当前位置：网站首页 » 热点 » 内容详情

数乘矩阵最新视觉报道_数乘矩阵的运算(2024年11月全程跟踪)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：热点更新日期：2024-11-28

数乘矩阵

#科学趣事# 线性代数之所以被称为“线性代数”，这一命名蕴含了其学科特性和历史渊源。 “代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直1859年清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，并一直沿用至今。在历史上，“代数”主要指的是解方程，即通过一定的数学运算求解未知数的过程。 “线性”一词则描述了该学科研究的核心特性。在数学中，线性”通常指的是量与量之间按比例、成直线的关系，即满足加法和数乘运算的性质。具体来说，线性关系具有均匀性和可加性，如函数y=2x，若输入值均匀排列，则输出值也均匀排列。在线性代数中，这种线性关系主要体现在向量、矩阵和线性变换等概念上。线性代数出现于17世纪，是法国数学家费马和笛卡儿等人研究工作的成果。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，最初的线性方程组问题大都来源于生活实践，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。在古代，“代数”就是指解方程，所以以“线性代数”命名。线性代数最早确实是因解线性方程组而发明的，它研究的是线性方程组、向量空间与线性映射等对象。然而，到了现代，线性代数的研究内容已经远远超出了单纯解线性方程组的范畴。现代的线性代数研究中心已经从解方程演变成了线性空间以及发生在线性空间之中的线性变换（算子）。具体来说，现代线性代数研究的是向量空间、矩阵、线性变换、行列式、特征值与特征向量等概念。其中，向量是线性代数的基本元素，通过线性组合可以表示其他向量；矩阵可以看作是一组向量的集合，用于表示线性变换；行列式用于描述矩阵的性质，与线性方程组的解有密切关系；特征值与特征向量则揭示了矩阵在某个特定方向上的行为。从某种程度上说， “线性代数”这一名称已经过时。因为现代的线性代数已经不再是单纯研究方程的“代数”，而是研究空间及其变换的“分析”。它准确来说应该改名叫“有限维线性泛函分析”。但出于各种考虑（如品牌价值），国内外并未更改这一命名。综上所述，“线性代数”之所以得名如此，既与其历史渊源有关，也与其研究的核心内容——线性关系、线性方程组以及线性变换等——紧密相连。尽管现代线性代数的研究内容已经远远超出了单纯解方程的范畴，但“线性代数”这一名称仍然被广泛使用并接受。 …… …… …… 【文本源于“文心一言”】#优质作者榜# ————————————————————— 欢迎点击下方专栏，并加入书架。

线性代数学习心得：从错误中发现真理我的线性代数基础并不扎实，从我更新频率就可以看出，这本书我看了很久。当然，期间我也看了很多其他书，哈哈哈。我认真读了前七章的每一个定理，大致看了看第十章，第八章和第九章打算先放一放，因为这本书的英文第四版对这些部分进行了大改，我打算先看第四版的这些部分。我发现了一个作者的错误，在第六章的内积空间中，理论上的所有结果都是建立在有限维向量空间上的，但是对于例子6.58，研究的空间是Cr:实值连续函数构成的实内积空间，这显然不是一个有限维向量空间。相当于作者为了说明一个弱定理的强大偷偷用了它的强大版本，有点可爱。我还想到了一个利用线性映射基本定理和正交补证明行秩等于列秩的方法，虽然没有书上的方法那么优雅，但也很有成就感。个人认为证明行秩等于列秩的最好方法是MIT教授Strang讲的CR分解，通过一个算法以及看矩阵乘法的不同方式，直接就证明了，非常优雅。其实本科学线性代数最困扰我的问题是矩阵的左逆为什么等于右逆。如果用矩阵乘法的定义，一堆数乘起来虽然也能证，但是难免不优雅。用这本书上的结论，那就轻松多了。v到v的线性映射可逆等价于单性或满性（线性映射基本定理告诉我们，v到v的线性映射单性等价于满性，所以这里可以用或，其实两个东西如果有一个都会有）。那可逆后，一组基vi其实就是映射到了另一组基si然后乘以左逆就是再逆回最开始的基vi。所以如果先用si乘左逆，那么是vi，根据前面的定义，乘以原矩阵（映射），vi又会被映回si，si又是一组基，所以就是很显然的结论了。但是要真正说明这一点，绕不开可逆的条件。在传统教科书中，可逆用行列式来刻画，并且后期需要用行列式把复数矩阵的特征值等价于行列式等于0这个方程的根，然后用代数基本定理证明。但本书中是直接深入研究了线性映射，给出了线性映射基本定理，把可逆性用这个定理刻画的清清楚楚了，就不需要行列式来研究线性映射可逆性进而不需要它研究特征值特征向量。这样行文下，可以最后定义行列式，而且压根不需要什么逆序数，拿特征值定义就行了，非常优雅。其实行列式是被大家讨厌，是因为行列式被'玩坏'了，本来用来搭建理论体系的脚手架，非要用来技巧题，让大家把线性代数的印象集中在对着一个表算来算去，很不好。行列式其实性质很好，很轻易就能得到线性映射的可逆的充分必要条件，行列式的值与基的选择无关，所以其实在研究本质的线性算子，而不是那个和基的选择相关的矩阵。行列式还有克莱默法则解方程的优雅表示，非常好的几何意义。

𐟓𑠧𚿤𘊧𚿤𛣨垥™诼š玩转线性代数小程序 𐟎“ 探索一个强大的线代计算工具——玩转线性代数小程序！ 𐟔 只需在微信搜索「玩转线性代数」即可轻松使用。 𐟧🙤𘪥𐏧若𚏨ƒ𝥤Ÿ处理各种复杂的线性代数问题，包括但不限于：行列式计算线性方程组求解矩阵秩的确定矩阵逆的计算矩阵加法、乘法、数乘特征值与特征向量的求解行最简型、行阶梯型、标准型的转换二次型化标准型矩阵的初等变换验证基础解系代数余子式、伴随矩阵的计算矩阵相似性判断矩阵方程的求解克莱姆法则的应用矩阵幂的计算 M-P、广义逆、最小二乘解、最佳最小二乘解矩阵范数的计算逆序数的求解转制矩阵、共轭转置的操作满秩分解、对角化、正交矩阵、Smith标准型、Jordan标准型、奇异值分解、QR分解、Lu分解向量的极大线性无关组、向量组的秩、正交化、过渡矩阵、向量的范数多项式的带余除法、综合除法、辗转相除法运筹学的大M法、对偶法 𐟓š 小程序中还提供了丰富的习题供用户练习，以及课本的课后答案供用户参考。 𐟒ᠥ🫦夽“验这个强大的线代计算工具，提升你的数学技能吧！

GPU 的设计初衷是旋转矢量。矢量定义了 3D 游戏中物体的形状。要旋转矢量，您需要将其乘以矩阵。因此，GPU 的设计初衷是将数百万个矢量乘以数百万个矩阵，以便玩家能够看到细节丰富的动态场景。然后神经网络出现了。它们不需要旋转向量，但需要将代表神经网络输入和参数的大量矩阵相乘。同样，神经网络需要将数百万个向量乘以数百万个矩阵，使它们能够接收大量输入并对其进行无数次转换。但这并不那么有趣，因为没有任何东西像最初预期的那样被旋转。然后是 LLM。在 LLM 中，表示标记的输入向量由 RoPE 矩阵旋转！标记的旋转角度决定了它相对于输入序列中所有其他标记的相对位置。事情已经回到原点了！

线性代数笔记：矩阵与线性方程组 ### 矩阵与线性方程组 𐟓– 线性方程组 𐟧𚿦€禖𙧨‹组是数学中一个非常重要的概念，主要研究的是多个未知数之间的关系。比如说，我们有这样一个方程组： ```scss 2x + 3y = 4 x + y = 1 ``` 这个方程组有两组解，一组是相容解，另一组是不相容解。相容解就是有解的情况，而不相容解则是无解的情况。例如，在这个例子中，相容解是 `(x=1, y=1)`，而不相容解则是 `(x=2, y=0)`。矩阵的概念 𐟓Š 矩阵其实就是一组有序的数表，用来说明线性方程组的关系。比如说，上面的方程组可以写成矩阵的形式： ```scss A = [2 3; 1 1] B = [4; 1] ``` 这里的A就是系数矩阵，B是常数矩阵。通过矩阵的形式，我们可以更方便地进行各种计算和变换。矩阵的初等变换 𐟔„ 矩阵的初等变换是线性代数中的一个重要概念。主要有三种变换方式：行交换：交换两行的位置。数乘：将某一行乘以一个非零常数。数加：将某一行加上另一行的倍数。这些变换不会改变矩阵的解，但可以让我们更方便地进行计算。比如说，上面的方程组可以通过初等变换转化为行阶梯形矩阵，然后再转化为行最简形矩阵，从而更容易求解。矩阵的加法和数乘 𐟓ˆ 矩阵的加法和数乘也是线性代数中的基本运算。两个矩阵相加就是对应位置的元素相加，而数乘则是将矩阵的每一行都乘以一个常数。这些运算在求解线性方程组和进行矩阵变换时非常有用。线性变换和旋转变换 𐟌€ 线性变换和旋转变换是矩阵与线性方程组的几何意义。线性变换可以通过矩阵的形式来表示，而旋转变换则是通过旋转矩阵来实现的。比如说，一个以原点为中心的逆时针旋转p角的旋转变换可以用以下矩阵来表示： ```scss R = [cos p -sin p; sin p cos p] ``` 这个矩阵可以将一个向量旋转p角，从而在几何上实现旋转变换。总结 𐟓 线性代数是一个非常有趣和实用的数学领域，通过矩阵和线性方程组的结合，我们可以解决很多实际问题。希望这篇笔记能帮助你更好地理解线性代数的基本概念和原理。

直播穿戴甲太难卖了 𐟌𘥅𖥮ž，很多人赚不到他认知以外的钱，这个道理在穿戴甲摆摊创业中也同样适用。希望大家能跳出“矩阵思维”，有时候不守规矩反而能带来意想不到的收益。 𐟎€第一，常规款定价：成本价乘以2-3倍，尾数选择8或9。零售价：标8，不标7，尾数尽量避开7、2、3，否则买多件时容易被抹掉零头。定价：能标99就不要标100，虽然只差1块钱，但一个是两位数，一个是三位数，带给人的心理感觉是不一样的，大多数人选择两位数的可能性大。 𐟎€第二，引流款低价售卖：因为价格低，消费者会觉得性价比高，从而带动销量。自检：在引流之前先进行自检，看一下与周边市场上其他产品的价格差异。如果差距很大，那就说明存在问题。爆款：因为价格低说明市场需求量大，是一个很好的单品，所以在引流前可以找一些这类产品做爆款。 𐟎€第三，小众热卖款人群定位：小众爆款可以吸引到一类喜欢这个款式的用户群体，并且是精准客户群体，购买转化率更高。价格定位：小众爆款产品价格相对高一些，也能很好的覆盖成本。产品质量：小众款的产品质量不能差，价格也要保证合理范围内，满足顾客对产品的心理预期。 𐟎€第四，捆绑销售打折：买2副打8折，买3副打6折等，这种方法也很适合清一波库存。搭配销售：买一副只要68，可以搭配一副库存，这样既可以提高客单价，又能清库存，减少资金压力。 𐟎€第五，满减策略节庆活动：可以做满减活动促进消费，如满100-10，满200-30等。大多数人都会因为满减而购买更多的产品，或者拉上朋友一起拼单，既促进消费又有了新的顾客。价格政策：当然上面的价格政策可以参照自身地区及周边市场，做出相应的调整哦～ 𐟌ˆ今天的分享就到这里了，想要做好穿戴甲摆摊，远不止如此，还有很多方法需要不断学习和执行。相信只要坚持，大家的穿戴甲生意就一定会越来越好！

九章算法班2021版：常见算法题总结九章算法班2021版为大家带来了一系列常见的算法题目总结，帮助你更好地掌握各种算法技巧。以下是一些精选的题目：最长不重复子序列 𐟓Š DP（01背包问题） 𐟎’ 编辑距离问题 ✏️ 全排序（如果有重复数字） 𐟔„ 最短路径算法 𐟚𖢀♂️ 图论问题，最小割问题 𐟌 二分法的扩展版本 𐟔 快排，冒泡排序等相关排序算法 𐟎‰𞥇𚤸€个数组中重复的数字 𐟔⊥ˆ䦖�€棵树是否对称 𐟌𓊤𘀧𛴧𚢩𛑦 ‘与平衡树的区别 𐟌„ 二维四叉树、网格的优缺点 𐟓 单链表相关插入、删除 𐟔— 无序大数组中找中位数（快排） 𐟎“𞨡詀†序 𐟔„ 生成随机数1-7（从1-5开始） 𐟎𒊥ˆ䦖�𞨡覘縷榜‰环 𐟔„ 有序数组的交集，并集 𐟓Š 数组中第一个大于等于K的数 𐟔⊥ˆ䦖�𛥰†胡没胡（正则的状态机实现方式） 𐟎𒊥…褺Œ叉树的下一个节点 𐟌𓊦œ‰N个人，其中有一个明星，所有人都认识明星，明星不认识所有人，只有一种查询方式：A是否认识B，给出找到明星的最优策略 𐟌Ÿ 一个图，起点是A，终点是B,可以选择图中一条边置为0，如何使A到B的最短路径最短（顺便谢谢Dijkstra） 𐟚𖢀♂️ 给定二叉树的先序和中序遍历，构建二叉树 𐟌𓊩“𞨡覎’序 𐟔„ 矩阵相乘的最优顺序 𐟧𚌥ˆ†图最大匹配，最小费用最大流 𐟒𐊦ŠŠ一堆数分成两堆，使和最相近（背包搞一搞） 𐟎’ 数据流找中位数（大小堆搞一搞） 𐟓Š 二叉树中权重最大的链，每个点的权重有正有负 ⚖️ 加上最少的括号，使括号匹配 𐟓œ 给定一个数组，求最大的连续子序列和 𐟎œ‰两个很大的文件，均无法放入内存，其中存放着很多整数，如何找到两个文件中的相同整数 𐟓‚ 有一个坐标轴，上面有很多点，每个点有坐标，求长度为L的绳子最多能够覆盖几个点 𐟧𕊧”覠ˆ实现队列 𐟚ꊨ𝬥ˆ𖦥헧즤𘲤𘭦œ€长的数字字符串 𐟔⊧”𛥻𚦜€小堆的过程 𐟖Œ️ 先序遍历二叉树，非递归 𐟌𓊦‰‹写数组旋转，要求不使用额外空间 ✏️ 手写算法，在旋转数组里寻找某个给定的元素，要求时间复杂度O(n)以下 ⏱️ 一个堆，怎么按顺序改为一个双向链表 ⚖️ 一个无序数组，用时间复杂度最低的来寻找某两个数加起来等于一个固定的值m 𐟎𘤤𘪦œ‰序数组求中位数(leetcode) 𐟓Š 判断平衡二叉树(剑指offer) ⚖️ 最长上升子序列(lintcode) ↑ 二叉树转双向链表(剑指offer) ⚖️ LRU cache实现(leetcode) 𐟒𞊈ouse Robber(leetcode) 𐟒𐀀

𐟓š 2025年考研数学三新大纲解析 𐟌Ÿ 𐟎“ 微积分：函数、极限、连续：了解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。理解极限的概念，掌握极限的四则运算法则，会用极限求函数的值。一元函数微分学：理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。一元函数积分学：理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。多元函数微积分学：了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。无穷级数：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法。常微分方程与差分方程：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。 𐟧𚿦€礻㦕𐯼š 行列式：了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。矩阵：理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律。向量：了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则。理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念。线性方程组：会用克拉默法则解线性方程组，掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法。理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。矩阵的特征值与特征向量：理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。二次型：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念。掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形。 𐟓Š 概率论与数理统计：随机事件与概率：了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率。随机变量及其分布：理解随机变量的概念，理解分布函数F(x)=P(X≤x)的概念及性质。掌握离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握连续型随机变量及其概率密度的概念。多维随机变量的分布：理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质。理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布。随机变量的数字特征：理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。大数定律和中心极限定理：了解切比雪夫大数定律，伯努利大数定律和辛钦大数定律。了解棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和列维-林德伯格中心极限定理，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。数理统计的基本概念：了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解经验分布函数的概念和性质。参数估计：了解参数的点估计、估计量与估计值的概念，掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。

华科2023年高等工程数学试卷考点解析 𐟓 选择题：可逆概念的理解可对角化概念的理解线性方程组Jacobi/Gauss-Seidel迭代方法的收敛性判别迭代法的稳定性判断抽样分布的几个定理统计量中无偏性概念的辨别 𐟖‹️ 填空题： Hermite插值多项式满秩分解求cosx的一次最佳一致逼近给定数值求积公式形势下的代数精度矩阵的二范数极大似然估计法 𐟓 解答题：线性空间基的证明及线性空间的变换在不同基下的矩阵表示 Jordan标准型及e^At的求解 Gauss-Legendre和Gauss-Chebyshev两点求积公式（需对积分区间进行变换）方程零点存在性证明及迭代法解方程的收敛性证明数据的最小二乘拟合已知正态分布的均值和方差，求样本均值的单侧假设检验和样本方差的双侧假设检验

奥迪Q4-etron：电动SUV新宠探索奥迪Q4-etron的魅力，从它的动感外观设计开始。车身线条流畅，搭配数字化灯光，散发出强烈的存在感。𐟌ˆ 𐟌ˆ 四种风格的日间行车灯，以矩阵式LED数字化呈现，为你的电动出行增添仪式感。三维立体贯穿式尾灯，与丰富的曲面设计相得益彰，打造出独特的夜间视觉冲击。 𐟚€ 21寸超大运动轮毂，采用全新设计，不仅提升了视觉效果，更带来了越级的操控体验。A级SUV的车身，却拥有B级行李空间和C级乘用空间，为你提供宽敞舒适的驾乘环境。 𐟎𖠥†…饰方面，SONOS智能音响和双平底多功能触控操作运动方向盘，共同营造出浓厚的运动氛围，让每一次驾驶都成为享受。 𐟔‹ 在CLTC工况下，奥迪Q4-etron的最大续航里程可达605公里，让你的电动出行更加安心。 𐟒ᠨ🙦 𗧚„奥迪Q4-etron，你怎能不爱呢？它以卓越的性能和设计，成为电动SUV市场中的新宠。