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秩为1的矩阵权威发布_秩为1的矩阵性质(2024年11月精准访谈)

内容来源：麦吉窗影视所属栏目：观点更新日期：2024-11-28

秩为1的矩阵

厦门大学2023年高等代数试题解析厦门大学2023年的高等代数试题整体难度适中，主要考察了常规的计算和经典证明题。以下是对这套试题的详细解析： 𐟓Œ 填空题 1️⃣ 伴随矩阵的性质：考察伴随矩阵的简单性质。 2️⃣ 代数余子式的性质：注意观察系列代数余子式的规律。 3️⃣ 行变换与秩：通过行变换得到秩为2，送分题。 4️⃣ 自由变量的个数：自由变量的个数为3，故维数为3，送分题。 5️⃣ 矩阵表示与核空间：同一线性变换在不同基下的矩阵表示，核空间就是齐次线性方程的解空间。 6️⃣ 多项式次数与根：观察f的次数和根，待定系数法。 7️⃣ 打洞原理与迹：打洞原理变式，n阶转1阶，结合迹的性质处理。 8️⃣ Jordan标准型：考察Jordan标准型。 9️⃣ 内积与线性相关：欧式空间中的内积，构成1维子空间，线性相关。 𐟔Ÿ 二次型化为规范型：正惯性指数为2。 𐟓Œ 非齐次方程解的问题：求基础解系。 𐟓Œ 可逆实矩阵分解：考察可逆实矩阵分解为正交阵和正上三角阵，非常经典的结论。 𐟓Œ 多项式问题：第1问证左右两边的小于等于，第2问证充分性和必要性，多积累多熟悉，经典方法。 𐟓Œ 二阶幂等：放到复空间讨论，最简单的就是通过Jordan标准型的理论直接叙述。 𐟓Œ 正定矩阵问题：先分块再用数学归纳法处理，打洞原理手法和步骤过程很精彩，多练多背。 𐟓Œ 反证法：像是一个交叉映射，放到核空间去反证。 𐟓Œ Jordan块与特征多项式：结合中国剩余定理。部分试题和解答参考了公主号：数学考研李扬，清疏数学专业研考，小破站：长留风清扬老师，记录备考点滴，感谢这些资源的分享。

2024年京都大学研究生数学试题详解 𐟓 数学系考生请回答1-6题；数理解析系考生请回答1-5题，并在6-7题中选择1题回答。考试时间为3小时30分钟。 𐟔 Problem 1: 求二重积分 ∫∫f(x, y)dxdy 其中D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, xⲠ+ yⲠ≤ 1} 𐟔 Problem 2: 设a是复数，A为三维复数矩阵 A = [a -1 0; 0 1 -a; 1 2a -2a] (1) 求A的全部特征值； (2) 求A的秩。 𐟔 Problem 3: 求二重积分 ∫∫f(x, y)dxdy 其中D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, xⲠ+ yⲠ≤ 1} 𐟔 Problem 4: 设a是复数，A为三维复数矩阵 A = [a -1 0; 0 1 -a; 1 2a -2a] (1) 求A的全部特征值； (2) 求A的秩。 𐟔 Problem 5: 数理解析系考生请回答此题求极限 lim(x→0) (sin x - x)/xⳣ€‚ 𐟔 Problem 6: 选择题设f(x) = xⳠ+ axⲠ+ bx + c，且f'(x) = xⲠ- 4x + 3，则f(x)的极值点为多少？ A. (0, c) B. (3, c) C. (1, c) D. (2, c) 𐟔 Problem 7: 选择题设A为三维实数矩阵，满足AⲠ= I（单位矩阵），|A| = -1，则A的特征值为多少？ A. Ⱪ B. ⱱ C. i 和 -i D. 1 和 -1

线性代数复盘：从基础到进阶嘿，期末考试刚结束的小伙伴们，你们辛苦了！今天我们来聊聊线性代数，特别是李正元老师的线代部分，真的是让我爱恨交织啊！𐟘… 向量部分首先，咱们来聊聊向量。对于一个AX=0的线性方程组，如果它只有0解，那为什么可以推出A矩阵的列向量是无关的呢？其实，这背后有一个很重要的概念——线性无关。如果A矩阵的列向量线性无关，那它的行列式就不为0，从而方程组只有0解。反过来，如果A矩阵的列向量线性相关，那它的行列式为0，方程组可能有非0解。再比如，如果一个向量组和基础解系等价，那它是不是也是方程组的基础解系呢？答案是肯定的。因为基础解系就是那些能满足方程组的解，而等价的向量组也能满足同样的条件。线性方程组齐次方程和非齐次方程：齐次方程就是那些系数全为0的方程，而非齐次方程则至少有一个系数不为0。在解答方程组时，我们通常只能对方程组进行行变换，而不能进行列变换。什么时候齐次方程只含有0解？什么时候含有非0解？非齐次方程什么时候有唯一解？什么时候有无穷解？什么时候又无解呢？这些问题其实都有规律可循。比如说，对于一个齐次方程，如果它的系数矩阵的秩小于未知数的个数，那它就有非0解。而对于非齐次方程，如果它的系数矩阵的秩等于未知数的个数，那它就有唯一解。如果你把一个齐次方程变成非齐次方程，解系的秩会怎么变呢？其实，解系的秩会减少1。这是因为非齐次方程多了一个自由变量。为什么行数目小于列数目的方程一定有无穷个解？这是因为方程组的系数矩阵的秩小于未知数的个数。反过来，如果行数目大于列数目的方程存在n阶矩阵不为0，那它可能是有唯一解，也可能是有无穷解。思考一下中学的时候，我们常被灌输一个思想：要解决几个未知数的问题，就需要有几个方程。但真的是这样吗？比如x+y=1和2x+2y=2这两个方程，它们能求出x和y的精确值吗？为什么？如果把这两个方程写成一个非齐次方程组，它是无穷解还是唯一解呢？方程组的解系和原方程有什么关系？由原方程可以求出它的解系，那么我们以它的解系为系数，能求出来原方程吗？这些问题都值得深入思考。特征值部分特征值的求解公式：特征值的求解公式是A-|=0。在求特征值时，你会尝试使用列变换吗？其实，这取决于你的个人习惯和问题的具体要求。特征向量和（A-）X=0的关系：如果A-可逆，那么𐱤𘍦˜Ÿ驘𕧚„特征值了。因为可逆意味着矩阵没有零空间。对于A矩阵的衍生矩阵来说，他们的特征值会有什么变化呢？这个问题其实挺有意思的。比如说，对于A的转置矩阵AT，它的特征值和A是一样的。但对于A的逆矩阵A-1，它的特征值是1除以A的特征值。特征值和矩阵的迹有什么关系呢？特征值相乘又和它有什么关系呢？对于秩为1的矩阵，它的特征值怎么样快速求出来呢？这些问题都需要你花时间去琢磨。两个相似矩阵的特征值之间有什么关系呢？这个问题其实很简单：两个相似矩阵的特征值是一样的。但对于多重的同一个特征值，我们该怎么判断它能否进行相似对角化呢？这又是一个值得思考的问题。复盘小结如果你不翻书的话，上个阶段有哪部分你连不起来呢？不妨列个提纲，看看自己到底哪些地方还需要加强。线性代数其实并不难，只要掌握了基本概念和方法，一切都会变得很简单。加油！𐟒ꀀ

矩阵的秩：理解线性方程组的关键 𐟧銧Ÿ驘𕧚„秩，通常写作 Rank of Matrix，是线性代数中一个非常重要的概念。简单来说，秩就是矩阵中“独立”行的数量，或者说，那些不能被其他行表示的行的数量。对于列也是同样的道理。矩阵秩的直观理解 𐟓Š 举个例子，假设我们有一个 2x3 的矩阵，其中第二行只是第一行的 3 倍。那么，即使这个矩阵有 2 行，它的秩也只有 1，因为第二行完全依赖于第一行。同样，如果第二列只是第一列的两倍，第三列是第一列的三倍或第二列的 1.5 倍，那么这些列的秩也只有 1。另一个例子 𐟌𑊊再比如，如果一个矩阵的第二行不能被第一行表示，那么它的秩至少为 2。但是，如果第三行是第一行和第二行的和，那么即使有 3 行，这个矩阵的秩也只有 2。对于列也是一样的道理：第二列很好，但第三列是第一列和第二列的和，所以这些列的秩还是 2。行和列的秩总是一致的吗？ 𐟤” 令人惊讶的是，行和列的秩总是一致的！这意味着，当我们讨论行的秩时，其实也在讨论列的秩。所以，我们通常只需要计算一次秩，无论是对于行还是列。为什么矩阵的秩很重要？ 𐟔 矩阵的秩告诉我们很多关于矩阵的信息。它能帮助我们判断是否有机会求解线性方程组。当矩阵的秩等于变量的数量时，我们可能有唯一解。例如：如果有 2 个苹果和 3 个香蕉售价 7 美元，3 个苹果和 3 个香蕉售价 9 美元，我们可以算出额外的苹果每根售价 2 美元，香蕉每根售价 1 美元（有 2 个变量，秩也是 2）。但如果我们只知道：2 个苹果和 3 个香蕉售价 7 美元，4 个苹果和 6 个香蕉售价 14 美元，我们无法继续下去，因为第二行数据只是第一行数据的两倍，没有提供新信息（有 2 个变量，秩仅为 1）。总结 𐟓 矩阵的秩是线性代数中的一个核心概念，它帮助我们理解矩阵的结构和性质。通过计算矩阵的秩，我们可以判断是否有机会求解线性方程组，以及方程组的解是否唯一。

李林6套卷复盘：数学高手的16个秘诀 1. 𐟓ˆ 渐近线方向：如果渐近线在同一方向上，水平渐近线就不会有斜渐近线。 𐟓‘ 分段讨论：用x代换y中的t，进行分段讨论。 𐟔 积分不等式：被积函数相减做差，构造辅助函数。 𐟏”️ 多元函数极值：注意充分必要条件的界定，题目中要求必要条件，而AC-Bⲯ𜞰是充分条件，但必要条件也包含充分条件，所以需要考虑等于0的情况，找个具体函数算一下。 𐟔⠧‰𙦮Š值法：取函数px为1或者构造辅助函数，第一个条件就是让我用辅助函数。 𐟌 二重积分中值定理：注意一个圆从0到2š„d篥ˆ†，后面为积分0～t，t是一条射线，极限中含有变现积分思路就是积分中值或者洛必达。 𐟧頥𞮥ˆ†方程：如果微分方程比较难解，不要蛮干。如果只需要解的形式，只需要把图像画出来分析一下，带值或者求导的时候先用小脑筋思考一下，哪些求完是为0的就不用算。 𐟔„ 方程组同解：你是我的姐我是你的解，三秩相同。向量组等价：行向量组等价，列向量组等价。 𐟧𘠧Ÿ驘𕧛𘤼𜯼ša相似于b，a秩相似b秩。 𐟓 正定：所有x≠0时，二次型＞0恒成立。建立的齐次方程组如果有解那么就不成立，所以方程组不成立，只有零解，所以满秩，所以行列式为0。 𐟓ˆ 高阶导积分方程：可以通过条件解出fx具体的式子再泰勒展开，注意n阶导数方程/n阶乘为n阶系数。 𐟓Š 通分之后分子为泰勒的变形，分母用一次拉格朗日，或者洛必达之后凑导数定义。 𐟌€ 绕极轴：用公式或者古尔丁定理小，想水管，半径可用y代替然后换成rsinˆ–者微元法（宽为dx，长为y的微元绕一圈变成一个饼，但是注意！这里的y不可以换成rsin𜌥› 为这个y是一直在边线上的，不用走到里面去，所以用条件r=1+cos𜉣€‚ 𐟧䚥…ƒ微分：在固定点可以先代后求，泰勒在信息多的地方展开，求道先思考哦。 𐟌Š 物理应用水深压力：F=PS（p=h）。 𐟔砦–𙧨‹组有解：a的秩等于增广矩阵的秩。

线代考前思维定势：基础解系与通解的秘诀在线性代数的世界里，基础解系和通解是两个非常重要的概念。今天，我们来聊聊如何应对涉及这两个概念的题目。𐟧首先，基础解系有三条关键性质，缺一不可。大多数题目可以从条件2入手，利用“秩”来破题。𐟔 思维定势：是我的解、个数、线性无关（三个考点） 1️⃣ 若同时满足：①，,…，𜌥‡为Ax=0的解； 2️⃣ t=n-r(A)（n为未知量个数）； 3️⃣ ,,…,𜌧𚿦€禗关；则,…,𘺁x=0的一个基础解系。【例1】设A=(,2,,4)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)是方程组Ax=0的一个基础解系，则Ax=0的基础解系可为（）。 𐟔【解】Ax=0的基础解系只有一个向量，即1=4-(4)。得r(A)=3<4，故A'A=|AE=O，所以矩阵A的列向量1,,,‡为方程组Ax=0的解。条件①由r(A)=3，可得r(A)=1，所以Ax=0的基础解系中含有3个向量。条件②，排除(A)、(B）选项。由题意可知1+0，所以1,𚿦€秛𘥅𓯼Œ故选(D)。条件③ 希望这些技巧能帮助你在考前百天的复习中更好地掌握线性代数的精髓！𐟒ꀀ

考研线代真题常考的特征值运算小技巧[赞同] 很少up讲的快速正交变换，请你一定要会！做题几乎不用死算，性质定理！实对称特征值五大命题手法：利用好ab矩阵、秩1矩阵、秩1+KE矩阵；r（A-入iE）=1、｜A-入E｜=0 妈妈再也不担心我的第一问啦！ #考研# #25考研# #考研数学真题分类# #张宇# 五大特征值命题方法务必掌握

中国剩余定理在复数域上的应用 1️⃣ 中国剩余定理：如果多项式f(x)除以x-š„余数是f(，那么˜令x)的根。 2️⃣ 推论：˜令x)的根当且仅当(x-|f(x)。 3️⃣ n次单位根：n个单位根是n次幂为1的复数，记作zₖ＝e＾[(2)/n]，k＝1,…,n。n次单位根为w,wⲬ…,wⁿ，wⁿ＝1。wₖ的共轭复根为wₙ⁻ₖ。 4️⃣ 最大公因式：f(x)和g(x)的最大公因式d(x)满足以下条件： d(x)是f(x)和g(x)的公因式。 f(x)和g(x)的所有公因式都是d(x)的因式。【题目】 𐟌𘠤𞋱：多项式xⁿ-1在复数域上没有重根。设w为xⁿ-1的任意复数根，则f(w)＝0，wⁿ＝1。因此，[f(w)+wⁿ]ⲭwⁿ＝0，所以w是[f(x)+xⁿ]ⲭxⁿ的根。 𐟌𘠤𞋲：多项式xⁿ⁻⹫xⁿ⁻ⲫ…+x+1存在n-1个两两互异的复数根wᵢ(1≤i≤n-1)，且wᵢⁿ＝1。wᵢ均是f₁(xⁿ)+…+xⁿ⁻⹦ₙ(xⁿ)的根，即f₁(1)+…+wᵢⁿ⁻⹦ₙ(1)＝0，i＝1,…,n。视为f₁(1),…,fₙ(1)的齐次线性方程组，系数矩阵前n-1行与前n-1列构成n-1阶子式不为0，秩为n-1，该齐次线性方程组的基础解系仅有一个向量。1+wᵢ+…+wᵢⁿ⁻⹯𜝰，i＝1,…,n-1，故(1,…,1)'为特解与基础解系。存在常数c，使得(f₁(1),…,fₙ(1))'＝c(1,…,1)'，即fᵢ(1)＝c，i＝1,…,n。 𐟌𘠦€考1：多项式x⁶-1可以分解为(xⲭ1)(x⁴+xⲫ1)。设x⁶-1的根为w,wⲬ…,w⁶，x⁴+xⲫ1的根也是f₁(x⳩+x⁴f₂(x⳩的根。解得f₁(ⱱ)＝f₂(ⱱ)＝0，xⲭ1是f₁(x)和f₂(x)的公因式。而f₁(x)和f₂(x)是次数不超过3的首1互异多项式，得最大公因式。 𐟌𘠦€考2：多项式xⁿ-2在复数域上的n个根为wⱼ，其中j＝1,…,n，wⱼⁿ＝2。wⱼ是多项式∑fᵢ(xⁿ)xⁱ(i从0到n-1)的根，代入为关于f₀(2),…,fₙ₋₁(2)的齐次线性方程组。

线性代数第一章思维导图分享𐟓š 大家好！今天为大家带来一份详细的线性代数第一章思维导图，帮助大家更好地理解和掌握线性代数的基础知识。𐟒ከጥˆ—式与矩阵𐟧ጥˆ—式：行列式是一个重要的数学工具，用于解决线性方程组和矩阵的问题。行列式的计算需要遵循一定的规则，例如两行（列）互换需要变号，两行（列）相等或成比例时行列式值为零等。矩阵：矩阵是由一组有序数排列成的矩形阵列，是线性代数中的重要概念。矩阵的转置、逆矩阵、行列式等都是矩阵的重要性质。线性方程组𐟔 齐次线性方程组：齐次线性方程组是指所有方程的常数项都为零的线性方程组。齐次线性方程组有唯一零解或无穷解，这取决于矩阵的秩。非齐次线性方程组：非齐次线性方程组是指至少有一个方程的常数项不为零的线性方程组。非齐次线性方程组有唯一解或无解，这同样取决于矩阵的秩。特征值与特征向量𐟒ኧ‰𙥾值与特征向量的定义：特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于描述矩阵的内在性质。相似矩阵：相似矩阵是指可以通过一个可逆矩阵进行相似变换的矩阵。相似变换可以简化矩阵的计算和性质分析。线性变换与正交矩阵𐟓 正交矩阵：正交矩阵是一类特殊的矩阵，其行（列）向量互相垂直且模长为1。正交矩阵在物理、工程等领域有广泛的应用。实对称矩阵：实对称矩阵是一种特殊的正交矩阵，其特征值都是实数且对应的特征向量正交。实对称矩阵在数学和物理中有重要的应用。行列式的性质与计算𐟧ጥˆ—式的计算原则：行列式的计算需要遵循一定的原则，例如某行（列）有公因式时，可以将公因式提到行列式外。行列式的性质：行列式的性质包括两行（列）互换需变号、两行（列）相等或成比例时行列式值为零等。总结与展望𐟓 通过以上内容，我们可以看到线性代数第一章涵盖了行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量以及线性变换与正交矩阵等多个重要概念。这些内容为后续的学习打下了坚实的基础。希望大家能够通过这份思维导图更好地理解和掌握线性代数的基础知识！

𐟧 𐟓˜ 矩阵秩的全方位解析 𐟓š 矩阵的秩，作为线性代数中的核心概念，是每一个数学爱好者的必修课。它不仅仅是一个数字，更是一种对矩阵结构深度的刻画。 𐟔 首先，我们要记住一些基础性质： 1️⃣ 当矩阵A为零矩阵时，其秩r(A)为0。 2️⃣ 若A是m㗮矩阵，其秩r(A)不会超过矩阵的行数m和列数n中的较小者，即r(A)≤min(m,n)。 3️⃣ 对于n阶矩阵A，如果它可逆，那么它的秩T(A)等于n。 𐟓– 接下来，我们探索一些更复杂的性质： 𐟔𘠲(A)=r(ATA)，这意味着我们可以通过计算AT与自身的乘积来快速得出A的秩。 𐟔𘠥悦žœA是k倍的单位矩阵，那么r(kA)=T(A)。 𐟔𘠥﹤𚎤𘤤𘪧Ÿ驘𕁥’ŒB，我们有r(A+B)≤r(A)+r(B)，这是一个非常有用的不等式。 𐟒ᠨ😦œ‰一些关于矩阵乘法和分块矩阵的特殊性质： 𐟌Ÿ 若A可逆，则r(AB)=T(B)。 𐟌Ÿ 若A和B都是可逆的，则r(AB)≤min(r(A),r(B))。 𐟌Ÿ 对于分块矩阵，我们有r(A,B)≤max(r(A),r(B))。 𐟎“ 掌握这些性质，不仅能帮助我们更好地理解矩阵的结构，还能在解决实际问题时提供有力的数学工具。所以，让我们一起努力，将这些性质牢牢记在心中吧！