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复变函数求导权威发布_复变函数求导公式证明(2024年11月精准访谈)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：观点更新日期：2024-11-28

复变函数求导

数学分析必考题型汇总，轻松掌握！ 𐟓š 理清数学分析考试题型，有助于更好地复习哦～判断开集、闭集、有界集、区域，指出聚点、界点、内点证明集合为闭集：聚点都属于集合求二元函数的极限：直接求或者追敛性讨论二元函数的重极限和累次极限求二元函数的重极限：y=x，极限不存在累次极限存在不相等，重极限不存在讨论函数的连续性：主要看区域分界点的连续性求偏导数：将另一变量看成常量求导证明偏导数不存在：定义求极限考察函数可微性：反证法求全微分：直接求给定点的全微分求切平面方程和法线方程：切平面和法线方程的求解计算近似值：f(x, y)≈f(x0, y0)+fx(x0, y0)dx+fy(x0, y0)dy 求复合函数的偏导数或导数：链式法则求复合函数的全微分：直接求证明等式：质求偏导数求方向导数：f(x, y, z)=fx(p0)cosa+fy(p0)cosfz(p0)cos求梯度：gradf(p0)=(fx(p0), fy(p0), fz(p0)) 求泰勒公式：f(x+dx, y+dy)=f(x, y)+fx(x, y)dx+fy(x, y)dy+fxx(x, y)dxⲫfxy(x, y)dxdy+fy(x, y)dyⲊ求高阶偏导数：注意复合函数的高阶求导，在一阶求导后f与两个中间变量都还有关求极值点：先求出fx=0，fy=0的点，再求fxx，fxy，fy，最后判断极值类型求最值：在稳定点、不连续点、边界点中比较出最值是否存在隐函数：隐函数存在性定理：F(x0, y0)=0，Fy、F连续，Fy≠0 求隐函数导数：先去除fy=0的点，然后求f(x)=-(Fx/Fy) 求平面曲线的切线方程和法线方程求空间曲线的切线方程和法平面方程：两种情况（如求某曲线的切线平行某个平面）求平面的切平面和法线方程（如求某平面的切平面平行某个平面）求条件极值：L(x, y, z, =f(x, y, z)+h1(x, y, z)+h2(x, y, z))，求解方程组：Lx，Ly，Lz，…L0，求得稳足点，判断是否为极值点，是否取极值或最值拉格朗日乘数法应用：重新求水箱设计的问题，解拉格朗日函数L(x, y, z, A)=2(xz+yz)+xy+(xyz-V)，令偏导数等于0，求解方程组，得到最小值S=3(2V)Ⲁ

2003年考研数学一真题详解与感悟用时：3小时错误情况：（14）题：收敛区间写错了。（18）题：第二问做题方向有误，导致题目变得复杂无法解决。（19）题：第二问没有求出特征向量。（20）题：没有看出式子的结构特征，求解无法继续。试卷分析：从第一年真题写到2005年后发觉，每当试卷改版的第一年总是难度陡增，03年真题也不例外，这张卷子给我带来的收获很大。（9）题：我用特殊值法设了一个具体的f来做的，看了答案之后发现在一元函数里经常使用的“去掉极限，假设无穷小量”的做法在二元函数里也可以使用，只是我从没试过。（14）题：这是一个非常好的题目，它警示了我在级数题目中考虑收敛域时不仅要参考级数的收敛域，也要参考函数自身的定义域。本题若将f展开的话在x=-1/2也是收敛，但此处在f中无定义，需要舍去。（18）题：这题出的也很好，不同于以往的构造函数证明。我一开始掉入了思维定势，想着一定要求出这个函数在0正处的极限值（使用积分中值定理和夹逼），然后说明单调得证，但这样做会有求导的困难。这题的小巧之处在于只考虑构造的函数与0的比较，通分后便约去了分母复杂的部分，只需要考虑分子，这给求导带来了极大的便利。同时本题的第一问在求导过程中出现了很多的自变量与被积变量，我第一次在做的过程中并没有察觉到利于简便计算的方法，实际上可以通过把自变量放进被积函数内部进行因式合并，给计算带来简便。（19）题：我是最后写的最后时间太紧张没写出来特征向量，这一题最重要的价值就是告诉了我们相似矩阵之间相同特征值对应特征向量间的关系。（20）题：本身并不太复杂，本质是求行列式，但它的最大的障碍在于说明（c-b）（b-c）-（a-b）（a-c）＝0不成立，这个式子很容易让人联想到矩阵的行变换且对应成比例，但这么做的话就陷入了误区，其实这个式子展开后等价于（a-b）ⲫ（b-c）ⲫ（a-c）ⲽ0。

一轮复习：导数的定义和运算 9月开始，我就把全部精力都放在了孩子们身上，更新速度完全跟不上上课进度了𐟘…。每天都在书上写题和备课，只能偶尔掉一点知识点。今天居然发现还有人不会算分式的导数，真是崩溃啊𐟘“。调整目标和重难点导数的概念和变形：导数的定义和基本变形是重点，需要强化理解和记忆。复合函数的求导：复合函数的求导方法和技巧是难点，需要多做练习。学习情况和策略学生互动展示分析从平均变化率到瞬时变化率的过程，理解导数的几何意义。求曲线的切线方程，利用导数求函数的单调性。利用导数求复合函数的导数。教学过程设计导数的概念：从平均变化率到瞬时变化率的定义，理解导数的几何意义。利用概念求导数：通过具体例子练习求导数的方法。导数的几何意义：曲线在某点的导数就是该点的切线斜率。效果反馈和自我评价经过一轮复习，孩子们对导数的定义和基本变形有了更深刻的理解，但在复合函数的求导上还需要继续努力。自己在教学过程中也发现了一些问题，需要不断改进和调整。调整目标和重难点已知函数f(x)=x+x^2，求曲线在点(2,b)处的切线方程。求曲线y=f(x)在某点处的切线方程及切点坐标。利用点斜式求直线的方程。教学过程设计设出点坐标P(x1,y1)，写出过P点的直线方程y-y1=k(x-x1)。将点的坐标代入方程，求出直线的斜率k。利用点斜式求出直线的方程，并求出切点坐标。效果反馈和自我评价经过一轮复习，孩子们对导数的计算和应用有了更熟练的掌握，但在复合函数的求导上还需要继续努力。自己在教学过程中也发现了一些问题，需要不断改进和调整。调整目标和重难点已知函数f(x)=x+x^2，求曲线在点(2,b)处的切线方程。利用导数求函数的单调性：通过具体例子练习求函数单调性的方法。利用导数求复合函数的导数：掌握复合函数求导的基本公式和方法。教学过程设计利用定义法求导数：通过具体例子练习利用定义法求导数的方法。利用基本初等函数的导数公式：掌握基本初等函数的导数公式并熟练应用。利用复合函数的求导法则：掌握复合函数求导的基本法则并熟练应用。效果反馈和自我评价经过一轮复习，孩子们对导数的计算和应用有了更全面的掌握，但在复合函数的求导上还需要继续努力。自己在教学过程中也发现了一些问题，需要不断改进和调整。

李林6套卷（5）复盘：区间再现技巧总结 1. 无穷小量换元：在处理变上限积分时，可以使用等价无穷小来简化计算。极值与拐点：通过泰勒展开导数，可以获取更多信息。特别是偶极奇拐，可以利用法二导数定义来分析。数列极限判断：看到 arctantan 或 arcsin 时，可以画图观察图像，结合特殊值进行判断。螺线面积：将螺线公式转化为定积分定义，可以方便地进行计算。偏导数求解：在多元微分中，可以先代入再求偏导数，其他选项则可以使用全微分的定义。常微分方程：注意特解的形式，这是解题的关键。定积分大小比较：通过比较定积分的大小，可以得出一些结论。线高结合：利用兰姆达 e -A 的特征值方程，可以解出导数属于（0，3）的区间。方程组有解：A 和 B 选项为行列满秩，条件太强，不需要。合同判断：通过判断正负个数，可以确定 A 与 B 合同，从而分析 p 和 q 的关系。极限求解：利用极限三部曲，可以逐步求解复杂极限。积分次序交换：通过交换积分次序，可以方便地进行变上限积分求导，并对内层函数进行区间在线。极限凑定积分：通过凑定积分定义，可以完全理解定积分定义，并得出自身为零的结论。多元积分偏导：对 x 求偏导数，可以利用克拉默法则。累次积分：arctan⼤𘺠tan 𜯼Œ即正切的角度。这些技巧和方法可以帮助你更好地理解和解决李林6套卷中的问题。希望这些总结对你有所帮助！

华南师范大学数学分析第五单元知识点总结好久不见啦！今天我们来聊聊华南师范大学数学分析第五单元的一些重要知识点，特别是导数与微分部分。这个单元可是数学分析的精髓哦！导数的概念 𐟓š 首先，导数是什么？简单来说，导数就是函数在某一点的变化率。比如，速度就是距离对时间的变化率。导数的定义有很多种，但最基础的就是极限定义。导数的几何意义 𐟌Ÿ 导数在几何上也有重要的意义。它表示函数在某一点的切线斜率。想象一下，如果你在图上画一个函数，那么导数就是这条函数曲线在某一点的切线的斜率。求导法则 𐟧𑂥Ｆ𓕥ˆ™可是导数计算的关键。导数的四则运算、乘法、除法、复合函数、反函数等等都有相应的求导法则。比如，乘法法则就是：(uv)' = u'v + uv'。反函数的导数 𐟔„ 反函数的导数也是一个重要的概念。如果y是x的反函数，那么y' = 1/x'。这个公式在求反函数的导数时非常有用。高阶导数 𐟚€ 高阶导数就是导数的导数。比如，f''(x)就是f'(x)的导数。高阶导数的计算通常需要一些技巧，比如莱布尼兹公式。莱布尼兹公式 𐟌 莱布尼兹公式是求高阶导数的一个非常有用的工具。它的形式是：(d^n/dx^n)f(x) = ∑(n!/(k!(n-k)!)f^(k)(x)(-1)^(n-k)x^(n-k)。微分 𐟔⊥𞮥ˆ†是导数的实际应用。微分的形式是dy = f'(x)dx。微分的运算法则包括乘法和除法法则，以及高阶微分的计算。微分形式的不变性 𐟔„ 微分形式的不变性是一个非常重要的概念。无论函数如何变化，它的微分形式总是保持不变的。这个性质在微分方程的求解中非常有用。高阶微分 𐟚€ 高阶微分就是微分的微分。比如，d^2y/dx^2就是d(dy/dx)/dx。高阶微分的计算通常需要一些技巧，比如高阶导数的计算方法。高阶微分形式记 𐟓 高阶微分的形式记为d^ny/dx^n。这个记号表示函数y对x的n阶微分。高阶微分的计算需要一些技巧，比如莱布尼兹公式。希望这些知识点能帮到你，准备好迎接接下来的数学分析挑战吧！𐟒ꀀ

北京邮电大学2023年数学分析考研题集 𐟓š 本专栏旨在帮助同学们复习备考，由于个人水平有限，可能存在一些不够严谨或错误的地方，欢迎大家批评指正，共同进步！ 𐟓 本套题目覆盖面广，难度适中，适合备考使用。以下是一些主要题型：极限计算与等价代换 𐟓 积分判别法证明级数收敛 𐟓ˆ 函数的幂级数展开 𐟓‘ 洛必达法则和Taylor定理 𐟓˜ 变上限积分求导 𐟓š 利用Green公式 𐟌🊨ᥩ⥐Ž利用Gauss公式 𐟌 含参量反常积分 𐟌€ 结合上确界的定义，构造递增数列 𐟓– 裴礼问1.2.10原题，忘了咋写了，当时没写出来 𐟘… 基础Lagrange中值定理 𐟓 常见多元可微性 𐟌 函数列的一致收敛问题，强化讲义原题 𐟓œ 一致连续的经典问题，华东师范课本原题 𐟓š 数列极限的经典问题 𐟓– 希望这些题目能帮助大家更好地备考！

无穷比0的极限怎么求在专转本考试中，无穷比0的极限求解是一个重要的知识点。下面我们来探讨一下如何求解这类极限问题。 1️⃣ 考点1: “0比0”型极限这种类型的极限问题通常需要用到洛必达法则和等价无穷小。具体步骤如下：使用洛必达法则：如果极限形式为“0比0”，那么可以尝试求导。如果求导后极限形式仍然为“0比0”，那么可以继续求导，直到极限形式不再为“0比0”。利用等价无穷小：在求导过程中，如果遇到复杂的表达式，可以尝试用等价无穷小进行替换，简化计算。 2️⃣ 示例分析例如，对于极限lim(x->0) (sinx/x)，我们可以先求导得到lim(x->0) (cosx/1)，然后发现极限值为1。再比如，对于极限lim(x->0) (arctanx/x)，同样可以先求导得到lim(x->0) (1/(1+x^2)/1)，然后发现极限值为1。 3️⃣ 总结求解“0比0”型极限的一般步骤是：先判断是否存在等价无穷小，如果没有，尝试因式分解后再使用洛必达法则。注意等价无穷小的使用条件是整体趋于0。通过以上步骤，我们可以更有效地求解无穷比0的极限问题。希望这些技巧对你在专转本考试中有所帮助！𐟓š✨

云南大学数学分析考研大纲详解对于准备考研的同学们来说，考研大纲是备考路上的指路明灯。有了大纲，大家就能更明确自己的复习方向，避免走弯路。为了帮助大家更好地了解云南大学的数学分析考研大纲，我们整理了以下内容，供大家参考。微分学的基本定理及其应用 𐟓– 微分中值定理泰勒公式函数的升降、凸性与极值平面曲线的曲率待定型方程的近似解不定积分 𐟧𘍥篥ˆ†的概念及运算法则不定积分的计算定积分 𐟓 定积分概念定积分存在条件定积分的性质定积分计算定积分的应用和近似计算 𐟌 平面图形面积曲线的弧长体积旋转曲面的面积质心平均值、功数项级数 𐟔⊤𘊦ž限与下极限级数的收敛性及基本性质正项级数任意项级数绝对收敛级和条件收敛级数的性质无穷乘积反常积分 𐟚늦— 穷限的反常积分无界函数的反常积分函数项级数、幂级数 𐟓ˆ 函数项级数的一致收敛性幂级数逼近定理 Fourier级数和Fourier变换 𐟌Š Fourier级数 Fourier变换多元函数的极限与连续 𐟌 平面点集多元函数的极限和连续性偏导数和全微分 𐟔 偏导数和全微分的计算求复合函数偏导数的链式法则由方程（组）所确定的函数的求导法空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线方向导数和梯度泰勒公式极值和条件极值 𐟏† 极值最小二乘法条件极值隐函数存在定理、函数相关 𐟔— 隐函数存在定理函数行列式的性质函数相关含参变量积分 𐟌€ 含参变量的积分的定义含参变量的积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理含参变量的积分的计算含参变量的反常积分 𐟚능‚变量的反常积分的一致收敛的定义及判别法：Cauchy收敛原理、Weierstrass判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法一致收敛积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理 Beta函数和Gamma函数积分的定义和性质 𐟓 二重、三重积分、第一类曲线、第一类曲面积分的概念积分的性质重积分的计算及应用 𐟏ž️ 二重积分的计算三重积分的计算积分在物理上的应用反常重积分曲线积分和曲面积分的计算 𐟌 第一类曲线积分的计算第一类曲面积分的计算第二类曲线积分第二类曲面积分各种积分间的联系和场论初步 𐟌 各种积分间的联系格林(Green)公式高斯(Gauss)公式斯托克司(Stokes)公式曲线积分和路径的无关性场论初步希望这些信息能帮助大家更好地备考，祝大家考研顺利！𐟓–✨

李林6套卷复盘：数学高手的16个秘诀 1. 𐟓ˆ 渐近线方向：如果渐近线在同一方向上，水平渐近线就不会有斜渐近线。 𐟓‘ 分段讨论：用x代换y中的t，进行分段讨论。 𐟔 积分不等式：被积函数相减做差，构造辅助函数。 𐟏”️ 多元函数极值：注意充分必要条件的界定，题目中要求必要条件，而AC-Bⲯ𜞰是充分条件，但必要条件也包含充分条件，所以需要考虑等于0的情况，找个具体函数算一下。 𐟔⠧‰𙦮Š值法：取函数px为1或者构造辅助函数，第一个条件就是让我用辅助函数。 𐟌 二重积分中值定理：注意一个圆从0到2š„d篥ˆ†，后面为积分0～t，t是一条射线，极限中含有变现积分思路就是积分中值或者洛必达。 𐟧頥𞮥ˆ†方程：如果微分方程比较难解，不要蛮干。如果只需要解的形式，只需要把图像画出来分析一下，带值或者求导的时候先用小脑筋思考一下，哪些求完是为0的就不用算。 𐟔„ 方程组同解：你是我的姐我是你的解，三秩相同。向量组等价：行向量组等价，列向量组等价。 𐟧𘠧Ÿ驘𕧛𘤼𜯼ša相似于b，a秩相似b秩。 𐟓 正定：所有x≠0时，二次型＞0恒成立。建立的齐次方程组如果有解那么就不成立，所以方程组不成立，只有零解，所以满秩，所以行列式为0。 𐟓ˆ 高阶导积分方程：可以通过条件解出fx具体的式子再泰勒展开，注意n阶导数方程/n阶乘为n阶系数。 𐟓Š 通分之后分子为泰勒的变形，分母用一次拉格朗日，或者洛必达之后凑导数定义。 𐟌€ 绕极轴：用公式或者古尔丁定理小，想水管，半径可用y代替然后换成rsinˆ–者微元法（宽为dx，长为y的微元绕一圈变成一个饼，但是注意！这里的y不可以换成rsin𜌥› 为这个y是一直在边线上的，不用走到里面去，所以用条件r=1+cos𜉣€‚ 𐟧䚥…ƒ微分：在固定点可以先代后求，泰勒在信息多的地方展开，求道先思考哦。 𐟌Š 物理应用水深压力：F=PS（p=h）。 𐟔砦–𙧨‹组有解：a的秩等于增广矩阵的秩。

阿里巴巴决赛的优化题挑战最近，阿里巴巴的数学竞赛可是火得不行，尤其是应用与计算数学赛道的那道题，简直让人欲罢不能。我也试着挑战了一下，结果只做对了第一问。不过，这题目确实有意思，涉及到向量求导、矩阵范数和不等式放缩，真是让人头大。神经网络目标函数的有界性证明 𐟧 这道题的第一问是证明神经网络目标函数的有界性。主要用到的是向量求导和矩阵范数的知识。具体来说，就是通过对目标函数进行求导，然后利用矩阵范数的性质来证明其有界性。这个过程虽然看起来简单，但实际操作起来还是挺复杂的。梯度下降与随机梯度下降的稳定性分析 𐟓‰ 第二问则是关于梯度下降和随机梯度下降的稳定性分析。题目假设有一个输出标量的深度神经网络，输入是x，权重是w。然后，它给出了一个关于w的损失函数Ls(w)。接着，分别讨论了梯度下降和随机梯度下降在特定条件下的稳定性。梯度下降的局部稳定性 𐟓ˆ 对于梯度下降法，题目要求证明如果学习率的谱范数满足某个条件，那么梯度下降是局部稳定的。这意味着损失函数对所有w都是有界的。这个证明过程需要用到矩阵范数的性质和一些不等式放缩的技巧。随机梯度下降的稳定性 𐟎𒊊对于随机梯度下降法，题目要求证明如果损失函数的期望对所有w都有界，那么随机梯度下降也是稳定的。这里的不等式放缩和噪声项的处理是比较关键的。总结与感想 𐟓 这道题真的是让我大开眼界，不仅考察了数学的基本功，还涉及到了一些机器学习和优化算法的知识。虽然我只做对了第一问，但这个过程让我对神经网络的优化有了更深入的理解。希望以后还能有机会继续挑战这种有趣的问题！