程就是一种结合了“人学”和“物学”的教育模式。这样既能学到高科技知识，又能培养领导力和人际交往能力。 𐟌ˆ 教育的终极目标无论是“物学”还是“人学”，教育的终极目标都是培养有血有肉、有情感的人，而不是冷冰冰的机器。即使学不好，过一个平凡人的生活，也要成为一个有情感、有理想的人。

高中毕业前，这几本高数教材你一定要看！嘿，高中毕业的小伙伴们，是不是觉得数学已经学得差不多了？其实，数学的世界远比你想象的要广阔得多！如果你对数学有浓厚的兴趣，不妨提前预习一下高等数学。下面我给大家推荐几本从易到难的高数教材，保证有你适合的！从入门级到专业级：适合不同需求的教材推荐 𐟓š 《微积分读本》（修订版）这本书绝对是微积分的入门级教材，内容从高中开始代入，每个概念都讲得很详细。特别适合那些基础一般但又想深入了解原理的同学。作者Adian Banero，翻译是杨爽、赵晓婷和高璞。这本书由中国工信出版集团和人民邮电出版社出版。《数学分析》这本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，由欧阳光中和金福临主编。这本书适合那些要求较高、有考研需求的同学。数学专业的同学会涉及到这门“数学分析”课程，你可以理解为是更严格化的高等数学。版本不一定和我一样，认准欧阳光中老师就好。《微积分学教程》（第一卷）这本书是“十一五”国家重点图书，由俄罗斯数学家T.M.菲赫金哥尔茨著，杨亮、叶彦谦译，郭思旭校对。这本书适合那些追求完美的同学，细节非常丰富。如果你追求极致，这本书可以作为长期参考。假期补习数学？提前预习更明智！𐟒ኊ有些同学可能会问，假期还补啥数学？其实，提前预习一下高等数学，为大学打好基础，是个不错的选择。毕竟，大学数学可不是那么容易的，提前准备总是好的。个人小建议 𐟒ኊ如果你觉得自己还需要更多的资料，可以参考一些其他的教材，比如《微分几何与广义相对论导论》或者《微分方程与复分析》。总之，根据自己的需求和兴趣来选择吧！希望这些推荐能帮到你们，祝大家在数学的道路上越走越远！𐟚€

美国谷歌做了什么惹怒了俄罗斯？俄罗斯法院对谷歌处以天价罚款，数额之大，惊掉人们的下巴。谷歌多次封杀旗下“优兔”平台上俄罗斯的媒体账号，使俄罗斯多家媒体遭受损失。《塔斯社》10月30日报道：俄罗斯法院为此对谷歌开出天价罚款。2后边跟了34个0。20000000000000000000000000000000000美元。这个数字怎么读？数学家換算半天，告诉人们，这个数字读作200沟。第一次听说，大额钱数论"沟" 算的。全球GDP才15位数字，俄罗斯对谷歌的罚款达35位数字，够买两个美国的了。谷歌多次封杀俄罗斯媒体，俄罗斯不会就这么忍了。经俄罗斯法院裁定谷歌败诉，被处以每日10万卢布罚款。每日翻一番，不设上限。谷歌抗拒不缴，滚来滚去，罚款数额达到了35位惊人的天文数字。俄罗斯是在报复美国吗？有可能。美欧扣押了俄罗斯3000亿美元的资产，并把产生的利息500亿美元转手给了乌克兰，让乌克兰购买武器打击俄罗斯。俄罗斯同时扣押了美国企业在俄罗斯的资产，包括土地和房产。那么，谷歌能向俄罗斯支付这笔钱吗？应该是不能。想缴也缴不起，谷歌在俄罗斯所有的财产都被冻结扣押。而俄罗斯法院的裁定只在国内有效，无法从该公司收回这些罚款。无论怎样，谷歌是败诉的一方。无奈宣布破产，或将全面退出俄罗斯市场。 #动态连更挑战#

在电影、游戏产业，纹理贴图技术被暴雪采用，几何图像技术被虚幻引擎5采用，发展出Nanite虚拟几何技术，实现高速大场景渲染 ——这个用到《黑神话ⷦ‚Ÿ空》里了！最抽象的数学有最具体的应用，向数学大师致敬怀念理查德ⷥ“ˆ密尔顿教授怀念理查德ⷥ“ˆ密尔顿教授原创顾险峰老顾谈几何 2024年10月02日 12:03 美国自2024年暑期始，笔者受丘成桐先生的嘱托，一直在网上讲解“计算共形几何课程”。课程的重点是哈密尔顿（Richard Hamilton）发明的里奇曲率流（Ricci flow）在离散情形的推广，以及由里奇流理论证明的瑟斯顿三维流形几何化纲领（Thurston's geometrization program）。昨天，助教刘熠博士突然转告了噩耗，令笔者无比震惊，深深慨叹人类又失去了一个伟大的灵魂。在1990年代末，笔者追随丘成桐先生在哈佛大学攻读博士。每个周末都会有一位教授从纽约飞到波士顿，和丘先生通宵达旦地讨论几何问题。丘先生办公室的灯光一直到午夜才熄灭，黑板上写满了深奥复杂的公式和几何图形。每天中午，丘先生邀请这位教授共进午餐，丘先生的学生们一起陪同。这位教授英俊倜傥，双眸极其明亮，令人一见难忘，印象深刻。（笔者生平见过很多数学家，因为思想纯粹而深刻，他们都是眼神清澈，目光明亮，例如郑绍远、张益唐教授等。）很多时候，我们都去毗邻哈佛校园的燕京餐馆。燕京的老板与丘先生非常熟络，用粤语和京片儿打着招呼。后来才得知，燕京的老板是当年云南王龙云的后代，常年在波士顿经营餐饮业。我们经常光顾的哈佛附近的另外一家餐馆，名为常熟，据说其老板是满清爱新觉罗氏。这位教授极其风趣幽默，餐桌上滔滔不绝，抒发他对数学的诚挚热爱，和对生活的满腔激情。依稀记得他有些时候带女友来拜访丘先生，但是每次女友都不同。和他徜徉在哈佛广场，他目光炯炯，神采飞扬，经常有女性过来搭讪。这位教授就是哈密尔顿，当时已经做出了里奇流，但尚未世人理解，后来名动天下，成为丘先生开创的几何分析学派的得力干将，彻底改写了几何分析和低维拓扑的版图。图片 Fig1. 曲面单值化定理。在过去的半个多世纪，数学中最令人瞩目的猜想就是庞加莱猜想（即单连通的有限封闭三维流形为球面），数学家们提出了各种纲领力图加以解决。早期的方法侧重代数，将三维流形的拓扑归结为基于扭结理论的拓扑手术，虽然取得了巨大的进步，但是只是将三流形拓扑的复杂性转换为扭结的复杂性，对于问题本身，无法彻底攻克。丘先生当时并不看好这个方向，他认为这种途径并不“自然”。丘先生的伯克利同学瑟斯顿教授提出了用几何研究拓扑的方法，即将三流形进行拓扑分解，得到基本的组成单元，而每个组成单元上可以配备标准的几何，然后通过流形的分解方式于最终每个单元上的几何来研究初始流形。这个想法可能受到曲面单值化定理的启发。在1910年代，Koebe和庞加莱证明了任意封闭带黎曼度量的曲面上，依赖于其拓扑结构，都可以配上三种标准黎曼度量（常值曲率度量）中的一种，即得到球面几何、欧氏几何和双曲几何（并且标准度量与初始度量共形等价）。瑟斯顿的几何化纲领就是将其推广，三维流形的基本组合单元上可以配备八种标准几何中的一种（标准度量和初始度量之间没有共形等价关系）。几何化纲领包含了庞加莱猜想，但是如何找到三流形的标准黎曼度量，成为核心困难。丘先生很早就提出应该用几何分析方法，通过黎曼流形上的偏微分方程理论来攻克这个问题。例如丘先生用极小曲面理论来研究三流形内部的本质曲面，从而探测其拓扑信息。哈密尔顿天才地提出了里奇曲率流的想法，使得丘先生的设想得以实现。图片图片 Fig 2. 双曲三流形，瑟斯顿的苹果。在热力学理论中，热扩散的现象用热流方程来描述，物体上有个温度场，温度函数的梯度场给出了热流场，每一点处热流的散度（即温度梯度的散度，温度的拉普拉斯Laplacian）给出热量的变化率，正比于温度的变化率。温度依随时间演化，当时间趋向无穷时，温度趋于常值。据说哈密尔顿酷爱冲浪，有一次他在圣地亚哥海岸附近冲浪，看到浪涛拍击礁石浪花飞溅，顿悟出里奇流：我们让黎曼度量类比于温度，温度的二阶导为Hessian矩阵，其迹（trace）为拉普拉斯，度量张量的二阶导为截面曲率张量，截面曲率张量的迹为里奇曲率张量，我们令度量张量随时间的变化率等于里奇曲率张量，曲率的演化遵循非线性热方程，最终趋于常值。哈密尔顿将里奇流的想法告诉了丘先生，丘先生立刻认识到这一想法的巨大潜力，坚定不移地极力倡导用这种方法证明庞加莱猜想。丘先生命令笔者的师兄们倾尽全力投身到里奇流的研究中去，并且把自己的学生Ben Chow送给哈密尔顿进行培养，并且要求自己当时的学生，笔者的师兄们曹怀东，Bando等都去听哈密尔顿的课程。 2002年，丘先生到加州访问，笔者跟随丘先生来到洛杉矶。丘先生在加州大学洛杉矶分校、尔湾分校、加州理工大学给了系列讲座，包括他指导笔者完成的离散霍奇分解理论和算法。离散霍奇分解理论本质上是将经典的有限元理论从函数空间推广到流形的微分形式空间，将外微分理论离散化。丘先生与UCLA的陈繁昌院长，Paul Thompson合作，将这种方法应用于脑神经病理研究。笔者和丘先生的博士后王雅琳共同设计算法，编写程序，进行实验。师兄刘克峰当时为UCLA的数学教授，他在家中为丘先生祝寿，Ben Chow从圣地亚哥赶来祝寿。那时哈密尔顿和Ben证明了曲面里奇流的收敛性，从而给出Koebe-Poincare单值化定理的新的证明方法。Ben Chow给笔者带来一篇他新近完成论文，他与罗格斯大学的罗锋教授合作，力图将曲面里奇流和经典的瑟斯顿圆盘填充理论融合，将里奇流推广到离散曲面情形。笔者从这时开始了离散里奇流理论和算法的研究。三维流形上的里奇流会出现奇异点，即在有限时间之内，流形上的某些点处曲率趋于无穷大，从而里奇流中断，这被称为是曲率爆破。一个自然的想法是在奇异点处将流形切开，每个分支再应用里奇流。这需要证明整个过程中，奇异点的总个数是有限的。哈密尔顿和丘先生的合作中遇到了某种雪茄型的奇异点问题，一直久攻不破。2002年左右，曾经师从过哈密尔顿的俄罗斯数学家佩雷尔曼取得了突破。他根据从哈密尔顿那里所学到的里奇流的思想，创造性地应用类似李-丘估计，排除了雪茄型奇异点的存在性，从而成功地解决了曲率爆破问题。同时，他发现里奇流是某种熵能量的梯度流，可以从变分法角度来理解，从而证明了庞加莱猜想。进一步，里奇流理论的发展彻底解决了瑟斯顿几何化猜想。 2004年笔者来到纽约教学，依然与丘先生保持频繁的学术交流，同时与罗锋教授密切合作，将离散曲面里奇流理论进行深入研究。从理论角度而言，我们希望能够将经典的光滑曲面单值化定理推广到离散情形；从算法角度而言，我们希望能够发明出一些实际的算法通过曲率来设计黎曼度量。微分几何的核心概念是黎曼度量和曲率，同样的，在工程和医学图像等领域，只要涉及到拓扑与几何，核心问题往往归结为如何求取满足特定条件的黎曼度量。在里奇流理论出现之前，最为有效的计算手段是有限元法（有限体积、边界元法等），这些方法广泛应用于多物理场模拟仿真，成为现代工业软件的基础。但是有限元方法都是在某个固定的几何背景下求解数值偏微分方程，而我们希望求取的正是几何背景（黎曼度量）本身。其对应的几何偏微分方程高度非线性，传统的方法无能为力。而新兴的里奇流成为计算黎曼度量的首选方案。当时很多国家的数学家和计算机科学家都在竭尽全力地竞争，力图发展基于里奇流理论的新型计算模型，通过曲率来得到度量。图片图片 Fig 3. 共形脑图技术。我们发明了多种算法，应用于广阔的工程和医疗领域。例如，脑神经科学中的共形脑图方法将大脑皮层曲面共形地映射到单位球面上，从而可以将不同时间扫描得到的大脑皮层配准，定量估算萎缩速率，早期诊断奥兹海默症；在癌症诊断领域，虚拟肠镜方法将患者直肠曲面共形地映射到平面上面，从而将直肠皱褶打开，将息肉标定，将不同时期扫描得的的直肠曲面配准，监控息肉的生长情况，预防直肠癌。在电影、游戏产业，纹理贴图技术被暴雪采用，几何图像技术被虚幻引擎5采用，发展出Nanite虚拟几何技术，实现高速大场景渲染。这些技术的核心都是需要找到某种特定的黎曼度量，离散里奇流算法是最为强有力的计算工具。在医疗应用中，我们经常需要配准两张人体器官曲面，即寻找一个微分同胚，使得几何畸变最小。这在微分几何中被称为是泰西米勒映射（Teichmuller Map）。在哈密尔顿的博士论文中，他给出了一种基于变分法的理论，从而可以求得泰西米勒映射。在丘先生的指导下，笔者和丘先生的博士后雷乐铭教授一同将哈密尔顿的方法转化成实用算法，广泛应用于医学图像领域。图片Fig 4. 虚拟肠镜技术。理论上，全世界的学者们发展出很多种离散里奇流的方法，但是直到2014年，一直没有方法能够保证解的存在性，所有的算法都会在流的过程中崩溃。2013年暑期访问清华丘先生数学中心期间，我们团队实现了突破。恰如连续里奇流需要在恰当时刻进行拓扑手术，离散里奇流也必须在关键时刻进行拓扑手术。我们2014年完成了理论证明，提交了论文。但是，我们的竞争对手审阅我们的论文拖延了4年，直至2018年，论文才被微分几何杂志接受。我们建立的离散曲面里奇流可以保证解的存在性，唯一性和收敛性。离散曲面里奇流是离散熵能量的梯度流，而离散熵能量是全局严格凸的能量，可以用牛顿法高效优化。近些年来，离散曲面里奇流理论和双曲三维流形的亚历山大刚性定理产生了密切联系，而离散熵能量等价于特定的希尔伯特-爱因斯坦泛函。图片 Fig. 5 结构化网格生成。近几年来，工业软件领域的格局发生了天翻地覆的变化，Cadence收购了BetaCAE，Synopsis收购了Ansys，CAE工业正在经历一场伟大的技术革命。在多物理场模拟仿真的流程中，真正的技术瓶颈在于几何，特别是网格生成成为核心难点。传统的非结构化曲面网格生成无法保证网格质量，而里奇流方法将曲面保角映射到平面，而平面的网格生成有质量保证，从而拉回到曲面上得到高质量曲面网格。结构化网格生成一直依赖手工来调节奇异点的设置。通过代数几何方法与里奇流方法结合，我们可以得到自动生成的高质量结构化网格。这些工业技术和医疗技术的突破，本质上都是依赖哈密尔顿的天才发明：里奇流！图片 Fig. 6 非结构化网格生成。时至今日，我们随意翻开任何一本三维流形的教材，其核心都是瑟斯顿几何化定理，而大多数书籍都会明确说明这一定理是佩雷尔曼应用里奇流的方法率先得到，但是对于哈密尔顿的功劳却语焉不详。这对哈密尔顿并不公平。诺贝尔奖非常注重思想源头，往往给新观念新方法的提出者颁奖，而非只奖励将新思想发扬光大者。佩雷尔曼因解决了庞加莱猜想而获得千禧年大奖。然而，佩雷尔曼认为哈密顿的贡献与自己相当，因此婉拒了这一殊荣。哈密尔顿对浮名虚利不以为意，一直秉持对数学真理的热爱，坚持用自己的方法来理解和证明瑟斯顿几何化纲领，直至昏迷入院。哈密尔顿也高度赞扬中国数学家对于证明庞加莱猜想的贡献：“一个伟大的猜想，不可能由一个人来完成。中国数学家可以抬起头来，不必谦虚。” 笔者最后一次见到哈密尔顿是在2023年北京雁栖湖，在丘先生举办的世界基础科学大会上。哈密尔顿虽然步履蹒跚，但是依然双目精光四射，充满激情。在今年7月的基础科学大会上，哈密尔顿获得了基础科学终身成就奖，为其学术生涯完美地画上了句号。这几天，笔者进一步完善离散里奇流的算法，经常通宵达旦地编写调制程序，期望达到工业级别，尽快在工业领域普及。作为目前唯一能够通过曲率计算黎曼度量的方法，里奇流必然会为工业界带来实质性的革命。希望这一天早日到来，以告慰哈密尔顿的在天之灵。虽然哈密尔顿已经远离我们而去，但是他的思想必将会在人间万世长存！

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