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正交对角化前沿信息_正交对角化和相似对角化区别(2024年12月实时热点)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：教程更新日期：2024-11-30

正交对角化

【MAT3341 Applied Linear Algebra: 一份详尽的应用线性代数课程笔记，涵盖矩阵算法、范数、条件数、正交性、对角化等关键概念，帮助理解和解决实际线性系统问题】"MAT3341 Applied Linear Algebra"网页链接「应用线性代数」「矩阵理论」「范数和条件数」「正交和对角化」

那么我用相似对角化：P逆AP＝∧来求得这个A矩阵和用正交对角化：Q转置AQ＝∧来求A矩阵结果应该是一样的吧

实对称矩阵的那些事儿 𐟧﹧簧Ÿ驘𕨿™个东西，看起来很平常，但其实背后藏着不少秘密。首先，实对称矩阵可以相似对角化，这不过是表象。真正重要的是，n阶实对称矩阵有n个线性无关的特征向量。换句话说，每个特征值都有相应数量的线性无关特征向量。更进一步，实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的。这意味着你可以用正交矩阵来相似对角化。正交矩阵就是由n个线性无关的特征向量经过施密特正交化后拼成的。对于初学者来说，很容易只看到表象，而忽略本质。这样在做题时会吃亏，比如例8.14和例8.15。所以，我们应该时刻反思解题步骤中用到的是哪个知识点，并在多个练习结束后把知识点串成串𐟍⣀‚看到已知条件就能形成连锁反应，灵活挑选当下所需的知识点，解题自然就变得行云流水𐟘Ž。总之，实对称矩阵不仅仅是一个可以相似对角化的矩阵，它背后隐藏着更深层次的数学原理。掌握这些原理，才能更好地理解和应用实对称矩阵。

2024北京科技大学高等代数全解析𐟓š 大家好，今天我们来详细解析一下2024年北京科技大学高等代数试卷的各个题目。准备好了吗？让我们开始吧！ 𐟔 最后一题确实有点难度，大家可以一起过一遍。 𐟔„ 第一题是关于循环行列式的，逐行减然后逐列减是一个非常万能的方法，大家一定要记住哦！ 𐟓 第二题是线性方程组的解的讨论，这个问题需要大家对线性方程组有深入的理解。 𐟌 第三题是讨论特征值的问题，因为是对称矩阵可对角化，结合秩一矩阵的性质来解答。 𐟧頧쬥››题的第一小问是考虑顺序主子式，第二小问则是施密特正交化，大家可以分别尝试一下。 𐟒ᠧ쬤𚔩☧š„内积定义代入非常简单，大家可以轻松搞定。 𐟤 第六题ABCD都两两可交换，证明互相包含就行了，这个问题性质非常好。 𐟕𓯸 第七题考的是打洞原理，大家可以尝试用打洞的方法来解决。 𐟔�쬥…멢˜考的是艾森斯坦判别法，这个问题需要大家对判别法有深入的了解。 𐟐𞠧쬤𙝩☥™…上是求特征值和特征向量，然后进行基变换，需要用到分块矩阵以及AX-XB=C的性质，如果A，B无公共特征向量，那么X解唯一，这个性质可以帮助大家轻松解决这个问题。好了，今天的解析就到这里，希望大家都能在考试中取得好成绩！加油！𐟒ꀀ

麻省理工线性代数核心知识点速览 𐟓š 向量与向量空间：向量的定义与性质向量的线性组合、线性相关性与线性无关性向量空间的概念与性质 𐟧頧Ÿ驘𕤸Ž矩阵运算：矩阵的定义、性质与运算规则矩阵乘法、矩阵的逆与转置 𐟔砧𚿦€禖𙧨‹组：线性方程组的表示与解法矩阵消元法、高斯消元法、LU分解等方法 𐟌€ 线性变换与矩阵表示：线性变换的定义与性质线性变换的矩阵表示、特征值与特征向量 𐟏 子空间与基变换：子空间的概念与性质基与维数、基变换与坐标表示 𐟔 内积空间与正交性：内积空间的定义与性质正交向量、正交基与正交投影 𐟎‰𙦮Š类型的矩阵：对角矩阵、上三角矩阵与下三角矩阵对称矩阵、正交矩阵与单位矩阵 𐟌 特征值与特征向量：特征值与特征向量的定义与性质对角化与相似矩阵 𐟓ˆ 线性相关性与线性变换的应用：最小二乘法主成分分析（PCA）线性回归与数据拟合

25张宇八套卷（四）心得与复盘整张试卷下来，感觉就是两个字：离谱！这出的题简直不像考研的水平，更像是黔驴技穷了。前三套题还勉强能用他的结论来应付，但这套卷子开始堆砌计算了。选择填空 1️⃣ 第一题，1对2对，直接选C。这里用脱帽法还是挺经典的。 2️⃣ 第二题，格林公式。 3️⃣ 第三题，这个题目说an条件收敛，12必发散，直接选D。答案搞得太没含金量了，最精彩的放缩都没用。 4️⃣ 第四题，真是懵逼了。求k的取值范围还好，这个换元要是没做过这题你就想吧。倒代换倒是也有这思路，你要是能一下子想出来然后很快反应过来他的系数对称是为什么，那就太牛了。 5️⃣ 第五题，直接说这个题是**题。我用A-E发现他是秩为一矩阵，还看了半天。我说这个n充分大用不了秩1矩阵的性质啊，真看了半天，只能对角化硬算。判定为没有任何技巧单纯难为人的题。 6️⃣ 第六题，张宇真是黔驴技穷了。三向量正交化一直是灰色地带，就是大纲没说不能考察，他就水灵灵的拿出来了。但是硬算一样算，这就是这张试卷恶心人的点，让你跟高手之间差的不是实实在在的智商，而是一些考研老师没强调的东西。 7️⃣ 第七题，真是对二次型的最值情有独钟。一共四张试卷，出了三个了。其实他一直出一直强调的是，二次型最值跟特征值关系并不大，而是看条件给的约束条件。 8️⃣ 第八、九、十题，没有任何技巧，傻算。填空题填空像进了天堂。大题 1️⃣ 第十七题，拉格朗日乘数法。记住拉格朗日乘数法计算的主要目的是寻找最大公因式。 2️⃣ 第十八题，只能说能一下子就想到答案上的函数拉格朗日和第二问这样放缩的，都是天才。反正我没反应过来，这个放缩而且要取绝对值反过来，太牛了这思路。 3️⃣ 第十九题，这题没别的招。你想用单调有界，就要反证。你直接说明很难。第二问，这个题很明显就是分母是一次就发散，高次就收敛，然后0在定义域不能直接取1/x。 4️⃣ 第二十题，线面积分要是出这么简单的，我做梦都笑醒。梯度无旋，旋度无散是关键。 5️⃣ 第二十一题，哪抄的题？最后我忘了流量必须是正的了，没求范围，第二问直接懵逼了。 6️⃣ 第二十二题，只能说卷积公式才是秘密武器。这雅可比行列式我看着就头疼。总的来说，这张试卷真是让人又爱又恨。希望下次能有个更正常的卷子吧。

线性代数笔记：Jordan分解与线性变换 𐟓笔记整理：矩阵的基本性质矩阵的转置：A^T = (A^T)^T 矩阵的逆：如果A可逆，则存在B使得AB = BA = I，称A为可逆矩阵矩阵的秩：秩是矩阵行或列的最大线性无关组的元素个数矩阵的行列式：det(A) = 0当且仅当A不可逆矩阵的迹：tr(A) = ∑a_ii，即对角线元素之和矩阵的逆可逆矩阵的条件：A可逆当且仅当A的行列式不为0 求逆矩阵的方法：通过初等行变换将A变为单位矩阵，同时记录变换矩阵B，则B是A的逆矩阵线性方程组齐次线性方程组：Ax = 0有解当且仅当r(A) < n 非齐次线性方程组：Ax = b有解当且仅当r(A) = r(A|b) 线性相关与线性无关线性相关：向量组中存在不全为0的数使得线性组合为0 线性无关：向量组中不存在不全为0的数使得线性组合为0 向量的内积与正交内积：aⷢ = |a||b|cos正交：aⷢ = 0当且仅当a与b正交正交基：由正交向量组成的向量组称为正交基施密特正交化方法：将一组线性无关的向量正交化正定矩阵与特征值正定矩阵：A为正定矩阵当且仅当A的特征值全大于0 特征值与特征向量：Ax = ，𘺁的特征值，x为对应的特征向量相似矩阵与对角化相似矩阵：A~B当且仅当存在可逆矩阵C使得B = CAC^-1 对角化条件：A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量 Jordan分解与若当型矩阵 Jordan分解：任意矩阵A都可以相似于一个Jordan块组成的矩阵J 若当型矩阵：J的每个Jordan块称为若当块，J称为若当型矩阵实对称矩阵的对角化实对称矩阵：A为实对称矩阵当且仅当A的特征值为实数实对称矩阵的对角化：A相似于对角阵，且正交相似于双对角阵二次型与慢性指数二次型：f(x) = xTAx，其中A为实对称矩阵慢性定理：任何实二次型都可以通过线性替换化为标准形，且标准形唯一。慢性指数p称为正惯性指数。正定二次型与正定矩阵正定二次型：f(x) > 0对于所有非零x成立，A为正定矩阵。正定条件：A的特征值全大于0，正惯性指数为n。合同与线性替换合同变换：X = CY，其中C可逆，则称为可通线性替换。合同条件：若AB合同，则存在可逆矩阵C使得B = CAC^-1。

秩为1的矩阵特征值与特征向量计算详解秩为1的矩阵在过去的考试中频频出现，今天我们来详细讲解一下如何计算这类矩阵的特征值和特征向量。特征值与特征向量的计算 𐟧首先，我们来看一个具体的例子。设矩阵A为： A = [x1 + 2x2 + x3, x1 + x2, x1 + x3] 其中，x1, x2, x3是未知数。类似地，我们可以构造矩阵B： B = [bx1 + b2x2 + bx, x1 + x2, x1 + x3] 接下来，我们计算矩阵A和B的乘积，得到： AB = [2(x1 + x2 + x3)2 + (b1x1 + bx2 + bx3)2, (x1 + x2)(x1 + x3), (x1 + x2)(x1 + x3)] 这可以简化为： AB = [2(xT)(x) + (Bx)T(Bx), (x1 + x2)(x1 + x3), (x1 + x2)(x1 + x3)] 由于2aaT + 是对称矩阵，所以二次型f对应的矩阵为2aaT + 。进一步计算得到： A = 2a(a)T + T = 2a(a)T + T 特征值的计算 𐟔 因为a和ƒ𝦘淚•位向量且相互正交，所以矩阵A的特征值为2和1，且1和1是重根。又因为aT和都是秩为1的矩阵，所以矩阵A的秩为2。因此，0也是矩阵A的一个特征值。经过正交变换，二次型f的标准形为2y2 + y2。练习题 𐟓 设3阶矩阵A = aaT + ，其中a和𘺦�𚤧š„单位列向量。A的伴随矩阵为A'。证明矩阵A + A'既是正交矩阵又是正定矩阵。求正交变换x = Qy，将二次型f(x1, x2, x3) = xTAx化为标准形，并说明f=1表示的空间图形。求二次型f(x1, x2, x3) = xTAx，当f=0时的解。解答：因为AT = (a + T = aaT +  = A，所以A为对称矩阵，故A可对角化。由于r(A) = r(A + A') < r(a) + r( = 2，所以0是A的一个特征值。由已知条件可得A= a，A= 𜌡和𚿦€禗关，故A的特征值为1 = 12 = 1，13 = 0。其对应的无关的特征向量为a，𜌹，其中y = 㗠€‚存在正交矩阵Q = (𜌹)，使得Q-1AQ = QTAQ = A，其中Q = [1 0; 0 1]。进而Q-A'Q = A"，00，于是Q-(A + A')Q = A + A' = E。故矩阵A + A'既是正交矩阵又是正定矩阵。存在正交矩阵Q = (𜌎𒯼Œy)，其中y = 㗠𜌥œ覭㤺䥏˜换x = Qy下，二次型f = xTA'x = TA'y = y3。f = 1y = 1，在空间上表示两个平行于坐标面的平面。 f = 0 = 0y3 = 0y = (k1, k2, 0)T (k1, k2为任意常数)。由x = y = (a + k2e)，则方程f = 0的解为x = ka + k2(k1, k2为任意常数)。

𐟓𑠧𚿤𘊧𚿤𛣨垥™诼š玩转线性代数小程序 𐟎“ 探索一个强大的线代计算工具——玩转线性代数小程序！ 𐟔 只需在微信搜索「玩转线性代数」即可轻松使用。 𐟧🙤𘪥𐏧若𚏨ƒ𝥤Ÿ处理各种复杂的线性代数问题，包括但不限于：行列式计算线性方程组求解矩阵秩的确定矩阵逆的计算矩阵加法、乘法、数乘特征值与特征向量的求解行最简型、行阶梯型、标准型的转换二次型化标准型矩阵的初等变换验证基础解系代数余子式、伴随矩阵的计算矩阵相似性判断矩阵方程的求解克莱姆法则的应用矩阵幂的计算 M-P、广义逆、最小二乘解、最佳最小二乘解矩阵范数的计算逆序数的求解转制矩阵、共轭转置的操作满秩分解、对角化、正交矩阵、Smith标准型、Jordan标准型、奇异值分解、QR分解、Lu分解向量的极大线性无关组、向量组的秩、正交化、过渡矩阵、向量的范数多项式的带余除法、综合除法、辗转相除法运筹学的大M法、对偶法 𐟓š 小程序中还提供了丰富的习题供用户练习，以及课本的课后答案供用户参考。 𐟒ᠥ🫦夽“验这个强大的线代计算工具，提升你的数学技能吧！

𐟓 同时合同对角化问题的两种解决方案 𐟔 方法一：合同变换法首先，使用合同变换法求出矩阵C。但需要注意的是，这样得到的矩阵C将第二个二次型转换为D，而D的形式可能并不是题目所要求的传统配方法中的C。 𐟒ᠦŠ€巧：将实对称矩阵D进行正交变换，得到P=CQ，这样P即为所求的矩阵。证明过程可以参考相关图示。 𐟔 方法二：配方法依旧使用配方法，但先对x2进行配方。所得的可逆矩阵C需要进行验证，以确保其为所求的矩阵。 𐟒ᠥŽŸ因：在方法一中，合同变换或配方法默认先对x1进行配方，这可能导致不匹配。因此，尝试对x2进行配方可能会得到不同的结果。

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