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不可积函数前沿信息_不可积函数具体例子(2024年11月实时热点)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：教程更新日期：2024-11-28

不可积函数

连续、有界、可积之间的关系详解 ### 连续与有界的关系 𐟓‰ 首先，我们来看看连续和有界之间的关系。连续函数一定有界：如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上一定有界。这是因为连续函数在闭区间上能取到最大值和最小值，所以函数值必然在最大值和最小值之间，即函数有界。例如，函数 $ f(x) = \sin x $ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上连续，且值域在 $[-1, 1]$ 之间，所以 $ f(x) $ 在该区间上有界。有界函数不一定连续：虽然有界函数是对函数值范围的限制，但它并不能保证函数的连续性。例如，狄利克雷函数 $ D(x) = 1 $ 当 $ x $ 是有理数，且 $ D(x) = 0 $ 当 $ x $ 是无理数，在整个实数域上是有界的，但在任意一点处都不连续。连续与可积的关系 𐟓ˆ 接下来，我们探讨一下连续和可积之间的关系。连续函数一定可积：如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上一定可积。因为连续函数的图像是一条连绵不断的曲线，不存在无限大的跳跃或间断，所以可以通过分割、求和、取极限的方式来计算定积分。例如，函数 $ f(x) = x^2 $ 在区间 $[0, 1]$ 上连续，那么 $ f(x) $ 在 $[0, 1]$ 上可积。可积函数不一定连续：虽然可积函数不一定是连续函数，但如果函数在闭区间上有界，且只有有限个间断点，那么该函数在闭区间上也是可积的。例如，函数 $ f(x) = 1 $ 当 $ x $ 是有理数，且 $ f(x) = 0 $ 当 $ x $ 是无理数，在整个实数域上有界，但在任意一点处都不连续，但它在任何区间上的积分值都可以用常规的黎曼积分方法来计算。有界与可积的关系 𐟓Š 最后，我们看看有界和可积之间的关系。可积函数一定有界：可积函数一定是有界的。这是黎曼可积的必要条件，因为如果函数无界，那么在进行积分时，无法保证积分的和是有限的，也就不满足可积的定义。有界函数不一定可积：虽然有界函数可以保证在一定范围内取值，但它并不一定可积。例如，狄利克雷函数虽然在任何区间上的积分值都无法用常规的黎曼积分方法来计算。案例分析 𐟔 现在我们来分析一个具体的例子：判断函数 $ f(x) = \sin x $ 在区间 $[-1, 1]$ 上的可积性。分析：需要判断函数在给定区间上的连续性和间断点情况。解答：当 $ x = 0 $ 时，$ f(x) = \sin x $ 是连续的；当 $ x \to 0 $ 时，$ f(x) \to 1 $，而 $ f(0) = 1 $，所以函数在 $ x = 0 $ 处连续。因此，$ f(x) $ 在区间 $[-1, 1]$ 上连续，根据连续函数必可积的结论，$ f(x) $ 在该区间上可积。

定积分、不定积分和变限积分的性质总结 ### 不定积分的存在定理 𐟓œ 不定积分（原函数）存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么f(x)在[a, b]上存在原函数。等类间断点：如果函数在间断点处左右两侧的极限存在且相等，那么原函数在这些点处存在。无穷间断点：如果函数在间断点处的极限为无穷大，那么原函数在这些点处不存在。定积分的存在条件 𐟓 定积分存在的条件：函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且[a, b]上没有间断点。间断点：如果函数在间断点处左右两侧的极限不存在，那么定积分在这些点处不存在。可积性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么它必存在一个原函数。变限积分的连续性和可导性 𐟎˜限积分连续性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么以f(x)为被积函数的变限积分在[a, b]上也是连续的。可导性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可导，那么以f(x)为被积函数的变限积分在[a, b]上也是可导的。相关例题归纳 𐟓 例1：判断函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是否可积。解：由于f(x)在[-1, 1]上是连续的，且没有间断点，因此f(x)在[-1, 1]上是可积的。例2：判断函数f(x) = 1/x在区间[1, 2]上是否可积。解：由于f(x)在[1, 2]上有无穷间断点，因此f(x)在[1, 2]上不可积。例3：判断函数f(x) = x^2 + y^2 + z^2在三维空间中是否可积。解：由于f(x, y, z)在三维空间中是连续的，且没有间断点，因此f(x, y, z)在三维空间中是可积的。

专升本高数备考，顺序别乱！嘿，准备专升本的小伙伴们，千万别小看高数这门课！如果你把顺序搞反了，那可真是稀里糊涂学得一团乱，时间和精力都白白浪费了。来，咱们一起捋一捋高数的备考重点和做题技巧吧！考试重点 𐟓š 函数、极限与连续函数的概念和性质极限的计算无穷小阶的比较函数的连续与间断零点定理（根的相关问题）一元函数微分学函数的求导导数的应用微分中值定理一元函数积分学不定积分、定积分、反常积分的计算变上限积分利用定积分求面积及旋转体体积常微分方程一阶微方程的通解、特解二阶微方程的通解、特解向量代数与空间解析几何向量的概念和性质数量积与向量积空间直线方程空间平面方程多元函数微分学二元函数的求导法则偏导数与全微分多元函数的应用多元函数积分学二重积分的计算方法第一类、二类曲线积分无穷级数常数项级书的敛散性判断幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域函数的展开与幂级数的求和做题技巧 𐟒ኦ𑂤𘍥篥ˆ†一定要＋C，求单调区间一定要考虑端点在不在定义域。带有绝对值的函数无论是求导还是求定积分，一定要去掉绝对值。等价无穷小替换一定不要用于加减，可能会出错。定积分看到上下限互为相反数，很可能用到奇偶函数在对称区间上积分的性质。应用问题求最值，一旦建立了函数关系就可以求导，求的驻点通常就是最值点。求微分时无论是求函数在一点的微分还是求函数的微分不要忘记乘dx。求定积分需要换元时，一定要注意“三换”原则。看到正弦或余弦函数在0到二分之š„定积分，有可能用到点火公式。备考小贴士 𐟓 高数基础知识一定要重点掌握！我是跟董硕专升本学的，课前先预习，课上结合老师讲的例题把基础概念、核心公式都理解透彻，做题才会更简单。某个公式不太理解的话，可以结合1-2道例题的解题步骤去拓展做题思路，做完同类型的题之后，及时总结做题技巧。准备好错题本，把掌握不牢的题总结2道，每天单独做一遍，及时巩固练习，保持好手感。基础差的同学不要钻研高难度的题，重心放在基础题上，把能拿的分数都拿到手就差不多已经够用了。希望这些小建议能帮到你们，祝大家都能顺利上岸！𐟚€

𐟓š 可导、连续、可积、可微的关系解析 𐟓– 在数学分析中，函数的性质之间有着复杂的关系。以下是一些重要的结论： 1️⃣ 可导函数一定是连续的。这意味着，如果函数在某一点可导，那么它在该点及其附近必须是连续的。 2️⃣ 连续函数不一定可导，但连续函数一定可积。连续性是可积性的必要条件，但并非充分条件。 3️⃣ 可积函数一定有界，但可积函数不一定连续。有界性是可积性的一个充分条件，但并非必要条件。 4️⃣ 可微函数一定是连续的，但连续函数不一定可微。可微性要求函数不仅连续，还需要在其定义域内具有某种程度的平滑性。 5️⃣ 偏导数连续的函数一定是可微的，但偏导数存在不一定意味着函数连续。偏导数存在是函数可微的必要条件，但并非充分条件。 6️⃣ 连续函数不一定偏导数存在，而偏导数存在的函数也不一定连续。偏导数存在是函数在某些方向上具有局部可微性的标志。 7️⃣ 二阶混合偏导数连续的函数，其偏导数必定相等。这是多变量函数微分学中的一个重要结论。 8️⃣ 偏导数一个连续一个有界函数的组合，不一定是可微的。这表明，函数的可微性不仅取决于其偏导数的存在性，还与其定义域内的行为有关。这些结论揭示了函数性质之间的复杂关系，对于理解微分学的基本概念至关重要。

不定积分笔记：不定积分是微积分的一个关键部分，它涉及到找到一个函数的原函数（或称为反导数）。在数学符号中，如果我们有一个函数 f(x) f(x)，那么它的不定积分通常表示为 $\int f(x) , dx，这里的积分符号 \int 是由莱布尼茨引入的，而 dx 表示对 x$ 进行积分。不定积分的基本性质包括：线性性：对于任意常数 a a 和 b b 以及函数 f(x) f(x) 和 g(x) g(x)，有 $\int [a \cdot f(x) + b \cdot g(x)] , dx = a \cdot \int f(x) , dx + b \cdot \int g(x) , dx$ 积分常数：不定积分的结果是一个函数族，它们之间相差一个常数。也就是说，如果 F(x) F(x) 是 f(x) f(x) 的一个原函数，那么 F(x) + C F(x)+C（其中 C C 是任意常数）也是 f(x) f(x) 的原函数。基本积分公式：存在一些基本函数的积分是已知的，比如多项式、指数函数、对数函数等。这些基本积分公式是解决更复杂积分问题的基础。换元积分法（或称为替代法）：这是一种通过变量替换来简化积分计算的方法。如果 u = g(x) u=g(x) 是一个可导函数，并且其导数 g'(x) 也出现在积分中，那么可以通过换元来简化积分。分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法来求解。这种方法是基于乘积的导数公式（即 (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'）的逆运算。不定积分在物理、工程、经济等多个领域都有广泛应用，是理解这些领域中许多现象的数学工具之一。 #百度AI创作营北信科站#

高数第四章重点题型与必做题解析 𐟓š 高数第四章 𐟌𑠨ﾥŽ题全做，掌握本章的解题技巧。 𐟌𑠦œ짫 题目多且难度大，建议先做例题，总结方法，再尝试课后题。 𐟌𑠥﹤𚎨𞃩š𞧚„题目，不要花费过多时间钻研，重要的是掌握方法和理解。第一节 𐟔 理解不定积分的概念，回顾求导方法。 𐟔 记住常见积分公式。 𐟔 掌握不定积分的两个性质。第二节 𐟔 重点掌握第一类换元积分法。 𐟔 记住常用公式。第三节 𐟔 理解并记住教材中的公式，学会利用公式解题。第四节 𐟔 掌握有理函数的解题规律，构造分子。 𐟔 理解并记住常见的可转化为有理函数的积分。第五节 𐟔 考试不会给积分表，直接计算不定积分。总习题全做 --- 𐟓š 高数第五章 𐟌𑠨ﾥŽ题全做，掌握本章的解题技巧。 𐟌𑠨‡ꥭ沲4-232页，了解定积分的性质和推论。 𐟌𑠦ŽŒ握定积分的性质和推论，特别是推论2和性质6。 𐟌𑠤𚆨磥篥ˆ†的图像表达。 𐟌𑠥š习题236页的3-5、7-12题。第二节 𐟔 掌握积分上限函数及其导数。 𐟔 重点掌握牛顿-莱布尼茨公式。 𐟔 做习题244页的1-16题。第三节 𐟔 理解换元法，与上一章类似。 𐟔 通过例5、6、7、12掌握计算定积分的四个规律。 𐟔 做习题1-7题。第四节 𐟔 理解无穷限的反常积分。 𐟔 掌握例3的结论。 𐟔 理解暇点和无界函数的反常积分。 𐟔 做习题262页的1-4题。第五节跳过，不考。总习题全做。

专升本数学提分秘籍：12个实用技巧 25岁准备专升本的小伙伴们，别太老实了！只要是应试考试，就一定有应试技巧。数学这块也不例外，咱们得用一些“歪门邪道”来提升成绩！做题小技巧 𐟓 求不定积分时，记得加上常数C。考试发卷后，先找到不定积分，旁边写上+C。求单调区间时，要考虑端点是否在定义域内，别因为粗心丢分。带有绝对值的函数，无论是求导还是定积分，都要先去绝对值。洛必达法则求“0/0”未定式的极限时，能用等价无穷小替换就先用上，简化计算。等价无穷小替换不要用于加减，可能会出错。做定积分时，看到上下限互为相反数，可能用到奇偶函数在对称区间上积分的性质。看到积分上限函数，99%的概率要用到求导。应用问题求最值时，一旦建立了函数关系，接着就可以求导，驻点通常就是最值点。带有绝对值的函数，无论是求导还是定积分，都要先去绝对值。求微分时，无论是求函数在一点的微分还是函数的微分，不要忘记乘dx（如果自变量是x）。求定积分需要换元时，一定要注意“三换”原则。看到正弦或余弦函数在0到二分之š„定积分，有可能用到点火公式。学习思路 𐟧 预习：想要听课效率高，预习真的很重要。我都是在课前提前把上课要学的内容自学完，这样听课基本上都能听懂，不存在还要拉进度条的情况。公式：很多同学都觉得基本的定理、原理和公式这些是不需要看的，这种想法完全错误。每道题都是由定理、原理和公式组成的，这些背会了理解了做题才会轻松。听课：高数学习真的不能只顾着输入，没有输出，很多知识点根本无法掌握。学习本来就需要双向奔赴，拿起笔自己算一遍！不会做的就立马再回顾知识点，把公式该背的背，例题该记的记。刷题：临近考试的时候要每天做一套真题，错题及时整理。针对自己薄弱的类型考前一定要认真巩固，知道自己是哪个知识点没掌握，多翻翻笔记把它记住。希望这些小技巧能帮到大家，祝大家专升本顺利！𐟒ꀀ

𐟧𝦕𐥏裏露Ž原函数关系解析𐟔 𐟤”你是否对函数可积和存在原函数的关系感到困惑？别担心，我们为你带来详尽的解析！ 𐟓š在考研数学中，积分章节是一个重点，而可积、原函数和变限积分则是其中的核心概念。虽然它们之间有着紧密的联系，但也有着明显的区别。 𐟔首先，我们要明确什么是函数可积。简单来说，如果函数在某个区间上连续，且满足某些特定条件，那么我们就可以说这个函数在这个区间上是可积的。 𐟒ᨀŒ原函数，则是一个与被积函数紧密相关的概念。通过积分运算，我们可以找到一个原函数，它包含了被积函数的全部信息。 𐟤𗢀♂️那么，函数可积和存在原函数之间有什么关系呢？其实，这两者之间的关系并不是绝对的。有些函数虽然可积，但并不一定存在原函数。反之，有些函数虽然存在原函数，但并不一定可积。 𐟒ꤸ𚤺†帮助你更好地理解和掌握这些概念，我们还准备了一系列经典例题和解题思路。通过这些例题的解析，你可以更深入地了解函数可积和存在原函数的关系。 𐟚€现在就开始你的考研数学之旅吧！让我们一起努力，攻克这个难点！

𐟧賂†求解秘籍大公开！𐟒Ÿ“š 积分小白也能懂！来学学这些超实用的积分公式和方法吧！ 𐟔 一、计算公式大集合： 1️⃣ xndx = (1) + C(n+-1) 2️⃣ adx = +c lna ...还有更多等你来探索哦！ 𐟒ᠤ𚌣€凑微分小技巧： 1️⃣ 1+b-1x = (+b)(+b) 2️⃣ f(x)e^dx = f(e*)d(e*) ...让积分计算更轻松！ 𐟔砤𘉣€不定积分的第二类换元法： 1️⃣ Va2-x2 → x=asint 2️⃣ vx2-a2 → x=asect ...去根号就靠它啦！ 𐟓– 四、定积分的分部积分法： du 分部积分公式，不同类型函数乘除无压力！ 𐟧𚔣€有理函数与三角函数积分攻略： 1️⃣ 有理函数不定积分，拆分与因式分解来帮忙！ 2️⃣ 三角函数有理式，万能公式代换最在行！ 𐟎‰ 快来掌握这些积分求解秘籍，轻松应对各种积分难题吧！𐟌Ÿ

微积分凑微分法：轻松搞定不定积分 𐟓 笔记分享：不定积分的第一类换元积分法（凑微分法）的原理、计算步骤和常见凑微分式子的详解 ✏️ 原理：凑微分法是微积分中的一个重要技巧，通过将被积函数中的一部分看作一个整体，并进行代换，从而简化积分运算。这种方法可以帮助我们快速找到被积函数的原函数。 ✏️ 计算步骤： 1⃣️ 凑微分：将被积函数中的一部分看作一个整体，并将其代入一个新的变量中； 2⃣️ 换元：求出该变量关于自变量的导数，并将其代入到被积函数中，得到一个新的被积函数； 3⃣️ 积分：对新的被积函数进行积分运算； 4⃣️ 回代：最后将代换回原来的变量即可。 ✏️ 常见凑微分式子： 1⃣️ dx=1/a* d(ax+b)（a不为0） 2⃣️ sin x dx= -d（cos x） 3⃣️ cos x dx= d（sin x） 𐟓š 希望这篇笔记对大家有所帮助，更多数学知识，请期待笔记更新！

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