当前位置：网站首页 » 教程 » 内容详情

比较审敛法前沿信息_比较审敛法的极限形式证明(2024年12月实时热点)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：教程更新日期：2024-12-02

比较审敛法

高数第九章：无穷级数全解析 ### 一、常数项级数：基础与性质 𐟓š 常数项级数的定义常数项级数，顾名思义，就是每一项都是常数的级数。它的定义很简单，就是一堆常数排成一队，形成级数。常数项级数的敛散性级数的敛散性是级数的一个重要性质。常数项级数要么收敛（即和存在），要么发散（即和不存在）。常数项级数的性质常数项级数有五个基本性质，这些性质在解题时非常有用。二、常数项级数的审敛性：技巧与策略 𐟔 正项级数正项级数就是所有项都是正数的级数。它的审敛有特定的条件和技巧。正项级数的定义正项级数的定义很简单，就是所有项都是正数的级数。正项级数审敛的充要条件正项级数收敛的充要条件是级数的和存在。正项级数审敛的充分条件虽然正项级数收敛的充要条件是级数的和存在，但有一些单向成立的充分条件，比如比较审敛法和比值审敛法。必考的三大级数 P级数及其拓展形式、等比级数是正项级数中必须掌握的三种级数。交错级数交错级数就是正负项交替出现的级数。它的审敛有特定的方法和技巧。交错级数的定义交错级数的定义很简单，就是正负项交替出现的级数。莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法是交错级数审敛的一种重要方法。加绝对值法加绝对值法是另一种审敛交错级数的方法。任意项级数：灵活与多变 𐟌ˆ 绝对值性质任意项级数的绝对值性质是判断级数收敛性的重要依据。绝对收敛与条件收敛任意项级数要么绝对收敛（即和存在），要么条件收敛（即和不存在）。任意项级数的判定方法总结任意项级数的判定方法，帮助你更好地理解和应用。三、幂级数：深入与拓展 𐟚€ 函数项级数函数项级数是幂级数的基础，它涉及到的概念和性质非常丰富。函数项级数的定义函数项级数的定义很简单，就是一堆函数排成一队，形成级数。函数项级数相关概念函数项级数涉及到的概念包括收敛域和和函数等。函数项级数收敛域的求法求函数项级数的收敛域是解题的关键。幂级数幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它有自己独特的性质和审敛方法。幂级数的定义幂级数的定义很简单，就是所有项都是幂函数的级数。阿贝尔定理阿贝尔定理是幂级数审敛的重要工具。幂级数收敛域的求法求幂级数的收敛域是解题的关键。幂级数的性质幂级数有一些重要的性质，比如和函数性质、逐项可导性和逐项可积性。角标变换角标变换是处理幂级数的一种技巧。函数的幂级数展开函数的幂级数展开是求函数和的重要方法。幂级数求和幂级数求和是求解级数和的关键步骤。通过这些内容，你可以全面掌握无穷级数的概念、性质和审敛方法，为高数的学习打下坚实的基础。

如何判断级数的敛散性？常见方法一览判断级数的敛散性是数学分析中的重要问题。以下是一些常见的方法：等比级数 𐟓‰ 如果级数是等比级数，且公比小于1，则级数收敛。 P级数 𐟓ˆ P级数的一般形式为∑(1/n^p)，当p>1时，级数收敛；当p≤1时，级数发散。通项判别法 𐟔 如果级数的通项满足某种条件，可以直接判断级数的敛散性。例如，当un单调递减且极限为0时，级数收敛。广义P级数 𐟌 广义P级数包括更多种类的级数，通过比较判别法、比值判别法和根值判别法等方法进行判断。交错P级数 𐟔„ 交错P级数可以通过莱布尼兹判别法进行判断，当交错项的绝对值单调递减且极限为0时，级数收敛。比较判别法 𐟓Š 通过比较级数与已知的收敛或发散级数，来判断原级数的敛散性。比值判别法 𐟓ˆ 利用比值法来判断级数的敛散性，当级数的相邻项之比趋近于某个极限时，可以判断级数的敛散性。根值判别法 𐟌𑊩€š过根值法来判断级数的敛散性，当级数的根值趋近于某个极限时，可以判断级数的敛散性。交错级数 𐟔„ 交错级数可以通过莱布尼兹判别法进行判断，当交错项的绝对值单调递减且极限为0时，级数收敛。通过这些方法，我们可以有效地判断级数的敛散性，进一步了解级数的性质和特点。

𐟚€ 掌握反常积分审敛法的关键步骤！ 𐟓š 想要理解反常积分的比较审敛法吗？这里有一些关键步骤帮助你掌握！ 1️⃣ 𐟔 首先，记住两个重要的P积分公式，这是审敛法的基础。 2️⃣ 𐟓 接下来，观察反常积分的积分限，看看它们是否与P积分的积分限相同。 3️⃣ 𐟔„ 如果积分限相同，那么只需关注无穷大和瑕点（等于0）的方向。 4️⃣ 𐟓ˆ 使用等价变换，将积分函数等价于P积分，这样可以更方便地进行分析。 5️⃣ 𐟓 最后，根据P积分的收敛性来判断原反常积分的收敛或发散。 𐟎‰ 现在，你能够运用这些步骤来理解和解决反常积分的问题了吗？

无穷级数收敛性判别法全解析无穷级数收敛性的判别方法主要包括以下几种：正项级数收敛性判别法比值判别法：如果级数的相邻两项之比大于1，则级数发散；如果小于等于1，则级数收敛。根值判别法：如果级数的相邻两项之根大于1，则级数发散；如果小于等于1，则级数收敛。比较判别法：通过比较级数与已知收敛或发散的级数来判定其收敛性。幂级数收敛域的求法求收敛域/收敛半径/收敛区间：通过分析级数的表达式，利用比值判别法或根值判别法来求得收敛域。求解x的范围：通过求解x的范围，确定收敛域是开区间还是闭区间。双阶公式：利用双阶公式来简化计算。绝对收敛与条件收敛绝对收敛：如果级数的所有项都收敛，则称为绝对收敛。条件收敛：如果级数的某些项收敛而其他项发散，则称为条件收敛。收敛半径结论收敛半径的计算：通过分析级数的表达式，利用比值判别法或根值判别法来求得收敛半径。有界定理：如果级数的所有项都有界，则级数收敛。常见题型及方法构造微分方程：通过构造微分方程来求解级数的和函数。下标平移变换凑公式：通过下标平移变换来凑公式，从而求解级数的和函数。求和函数的方法求导积分凑公式：通过求导和积分来凑公式，从而求解级数的和函数。平移下标求导：通过平移下标来求导，从而得到微分方程。二阶差分方程求和：通过二阶差分方程来求解级数的和函数。通过以上方法，可以有效地判别无穷级数的收敛性，并求得其收敛域和和函数。

25超越8 数二噩梦般的体验最后做超越八，最后做超越八，最后做超越八！！！！！远离超越八，放到最后一套做吧，这套这难度和计算量真不是人做的，做完感觉是打击信心的卷子，不知道的还以为这是李艳芳三套卷呢，这计算量纯纯逆天，根本答不完，这套用了三个半小时，选填还好，用了一个半小时，这大题用了两个小时，最后写不下去了。多答这半小时基本都花在线代上面了，结果还错了，哈哈第1题就给我难住了，思考了一会应该是把cos从分子提出来然后括号内用f-1等价于lnf化成ln，这么做还是挺简单的第2题求四阶导，一直求第4题把第一个反常积分分部积分，然后用比较审敛法就可以了。第5题最开始没看明白，最后我把x+2y和y/x给换元成uv硬算的，第6题二重积分的积分中值定理或者可以把Fa求出来，这俩结果都是0 第7题画图，或者fx=ex次幂第8题这道题需要用到很多秩的结论，我觉得需要记的就是P列满秩，则PA与A秩相同第9题跟前面几套的一道很像，先把p行列式乘进去，最后再除以p行列式第10题这题真是太有花样了，其实1和4这俩是等价的，把1中余子式都化成代数余子式，发现这些代数余子式在矩阵A里对应的位置是-1 1 -1 1，正好加起来是0，依然满足题目条件的A有0特征值，4条件跟1一样，移项一下就变成1条件了。 11题没啥说的 12题把(x+1)ex次幂看成一个整体直接分部积分。 13题纯计算，恶心人 15题不会，算的根本算不对，看了答案是用了全微分形式不变，这块我没看 16就是把条件都翻译明白就可以了。 17题恶心题来了，反函数求极限这种题下次直接扣我分就好了，何必浪费我20分钟呢 18题这题是给人算的啊，最后那个积分有点难想，上下同除ex次幂，计算量也不小。 19题计算量也大没啥好说的，一算一个不吱声 20题好眼熟，感觉这个凑微分我做过，不记得是哪套卷子上的了。 21题不难，我最开始还构造错了辅助函数，写了半篇都白写了，这题比前面简单多了。 22题把卷子给他撕喽，不做了，不会。强烈建议大家最后做这套，太恶心了！！！不想学数学了，晚上学物理[生气R][生气R]

𐟓š 正项级数收敛性判别大法 𐟔 𐟧 想要知道正项级数是否收敛？来看看这些超实用的判别方法吧！ 1️⃣ **比较审敛法** 𐟆š 通过比较级数项与某个已知极限的级数项的大小，来判断原级数的敛散性。 𐟓Œ 例：若已知级数P-级数收敛，则可以通过比较审敛法判断其他正项级数的敛散性。 2️⃣ **比值审敛法** 𐟔„ 利用级数项的比值来判定级数的敛散性，特别适用于当比值接近1时的情况。 𐟓Œ 例：若比值lim(an/an-1) < 1，则级数收敛；反之，若比值趋近于1，则无法判断。 3️⃣ **根值审敛法** 𐟌𑊠 通过计算级数项的根值来判断其敛散性，适用于当根值接近1时的情况。 𐟓Œ 例：若根值lim(an)^(1/n) < 1，则级数收敛；反之，则发散。 𐟎‰ 这些方法都是判断正项级数收敛性的有效工具，赶快收藏起来吧！在数学学习的道路上，它们将是你的得力助手！𐟌Ÿ

高中数学解题技巧与化简方法全解析从高一到高三，数学解题方法和运算化简技巧有哪些？今天做一个全面详细的汇总，建议收藏。 𐟓 解题方法30招汇总配方换元反证割补法待定系数法分析比较综合观察定义法等体积法等面积法向量法解析法构造法类比法导数法放缩法参数法消元法不等式法判别式法分类讨论法数学归纳法分离参数法整体代换法设而不求法设未知量求解法正难则反 𐟓 运算化简方法17种汇总繁分数化简分式中的指数幂处理齐次式处理分式变形分子常数化分母有理化配方提公因式因式分解多项式合并根与系数关系方程与方程组求解一元二次不等式求解不等式恒成立求解三角形基本性质化简（角平分线定理，中线定理）向量化简三角函数化简 𐟔” 解题的5条特别提醒解题时能否找到简单方法，关键在于条件中的特殊性。遇到不等式问题时，特别检验能否取等号，一定要单独检验。应用各类结论必须要有证明。两问记得用第1问的结论。局部问题书写注意：长则简写，短则详写。希望这些技巧和方法能帮助你在高中数学中取得更好的成绩！

级数收敛与发散的判断方法 𐟓š 常数项级数的定义与性质常数项级数就是每一项都固定的级数。它的收敛性可以通过一些方法来判断。等比级数如果等比级数的公比q的绝对值小于1，那么这个级数是收敛的。收敛的和可以用公式S_n = a / (1 - q)来计算。正项级数的判敛方法收敛原则：如果级数{S_n}有界（即单调不减且有上界），那么这个级数是收敛的。比较判别法：找另一个级数进行比较，如果从某一项起，这个级数大于等于原级数，那么原级数是收敛的；如果小于原级数，那么原级数是发散的。比较判别法的极限形式：找另一个级数，上下放求极限，如果极限趋于0，那么原级数是收敛的；如果极限趋于无穷，那么原级数是发散的；如果极限等于常数，那么原级数的敛散性不确定。比值判别法：后项比前一项，再求极限，极限小于1，收敛；大于1，发散；等于1，不定。根植判别法：开n次方根，再求极限，极限小于1，收敛，大于1发散。如果开N次方后不求极限直接能看出大于等于1，则一定发散。积分判别法：找一个单调减少的非负连续函数F(x)，使得un = F(n)，做反常积分，与级数同敛散。交错级数莱布尼兹判别法： un的极限趋于0 un单调不增（后项比前项；后项减前项；令为F函数求导）调和级数发散，但交错调和级数收敛。任意项级数加绝对值，用正项级数判敛法则。绝对收敛：加绝对值收敛，级数也收敛。条件收敛：级数收敛，加绝对值发散。幂级数求和un(x - x0)^n形式，和泰勒展开有联系。要求收敛区间和收敛域（用阿贝尔定理）。收敛域的求法：不缺项的幂级数：加绝对值，用比值或根植法，R = 1/p（极限存在），或∞（极限为0），或0（极限不存在）。缺项的幂级数：先加绝对值；再用正项级数比值或根植（要把x^n带上），令p小于1，得到关于X的定义域，即收敛域。 Ps：收敛半径不变，收敛域或因求导缩小；或因积分扩大。幂级数的和函数在收敛条件下，有数乘、倍加等线性性质；整个计算过程记得先标收敛域。计算手段：拆开成两个级数相乘的形式（涉及恒等变形，使两个级数通项幂次数相等、下标相同）。重要展开式

无穷级数880考点全解析！ 1️⃣大题考法与微分方程结合：常见题型，通常涉及求导。与高阶导数结合：利用级数和公式及泰勒展开式计算 f（n）（a）/n！＝an，注意计算过程中容易出错，转化下标或上标。和函数：展开和函数时，不要忘记对特殊点讨论，0点可直接带入，其余根据求出的和函数判断级数和的极限。子级数只有一种方法，母级数分情况（尤其是阶层拆项根据具体题目进行拆，前面配系数，常考）。展开时一定要合并到底，注意计算的粗心。伽玛函数：在这里也会用到，熟练掌握。 ⭕交错级数：简单两种方法，一是莱布尼茨法（关键是判断单调不增），二是取绝对值法（如题中出现sin、cos等函数）。如果题中缺少（-1）^n，但很明显是交错，可以凑（-1）^n，常见于三角函数。 ⭕正项级数：通常可以利用Sn是否有界，limun≠0则发散。比较判别法（大收小收小散大散），这里通常可以利用函数趋于0或趋于♾️速度来快速判别，前提要很熟悉。比较判别法的极限形式（主要是找相比较的函数），有时候找到之后进行相比也可以利用趋向速度来快速判断。熟悉的p级数、q级数等（图3总结），比值判别法，根值判别法，积分判别法（要求是正项且Un＝f（n）其中f是非负连续单调减少，可以看方浩强化讲义例6）。 ⭕一般项级数：给它加上绝对值写成正项级数进行判别。 ❗❗❗做题总结：对于选择题，可以举反例先进行排除，积累常见的反例！880很多！基础部分选择题基本都可以通过举反例排除掉。比值根值比较审敛法都是充分不必要！选择题看到这种形式立刻排除！定性判断不了定量，除了已有的那个定理，其余都不可以，所以选择可以直接排除（大家移步上一篇笔记看即可）。判断绝对收敛还是相对，第一步利用比较审敛法（判断是否绝对），第二步用莱布尼茨。缺项的级数判收敛域都用比值法！ 2️⃣选择题判断级数敛散性首先判断级数是什么类型（正项、交错、一般）。正项级数：通常可以利用Sn是否有界，limun≠0则发散。比较判别法（大收小收小散大散），这里通常可以利用函数趋于0或趋于♾️速度来快速判别，前提要很熟悉。比较判别法的极限形式（主要是找相比较的函数），有时候找到之后进行相比也可以利用趋向速度来快速判断。熟悉的p级数、q级数等（图3总结），比值判别法，根值判别法，积分判别法（要求是正项且Un＝f（n）其中f是非负连续单调减少，可以看方浩强化讲义例6）。交错级数：两种方法，一是莱布尼茨法（关键是判断单调不增），二是取绝对值法（如题中出现sin、cos等函数）。如果题中缺少（-1）^n，但很明显是交错，可以凑（-1）^n，常见于三角函数。一般项级数：给它加上绝对值写成正项级数进行判别。

无穷级数和反常积分的敛散性判断方法在数学中，无穷级数和反常积分是两个非常重要的概念，它们在收敛性和发散性的判断上有着密切的联系。今天，我们就来聊聊如何判断这些无穷级数的敛散性。正项级数和反常积分的敛散性 𐟓ˆ 正项级数和反常积分都有其特定的敛散性判断方法。对于正项级数，我们可以通过比较判别法来判断其敛散性。具体来说，如果正项级数的极限形式满足“大收敛小发散”的条件，那么这个级数就是收敛的。反之，如果极限形式满足“大发散小收敛”的条件，那么这个级数就是发散的。反常积分的敛散性 𐟚€ 对于反常积分，我们可以通过积分极限的形式来判断其敛散性。具体来说，如果反常积分的极限形式满足“大收敛小发散”的条件，那么这个积分就是收敛的。反之，如果极限形式满足“大发散小收敛”的条件，那么这个积分就是发散的。判断流程 𐟓 在实际操作中，我们可以通过以下步骤来判断一个无穷级数或反常积分的敛散性：首先，确定级数或积分的类型（正项、负项等）。然后，根据类型选择合适的判别法（如比较判别法、根值判别法等）。接着，计算极限形式，判断其是否满足“大收敛小发散”或“大发散小收敛”的条件。最后，得出结论：如果满足条件，则级数或积分是收敛的；如果不满足条件，则级数或积分是发散的。小结 𐟓š 无论是无穷级数还是反常积分，它们的敛散性判断都有着明确的方法和流程。只要我们掌握了这些方法，就能轻松应对各种数学问题。希望这篇文章能帮到你，让你在数学学习中更加得心应手！

专栏内容推荐

461 x 242 · png
比值审敛法是什么啊-百度经验
素材来自:jingyan.baidu.com
720 x 4330 · jpeg
4.2.2.1比较审敛法的极限形式 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com

素材来自:v.qq.com

535 x 335 · png
比较审敛法的极限形式是什么-百度经验
素材来自:jingyan.baidu.com
3648 x 2736 · jpeg
【自用总结】正项级数审敛法的总结_张宇收敛判别法-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

2113 x 1095 · jpeg
高等数学：无穷级数（持续更新） - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com

1306 x 1881 · jpeg
微积分每日一题11.27：利用比较审敛法判断级数的敛散性 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com
585 x 391 · jpeg
比较审敛法_搜狗百科
素材来自:baike.sogou.com

2019 x 1769 · png
级数1/n^2+1敛散性-百度经验
素材来自:jingyan.baidu.com
1080 x 810 · jpeg
§6.2反常积分判敛法_word文档在线阅读与下载_免费文档
素材来自:mianfeiwendang.com

720 x 306 · jpeg
数学技巧篇40：比较审敛法的几种级数收敛证明方法 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com

745 x 476 · png
比较审敛法 - 快懂百科
素材来自:baike.com
1442 x 930 · png
高数_第6章无穷级数__正项级数的性质_比值_比较_根值_极限审敛法_比值审敛法和比较审敛法的区别-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

1068 x 643 · png
常数项级数的审敛法 | Jason‘s Blog
素材来自:jasonxqh.github.io
2868 x 1280 · jpeg
高数_第6章无穷级数__正项级数的性质_比值_比较_根值_极限审敛法_比值审敛法和比较审敛法的区别-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

1184 x 1104 · png
高数_第6章无穷级数__正项级数的性质_比值_比较_根值_极限审敛法_比值审敛法和比较审敛法的区别-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net
2114 x 1280 · jpeg
高数_第6章无穷级数__正项级数的性质_比值_比较_根值_极限审敛法_比值审敛法和比较审敛法的区别-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

1116 x 233 · png
21考研数学新增：比较审敛法。10年真题讲解 - 哔哩哔哩
素材来自:bilibili.com

4362 x 1280 · jpeg
高数_第6章无穷级数__正项级数的性质_比值_比较_根值_极限审敛法_比值审敛法和比较审敛法的区别-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

767 x 247 · png
高数(下) Ch12.无穷级数_高数无穷级数-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

2544 x 1176 · png
无穷级数学习_根植审敛法和极限审敛法-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

3054 x 1280 · jpeg
高数_第6章无穷级数__正项级数的性质_比值_比较_根值_极限审敛法_比值审敛法和比较审敛法的区别-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

3648 x 2736 · jpeg
【自用总结】正项级数审敛法的总结_张宇收敛判别法-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net
1288 x 1280 · jpeg
高数_第6章无穷级数__正项级数的性质_比值_比较_根值_极限审敛法_比值审敛法和比较审敛法的区别-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net

1411 x 833 · jpeg
微积分每日一题6-20：利用斯特林公式以及比较审敛法判断级数的敛散性 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com
600 x 839 · jpeg
微积分每日一题12.7：利用比较审敛法与根值审敛法判断级数的敛散性 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com